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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Raiz quadrada aproximada - 157

Extrair a raiz quadrada de determinados números inteiros as vezes são cálculos rápidos que podemos fazer mentalmente, outras vezes, temos que se valer de algorítmos como da Decomposição em Fatores Primos, algorítmo este também utilizado para se determinar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) e MDC (Máximo Divisor Comum) e que é ensinado a partir do 6o ano do ensino fundamental.

Quando se tem que se extrair a raiz quadrada de números irracionais, fazemos também o uso de algorítmos que nos dão números decimais aproximados.

Um desses algorítmos, se encontra publicado na Coleção Lisa - Biblioteca da Matemática Moderna - volume 1 e aqui o apresento fazendo um estudo de como as raízes quadradas aproximadas obtidas por meio deste algorítmo se relacionam com raízes e números quadrados pefeitos.

√2 é um número irracional assim como todos os números que são representados por um número decimal infinito e não periódico.

Fórmula de extração de raiz quadrada aproximada

    N + Q
√N = __________
    2. √Q
Q 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
                     
√Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Exemplo 1)

√2 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado

2 está próximo de Q=4 e √4

    2 + 4
√2 = __________
    2. √4
    6
√2 = __________
    2. 2
    6
√2 = __________
    4
√2 = 1,5

Exemplo 2)

√3 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado

3 está próximo de Q=4 e √4

    3 + 4
√3 = __________
    2. √4
    7
√3 = __________
    2. 2
    7
√3 = __________
    4
√3 = 1,75

Exemplo 3)

√5 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado

5 está próximo de Q=4 e √4

    5 + 4
√5 = __________
    2. √4
    9
√5 = __________
    2. 2
    9
√5 = __________
    4
√5 = 2,25

Tabela de raízes quadradas aproximadas

A partir da fórmula apresentada acima, construiu-se a seguinte tabela de raízes quadradas aproximadas de alguns números que não são quadrados perfeitos e analizando mais detalhadamente observamos certas regularidades númericas com a sequência dos números quadrados perfeitos, vejamos:

Tabela de raízes
quadradas aproximadas
   
No Quadrado Q 2. √Q Raiz
    aproximada
   
1 1
2 2 + 4 = 6 : 4 1,5
3 3 + 4 = 7 : 4 1,75
4 4      
5 5 + 4 = 9 : 4 2,25
6 6 + 4 = 10 : 4 2,5
7 7 + 9 = 16 : 6 2,66
8 8 + 9 = 17 : 6 2,83
9 9      
10 10 + 9 = 19 : 6 3,16
11 11 + 9 = 20 : 6 3,33
12 12 + 9 = 21 : 6 3,5
13 13 + 16 = 29 : 8 3,62
14 14 + 16 = 30 : 8 3,75
15 15 + 16 = 31 : 8 3,87
16 16      
17 17 + 16 = 33 ;; 8 4,12
18 18 + 16 = 34 ; 8 4,25
19 19 + 16 = 35 : 8 4,37
20 20 + 16 = 36 : 8 4,5
21 21 + 25 = 46 : 10 4,6
22 22 + 25 = 47 : 10 4,7
23 23 + 25 = 48 : 10 4,8
24 24 + 25 = 49 : 10 4,9
25 25

2a) todo número elevado ao quadrado ou multiplicado por ele mesmo tem como resultado um número quadrado perfeito:

12 = 1

22 = 4

32 = 9

2b) Nem todo número é um quadrado perfeito:

1 é quadrado perfeito, pois tem raiz quadrada exata

2 não é quadrado perfeito

3 não e quadrado perfeito

4 é quadrado perfeito, pois tem raiz quadrada exata

2c) A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é um número ímpar:

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

2d) O intervalo entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é um número par:

entre os quadrados 1 e 4 há um intervalo de 2 números

1 1
2 2 + 4 = 6 : 4 1,5
3 3 + 4 = 7 : 4 1,75
4 4      

entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números

4 4      
5 5 + 4 = 9 : 4 2,25
6 6 + 4 = 10 : 4 2,5
7 7 + 9 = 16 : 6 2,66
8 8 + 9 = 17 : 6 2,83
9 9      

entre os quadrados 9 e 16 há um intervalo de 6 números

9 9      
10 10 + 9 = 19 : 6 3,16
11 11 + 9 = 20 : 6 3,33
12 12 + 9 = 21 : 6 3,5
13 13 + 16 = 29 : 8 3,62
14 14 + 16 = 30 : 8 3,75
15 15 + 16 = 31 : 8 3,87
16 16      

Os intervalos entre os números quadrados perfeitos

Entre dois quadrados perfeitos consecutivos há sempre uma quantidade par de números não quadrados perfeitos, e de uma forma prática é só subtrair uma unidade da diferença entre dois quadrados perfeitos.

exemplo

9 - 4 = 5

5 - 1 = 4

entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números

4 4      
5 5 + 4 = 9 : 4 2,25
6 6 + 4 = 10 : 4 2,5
7 7 + 9 = 16 : 6 2,66
8 8 + 9 = 17 : 6 2,83
9 9      

Os números 5, 6, 7 e 8 não são quadrados perfeitos e estão entre os quadrados 4 e 9.

