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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados dinâmicos - 115

O quadrado como os demais polígonos regulares são auto replicáveis, isto é, a partir de lados com medidas unitárias, podemos obter outros quadrados ou outros polígonos com medidas proporcionais.

Os quadrados dinâmicos são uma sequência de quadrados obtidos a partir de um quadrado de lados unitário e que podem ser duplicados proporcionalmente por meio dos pontos médios dos seus lados, pelas suas diagonais ou pelos seus lados.

A diagonal do quadrado

Faça de conta que você não nunca ouviu falar ou conheça o TEOREMA DE PITÁGORAS: a²= b²+c².

Ai, você precisa desenhar um quadrado cujos lados devem ter 1cm.

Você pega: papel (de preferência, papel milimetrado), lápis e régua para desenhar um quadrado perfeito cujos lados devem ter 1cm.

Depois você precisa medir diagonal do quadrado que você desenhou, pega a régua e a inclina para melhor medir a diagonal... ...a régua marca 1,4 cm, você ajusta a régua e vê 1,45, ajusta novamente e vê 1,5cm, você pensa, pensa e diz para você mesmo, qual é a medida certa?

Realmente não tem um medida certa, isto é, uma medida exata, mas o que você vê na régua são medidas aproximadas.

Você não fica satisfeito e começa a desenhar outros quadrados com outras medidas com lados maiores e constata que as medidas das diagonais também acontecem o mesmo, não é possível obter uma medida exata.

Então, fazendo o uso do TEOREMA DE PITÁGORAS e de uma calculadora, você constata que a medida da diagonal do quadrado de lado 1 é √ 2 , aproximadamente 1,414213562373095..., a diagonal do quadrado de lado 2 é 2√, aproximadamente 2,82842712474619..., todos números irracionais.

Passatempo com quadrados estáticos e dinâmicos

quadrado dinâmico e passatempo da subtração

a) Escreva quatro números quaisquer nos vétices de um quadrado (números em vermelho)

b) Subtraia os números entre cada vértice e o coloque no ponto médio dos lados do quadrado o resultado.

c) Continue subtraindo os números entre cada vértice e colocando o resultado no ponto médio dos lados do quadrado até que todas as diferenças sejam iguais.

Este Passatempo se encontra na Coleção Tudo é Matemática, 7 ano , página 189, do Professor Luiz Robeto Dante, editado pela Editora Ática, edição 2011.

Quadrados unidos pelo ponto médio de seus lados

Além do passatempo, o que desperta a atenção é a construção geométrica dos quadrados unidos pelo ponto médio de seus lados.

A partir de um quadrado de lado 1 em vermelho, desenha-se outros quadrados maiores, ligando-os através de seu ponto médio de seus lados. Enquanto os quadrados vermelhos, cujos os lados têm medidas de números inteiros: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... e vão dobrando de tamanho, formando uma progressão geométrica com as próprias medidas de seus lados: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ..., os quadrados pretos subsequentes aos vermelhos têm as medidas dos seus lados a diagonal do quadrado vermelho anterior a ele, que é um número irracional e que também vão dobrando de tamanho:, 2√, 4√, 8√ ,..., e assim sucessivamente.

3.1) Construção de quadrados unidos pelo ponto médio de seus lados

Seguindo os exemplos da figura 1:

a) faça seguimentos perpendiculares com as seguintes graduações: 45, 90, 135 e 180 graus;

b) faça uma circunferência de diâmetro de 1cm;

c) desenhe um quadrado vermelho sobre a circunferência;

d) desenhe um quadrado preto, cujos lados é a diagonal do quadrado de lado 1, seus vértices ficam sobre as linhas perpendiculares verde e o ponto médio de seus lados ficam sobre as linhas perperdiculares laranja e os vértices do quadrado vermelho.

quadrado dinâmico

Desenhando e intercalando quadrados, obtemos uma construção dinâmica de quadrados cujos lados têm medidas proporcionais, quadrados de lados de números inteiros e quadrados de lados de números irracionais.

Quadrados dinâmicos unidos pelo ponto médio de seus lados

quadrados dinâmicos unidos pelo ponto médio dos seus lados

Quadrados dinâmicos unidos pelos lados e pelas diagonais

quadrados dinâmicos unidos pelas diagonais

Quadrados dinâmicos unidos pelos lados e pelas diagonais

quadrados dinâmicos unidos pelas diagonais

Quadrados dinâmicos unidos pelos lados e pelas diagonais

quadrados dinâmicos unidos pelas diagonais e lados

Autor: Ricardo Silva - abril/2016

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