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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrado inscrito e circunscrito numa circunferência - 143

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.

Imagine a seguinte situação, deseja-se projetar um eixo de uma roda cuja circunferência tem 5cm de diâmetro. Se o eixo for em formato cilíndrico, não há mistério algum, pois terá a mesma medida do diâmetro, mas se o eixo for em formato de um prisma quadrangular, qual será as medidas dos lados?

Há cálculos rápidos para se determinar os lados de um quadrado inscrito em uma circunferência, mas antes vamos ver as relações existentes entre a circunferência e o quadrado através de modelos e cálculos matemáticos.

Desenho de um quadrado inscrito numa circunferência

quadrado inscrito numa circunferencia

Desenhando circunferências de dimensões quaisquer e posteriormente traçando-se dois diâmetros perpendiculares, os pontos em que as linhas dos diâmetros tocam a circunferência determinam as medidas do lados do quadrado.

No exemplo acima, a circunferência está desenhada em diagrama quadradiculado de 1cm cada.

A circunferência possui um diâmetro de 5cm e o lados do quadrado tem 3,53cm.

Através do Teorema de Pitágoras - método 1

quadrado inscrito num circunferencia e teorema de pitagoras

Traçando-se dois diâmetros de 45 graus e posteriormente o quadrado, determinamos também dois triângulos retângulos isóceles maiores, com os quais podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e determinar as medidas dos lados do quadrado.

d2 = x2 + x2

52 = x2 + x2

25 = 2x2

25/2 = x2

12,5 = x2

√12,5 = x

x = 3,53

Através do Teorema de Pitágoras - método 2

quadro inscrito numa circunferencia e teorema de pitagoras

Traçados os diâmetros e posteriormente o quadrado, determinamos também quatro triângulos retângulos isóceles menores, com os quais podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e determinar as medidas dos lados do quadrado em função dos raios da circunferência.

L2 = r2 + r2

L2 = 2,52 +2,52

L2 = 6,25 + 6,25

L2 = 12,5

L = √12,5

L = 3,53

Divisão do diâmetro pela √2 (raiz quadrada de 2)

Outro método de se determinar a medida dos lados do quadrado inscrito num circunferência é dividindo a medida do diâmetro pela raiz quadrada de 2 (√2 ).

5 : √2 =

= 5 : 1,4142

= 3,5355

O quadrado circunscrito numa circunferência

quadrado circunscrito numa circunferencia

Outra relação interessante existente entre circunferência e quadrado é que a partir do produto do diâmetro pela raiz quadrada de dois (√2 ) determina-se um outro quadrado, só que este circunscrito a uma circunferência.

5 x √2 =

= 5 x 1,4142

= 7,0710

Autor: Ricardo Silva - julho/2017

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