Os números 5 e 6 são somados com o quadrado mais próximo: o 4

Os números 7 e 8 são somados com o quadrado mais próximo: o 9

Então qualquer que seja o intervalo entre dois números quadrados perfeitos consecutivos, uma metade dos números não quadrados perfeitos será somada com o quadrado de valor mais baixo e a outra com o quadrado de valor mais alto.

Etapas de extração de raízes quadradas

Observando a tabela de raízes quadradas aproximadas, a medida que os números quadrados aumentam, aumentam também as diferenças e os intervalos entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.

Os intervalos que são em quantidades pares são o dobro da raiz quadrada de determinado número quadrado perfeito.

Entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números

O intervalo é o dobro da raiz quadrada de 4 (2 x 2 = 4)

4 4      
5 5 + 4 = 9 : 4 2,25
6 6 + 4 = 10 : 4 2,5
7 7 + 9 = 16 : 6 2,66
8 8 + 9 = 17 : 6 2,83
9 9      

Entre os quadrados 9 e 16 há um intervalo de 6 números

O intervalo é o dobro da raiz quadrada de 9 (3 x 3 = 6)

9 9      
10 10 + 9 = 19 : 6 3,16
11 11 + 9 = 20 : 6 3,33
12 12 + 9 = 21 : 6 3,5
13 13 + 16 = 29 : 8 3,62
14 14 + 16 = 30 : 8 3,75
15 15 + 16 = 31 : 8 3,87
16 16      

Na Tabela da diferença entre números quadrados perfeitos a seguir, temos os números de 10 a 20 com seus respectivos quadrados e diferenças.

Entre os quadrados 100 e 400 temos 9 quadrados perfeitos e suas raízes.

Entre os quadrados 100 e 121 há 20 números que não são quadrados perfeitos e portanto de raízes decimais infinitas e não periódicas.

Tabela da diferença
entre números quadrados perfeitos
de 100 a 400
     
NÚMERO
QUADRADO
ÍMPARES
(Diferença entre
os números quadrados)
     
     
10
100
21
11
121
23
12
144
25
13
169
27
14
196
29
15
225
31
16
256
33
17
289
35
18
324
37
19
361
39
20
400
41

Para se extrair a raiz quadrada, seja ela exata ou aproximada de determinado número, por exemplo, o número 120, devemos observar sua classe e ordem, se e formado por unidades, dezenas, centenas, milhares, etc. e verificar em que faixa ele se encontra.

O número 120 se encontra na faixa do quadrado 100.

Entre o quadrado 100 de raiz 10 e o quadrado 400 de raiz 20 há nove quadrados perfeitos: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 e suas respectivas raízes: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19.

Entre o quadrado 100 de raiz 10 e o quadrado 121 de raiz 11 há vinte números que não são quadrados perfeitos: 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120.

Então, o número 120 se encontra entre os quadrados 100 e 121 e mais próximo do quadrado 121.

√120 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado

120 está próximo de Q=121 e √121

    120 + 121
√120 = __________
    2. √121
    241
√120 = __________
    2. 11
    241
√120 = __________
    22
√120 = 10,95

Efetuando os cálculos em uma Calculadora Digital, obtem-se um número com 30 casas decimais:

√120 = 10,954451150103322269139395656016

Terminações, classe e ordens de quadrados perfeitos

Os números quadrados perfeitos têm terminações que facilitam no seu reconhecimento, observando a tabela abaixo, vemos que os quadrados perfeitos terminam em 1, 4, 9, 6, 5 e 0 e sempre nesta sequência: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0; 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0 e assim infinitamente.

Não há quadrados perfeitos terminados em 2, 3, 7 e 8.

Outra regularidade é que as sequências de números quadrados perfeitos se organizam em classes e ordens a medida que vão aumentando a quantidade de algarismos.

Números quadrados perfeitos
- terminaçoes, classe e ordem
   
Número Quadrado
Raiz  
   
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9 81
10
100
20
400
30
900
40
1.600
50
2.500
60
3.600
70
4.900
80
6.400
90 8.100
100
10.000
200
40.000
300
90.000
400
160.000
500
250.000
600
360.000
700
490.000
800
640.000
900 810.000
1000
1.000.000

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2017

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