Extrair a raiz quadrada de determinados números inteiros as vezes são cálculos rápidos que podemos fazer mentalmente, outras vezes, temos que se valer de algoritmos como da Decomposição em Fatores Primos, algoritmo este também utilizado para se determinar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) e MDC (Máximo Divisor Comum) e que é ensinado a partir do 6o ano do ensino fundamental.
Quando se tem que se extrair a raiz quadrada de números irracionais, fazemos também o uso de algoritmos que nos dão números decimais aproximados.
Um desses algoritmos, se encontra publicado na Coleção Lisa - Biblioteca da Matemática Moderna - volume 1 e aqui é apresentado fazendo-se estudo de como as raízes quadradas aproximadas obtidas por meio deste algoritmo se relacionam com raízes e números quadrados pefeitos.
√2 é um número irracional assim como todos os números que são representados por um número decimal infinito e não periódico.
| N + Q | ||
| √N | = | __________ |
| 2. √Q |
| Q | √Q |
|---|---|
| (quadrado) | |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
| 25 | 5 |
| 36 | 6 |
| 49 | 7 |
| 64 | 8 |
| 81 | 9 |
| 100 | 10 |
√2 é um número irracional.
Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado.
2 está próximo de Q=4 e √4.
| 2 + 4 | ||
| √2 | = | __________ |
| 2. √4 |
| 6 | ||
| √2 | = | __________ |
| 2. 2 |
| 6 | ||
| √2 | = | __________ |
| 4 |
| √2 | = | 1,5 |
√3 é um número irracional.
Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado.
3 está próximo de Q=4 e √4.
| 3 + 4 | ||
| √3 | = | __________ |
| 2. √4 |
| 7 | ||
| √3 | = | __________ |
| 2. 2 |
| 7 | ||
| √3 | = | __________ |
| 4 |
| √3 | = | 1,75 |
√5 é um número irracional.
Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado.
5 está próximo de Q=4 e √4.
| 5 + 4 | ||
| √5 | = | __________ |
| 2. √4 |
| 9 | ||
| √5 | = | __________ |
| 2. 2 |
| 9 | ||
| √5 | = | __________ |
| 4 |
| √5 | = | 2,25 |
A partir da fórmula apresentada acima, construiu-se a seguinte tabela de raízes quadradas aproximadas de alguns números que não são quadrados perfeitos e analizando mais detalhadamente observamos certas regularidades numéricas com a sequência dos números quadrados perfeitos, vejamos:
| Tabela | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| raízes quadradas | |||||||||
| aproximadas | |||||||||
| raiz | |||||||||
| número | quadrado | Q | 2. √Q | quadrada | |||||
| aproximada | |||||||||
| 1 | 1 | ||||||||
| 2 | 2 | + | 4 | = | 6 | : | 4 | 1,5 | |
| 3 | 3 | + | 4 | = | 7 | : | 4 | 1,75 | |
| 4 | 4 | ||||||||
| 5 | 5 | + | 4 | = | 9 | : | 4 | 2,25 | |
| 6 | 6 | + | 4 | = | 10 | : | 4 | 2,5 | |
| 7 | 7 | + | 9 | = | 16 | : | 6 | 2,66 | |
| 8 | 8 | + | 9 | = | 17 | : | 6 | 2,83 | |
| 9 | 9 | ||||||||
| 10 | 10 | + | 9 | = | 19 | : | 6 | 3,16 | |
| 11 | 11 | + | 9 | = | 20 | : | 6 | 3,33 | |
| 12 | 12 | + | 9 | = | 21 | : | 6 | 3,5 | |
| 13 | 13 | + | 16 | = | 29 | : | 8 | 3,62 | |
| 14 | 14 | + | 16 | = | 30 | : | 8 | 3,75 | |
| 15 | 15 | + | 16 | = | 31 | : | 8 | 3,87 | |
| 16 | 16 | ||||||||
| 17 | 17 | + | 16 | = | 33 | ;; | 8 | 4,12 | |
| 18 | 18 | + | 16 | = | 34 | ; | 8 | 4,25 | |
| 19 | 19 | + | 16 | = | 35 | : | 8 | 4,37 | |
| 20 | 20 | + | 16 | = | 36 | : | 8 | 4,5 | |
| 21 | 21 | + | 25 | = | 46 | : | 10 | 4,6 | |
| 22 | 22 | + | 25 | = | 47 | : | 10 | 4,7 | |
| 23 | 23 | + | 25 | = | 48 | : | 10 | 4,8 | |
| 24 | 24 | + | 25 | = | 49 | : | 10 | 4,9 | |
| 25 | 25 | ||||||||
a) todo número elevado ao quadrado ou multiplicado por ele mesmo tem como resultado um número quadrado perfeito:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
b) Nem todo número é um quadrado perfeito:
1 é quadrado perfeito, pois tem raiz quadrada exata;
2 não é quadrado perfeito;
3 não e quadrado perfeito;
4 é quadrado perfeito, pois tem raiz quadrada exata.
