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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Pitagóricos - 171

O triângulo retângulo já era conhecido pelas antigas civilizações a milhares de anos.

Os egípcios de uma forma prática o utilizavam para fazer demarcações e medições de terra.

Com uma corda com 12 nós e com distância iguais entre eles, formavam um triângulo com canto reto esticando 3 dos seus nós.

teorema de pitágoras e corda de 12 nós

O triângulo originado da corda com nós é um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 e com um dos ângulos de 90 graus.

A utilização da corda com nós como instrumento de medição se fazia de uma forma direta e no próprio local de trabalho, não se utilizavam fórmulas matemáticas.

Foi na civilização grega, grandes estudiosos da geometria e das ciências, que a relação dos lados do triângulo 3, 4 e 5 foi estudada com mais afinco.

Eles observaram e generalizaram para todo triângulo retângulo a expressão a2=b2+c2 que diz que "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados do catetos", a qual é denominada de Teorema de Pitágoras.

O Teorema de Pitágoras e figuras semelhantes

Podemos facilmente verificar as relações entre os lados de um triângulo retângulo, sem fazer uso do Teorema de Pitágoras, isto é, sem precisar fazer as equações com lápis e papel, simplismente desenhando figuras geométricas.

Quadrados semelhantes

O clássico modelo matemático em que os lados do triângulo retângulo são montados com quadrados quadriculados.

A soma dos "quadradinhos" dos quadrados pequeno e médio é igual a quantidade de "quadradinhos" do quadrado maior.

teorema de pitagoras e quadrados semelhantes

Triângulos equiláteros semelhantes

Outro exemplo, com triângulos equiláteros semelhantes.

A soma dos "triângulinhos" dos triângulos pequeno e médio é igual a quantidade de "triângulinhos" do triângulo maior.

teorema de pitágores e triângulos semelhantes

Além destes modelos matemáticos existem outros e também centenas de demonstrações do Teorema de Pitágoras com o uso da equação.

Quadrado Mágico

Quadrado Mágico é um quadrado em que números são colocados em determinada ordem formando linhas e colunas e as somas de cada linha, cada coluna e cada diagonal apresentam um mesmo resultado a qual é denomidada de Constante Mágica.

Podem ser elaborados Quadrados Mágicos de diversos tamanhos, e assim são classificados:

Ordem 3 - 3x3 - quadrados com 3 linhas e 3 colunas, totalizando 9 células, ou 3² = 9.

Ordem 4 - 4x4 - quadrados com 4 linhas e 4 colunas, totalizando 16 células, ou 4² = 16.

Ordem 5 - 5x5 - quadrados com 5 linhas e 5 colunas, totalizando 25 células, ou 5² = 25.

Ordem 6, 7, 8,... e assim por diante.

Quadrado Mágico Pitagórico do Professor Elisha S. Loomis

No livro The Pythagorean Propositions do Professor Elisha Scott Loomis, reimpressão da segunda edição de 1940, há cinco exemplos de Quadrados Mágicos Pitagóricos e na página 254 se encontra o exemplo de número 1.

quadrado mágico pitagorico Professor Elisha Scott Loomis

Fonte: Loomis, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968

Este e como outros exemplos, primam pela engenhosidade e criatividade de extrapolar o uso da relação de Pitágoras, além de temos as figuras de Quadrados Mágicos formando o modelo matemático do teorema, tem-se também a relações dos cálculos de cada quadrado formando um conjunto com resolução do Teorema de Pitágoras.

O quadrado de ordem 3 é relativamente mais rápido de se montar, o quadrado de ordem 4 exigem atenção e o quadrado de ordem 5 exigem atenção, destreza e habilidade, mas tudo isto depois um bom treino e começando com sequência a partir do número 1, 2, 3, 4, ...

Nos quadrados em questão, eles não começam em 1, então houve um estudo aprimorado para montar cada uma das sequências númericas que compõem cada quadrado para formar os três números 441, 184 e 625.

quadrado mágico pitagórico professor Elisha Scott Loomis

E o que chama a atenção é justamente os números 441, 184 e 625.

Extraindo-se a raiz quadrada, só dois termos tem raízes quadradas perfeitas.

√625 = 25

√441 = 21

√184 = 13,564

Interessante é que a formação deste terno são dois números quadrados perfeitos e o outro não.

Por meio de análises em um estudo sistemático com a geração de progressões aritméticas distintas para formação de Quadrados Mágicos de ordens 3, 4 e 5 constatou-se:

a) que nos quadrados de ordem 3 e 5, são possíveis formarem Quadrados Mágicos cujas somas dos números tem como resultados números quadrados perfeitos.

b) que nos quadrados de ordem 4 não são possíveis gerarem Quadrados Mágicos cujas somas tenham com resultados números quadrados perfeitos.

No livro digital Ternos Pitagóricos e Sequência Numéricas se encontram publicados estudos da relação entre Ternos Pitagóricos e Números Triangulares que foram gerados de números primos entre si e de números não primos entre si dezenas de ternos pitágoricos primitivos e derivados e inclusive sequência de alguns ternos pitagóricos raros.

Abaixo ternos pitagóricos em que alguns números são os mesmos da resolução do Quadrado Mágico do Professor Elisha S. Loomis:

1)

√441 = 21

√400 = 20

√841 = 29

2)

√441 = 21

√48400 = 220

√48841 = 221

3)

√625 = 25

√97344 = 312

√97969 = 313

4)

√33856 =184

√1102500 =1050

√1136356 =1066

Autor: Ricardo Silva maio/2018

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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