c) A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é um número ímpar:
4 - 1 = 3
9 - 4 = 5
16 - 9 = 7
d) O intervalo entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é um número par:
entre os quadrados 1 e 4 há um intervalo de 2 números.
| 1 | 1 | ||||||||
| 2 | 2 | + | 4 | = | 6 | : | 4 | 1,5 | |
| 3 | 3 | + | 4 | = | 7 | : | 4 | 1,75 | |
| 4 | 4 |
entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números.
| 4 | 4 | ||||||||
| 5 | 5 | + | 4 | = | 9 | : | 4 | 2,25 | |
| 6 | 6 | + | 4 | = | 10 | : | 4 | 2,5 | |
| 7 | 7 | + | 9 | = | 16 | : | 6 | 2,66 | |
| 8 | 8 | + | 9 | = | 17 | : | 6 | 2,83 | |
| 9 | 9 |
entre os quadrados 9 e 16 há um intervalo de 6 números.
| 9 | 9 | ||||||||
| 10 | 10 | + | 9 | = | 19 | : | 6 | 3,16 | |
| 11 | 11 | + | 9 | = | 20 | : | 6 | 3,33 | |
| 12 | 12 | + | 9 | = | 21 | : | 6 | 3,5 | |
| 13 | 13 | + | 16 | = | 29 | : | 8 | 3,62 | |
| 14 | 14 | + | 16 | = | 30 | : | 8 | 3,75 | |
| 15 | 15 | + | 16 | = | 31 | : | 8 | 3,87 | |
| 16 | 16 |
Entre dois quadrados perfeitos consecutivos há sempre uma quantidade par de números que não são quadrados perfeitos, e de uma forma prática é só subtrair uma unidade da diferença entre dois quadrados perfeitos.
Exemplos:
9 - 4 = 5
5 - 1 = 4
Entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números.
| 4 | 4 | ||||||||
| 5 | 5 | + | 4 | = | 9 | : | 4 | 2,25 | |
| 6 | 6 | + | 4 | = | 10 | : | 4 | 2,5 | |
| 7 | 7 | + | 9 | = | 16 | : | 6 | 2,66 | |
| 8 | 8 | + | 9 | = | 17 | : | 6 | 2,83 | |
| 9 | 9 |
Os números 5, 6, 7 e 8 não são quadrados perfeitos e estão entre os quadrados 4 e 9.
Os números 5 e 6 são somados com o quadrado mais próximo: o 4.
Os números 7 e 8 são somados com o quadrado mais próximo: o 9.
Então qualquer que seja o intervalo entre dois números quadrados perfeitos consecutivos, uma metade dos números não quadrados perfeitos e será somada com o quadrado de valor mais baixo e a outra com o quadrado de valor mais alto.
Observando a tabela de raízes quadradas aproximadas, a medida que os números quadrados aumentam, aumentam também as diferenças e os intervalos entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.
Os intervalos que são em quantidades pares são o dobro da raiz quadrada de determinado número quadrado perfeito.
Entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números.
O intervalo é o dobro da raiz quadrada de 4 (2 x 2 = 4).
| 4 | 4 | ||||||||
| 5 | 5 | + | 4 | = | 9 | : | 4 | 2,25 | |
| 6 | 6 | + | 4 | = | 10 | : | 4 | 2,5 | |
| 7 | 7 | + | 9 | = | 16 | : | 6 | 2,66 | |
| 8 | 8 | + | 9 | = | 17 | : | 6 | 2,83 | |
| 9 | 9 |
Entre os quadrados 9 e 16 há um intervalo de 6 números.
O intervalo é o dobro da raiz quadrada de 9 (3 x 3 = 6).
| 9 | 9 | ||||||||
| 10 | 10 | + | 9 | = | 19 | : | 6 | 3,16 | |
| 11 | 11 | + | 9 | = | 20 | : | 6 | 3,33 | |
| 12 | 12 | + | 9 | = | 21 | : | 6 | 3,5 | |
| 13 | 13 | + | 16 | = | 29 | : | 8 | 3,62 | |
| 14 | 14 | + | 16 | = | 30 | : | 8 | 3,75 | |
| 15 | 15 | + | 16 | = | 31 | : | 8 | 3,87 | |
| 16 | 16 |
Na Tabela da diferença entre números quadrados perfeitos a seguir, temos os números de 10 a 20 com seus respectivos quadrados e diferenças.
Entre os quadrados 100 e 400 temos 9 quadrados perfeitos e suas raízes.
Entre os quadrados 100 e 121 há 20 números que não são quadrados perfeitos e portanto de raízes decimais infinitas e não periódicas.
| Tabela da diferença entre números quadrados perfeitos de 100 a 400 |
||
|---|---|---|
| número | quadrado | ímpares |
| (diferença entre os números quadrados) |
||
| 10 | 100 | 21 |
| 11 | 121 | 23 |
| 12 | 144 | 25 |
| 13 | 169 | 27 |
| 14 | 196 | 29 |
| 15 | 225 | 31 |
| 16 | 256 | 33 |
| 17 | 289 | 35 |
| 18 | 324 | 37 |
| 19 | 361 | 39 |
| 20 | 400 | 41 |
Para se extrair a raiz quadrada, seja ela exata ou aproximada de determinado número, por exemplo, o número 120, devemos observar sua classe e ordem, se é formado por unidades, dezenas, centenas, milhares, etc. e verificar em que faixa ele se encontra.
O número 120 se encontra na faixa do quadrado 100.
Entre o quadrado 100 cuja raiz é 10 e o quadrado 400 cuja raiz é 20, há nove quadrados perfeitos: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 e suas respectivas raízes: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19.
Entre o quadrado 100 cuja raiz é 10 e o quadrado 121 cuja raiz é 11, há vinte números que não são quadrados perfeitos: 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120.
Então, o número 120 se encontra entre os quadrados 100 e 121 e mais próximo do quadrado 121.
√120 é um número irracional.
Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado.
120 está próximo de Q=121 e √121.
| 120 + 121 | ||
| √120 | = | __________ |
| 2. √121 |
| 241 | ||
| √120 | = | __________ |
| 2. 11 |
| 241 | ||
| √120 | = | __________ |
| 22 |
| √120 | = | 10,95 |
Efetuando os cálculos em uma Calculadora Digital, obtem-se um número com 30 casas decimais:
√120 = 10,954
Os números quadrados perfeitos têm terminações que facilitam no seu reconhecimento, observando a tabela abaixo, vemos que os quadrados perfeitos terminam em 1, 4, 9, 6, 5 e 0 e sempre nesta sequência: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0; 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0 e assim infinitamente.
Não há quadrados perfeitos terminados em 2, 3, 7 e 8.
Outra regularidade é que as sequências de números quadrados perfeitos se organizam em classes e ordens a medida que vão aumentando a quantidade de algarismos.
| Números quadrados perfeitos: | |
|---|---|
| -terminações, classes e ordens | |
| Número | Quadrado |
| Raiz | |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 20 | 400 |
| 30 | 900 |
| 40 | 1.600 |
| 50 | 2.500 |
| 60 | 3.600 |
| 70 | 4.900 |
| 80 | 6.400 |
| 90 | 8.100 |
| 100 | 10.000 |
| 200 | 40.000 |
| 300 | 90.000 |
| 400 | 160.000 |
| 500 | 250.000 |
| 600 | 360.000 |
| 700 | 490.000 |
| 800 | 640.000 |
| 900 | 810.000 |
| 1000 | 1.000.000 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2017
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
