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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Diagonais de polígonos e sequências numéricas - 119

Polígono é um contorno formado por segmentos de retas que nâo se cruzam.

Dependendo do número de lados, os polígonos recebem nomes especiais:

Triângulo - polígono de 3 lados;

Quadrilátero - polígono de 4 lados;

Pentágono - polígono de 5 lados;

Hexágono - polígono de 6 lados;

Heptágono - polígono de 7 lados;

Octógono - polígono de 8 lados

Eneágono - polígono de 9 lados

Decágono - polígono de 10 lados...

Expressão e Fórmula para se determinar a quantidade de diagonais de um polígono

Diagonal é o seguimento de reta cujas extremidades tocam dois vértices não consecutivos de um polígono.

As diagonais de um polígono a partir do quadrilátero apresentam regularidades e padrões numéricos que são objetos deste estudo.

Expressão que determina quantas diagonais partem de cada vértice de um polígono:

( n - 3 )

Expressão que determina o dobro do total de diagonais de um polígono:

n x ( n - 3 )

Fórmula que determina o total de diagonais de um polígono:

n x ( n - 3 )
d = _______
2

Diagonais do quadrado

Quadrilátero (Quadrado) - 4 lados ( n = 4 )

diagonais do quadrado

( 4 - 3 ) = 1

de cada vértice parte 1 diagonal.

4 x (4-3)
d = _______
2
4 x 1
d = _____
2
4
d = _____
2
d = 2

Número de diagonais: 2

Diagonais do pentágono

Pentágono - 5 lados ( n = 5 )

diagonais do pentágono

( 5 - 3 ) = 2

de cada vértice partem 2 diagonais.

5 x ( 5 - 3 )
d = _______
2
5 x 2
d = _______
2
10
d = ____
2
 
d = 5
 

Número de diagonais: 5

Diagonais do Hexágono

Hexágono - 6 lados ( n = 6 )

diagonais do hexágono

( 6 - 3 ) = 3

de cada vértice partem 3 diagonais.

6 x ( 6 - 3 )
d = _______
2
6 x 3
d = _______
2
18
d = ____
2
 
d = 9
 

Número de diagonais: 9

Diagonais do heptágono

Heptágono - 7 lados ( n = 7 )

diagonais do heptágono

( 7 - 3 ) = 4

de cada vértice partem 4 diagonais.

Número de diagonais: 14

Diagonais do octógono

Octógono - 8 lados ( n = 8 )

diagonais do octógono

( 8 - 3 ) = 5

de cada vértice partem 5 diagonais.

Número de diagonais: 20

Diagonais do eneágono

Eneágono - 9 lados ( n = 9 )

diagonais do eneágono

( 9 - 3 ) = 6

de cada vértice partem 6 diagonais.

Número de diagonais: 27

Diagonais do decágono

Eneágono - 10 lados ( n = 10 )

diagonais do decágono

( 10 - 3 ) = 7

de cada vértice partem 7 diagonais.

Número de diagonais: 35

Regularidades na construção de polígonos convexos

A medida que se aumentam os lados de um polígono convexo, aumentam-se os vértices na mesma quantidade.

Os números de diagonais que partem de cada vértice, seguem uma progressão aritmética: 1, 2, 3, 4, etc.

Polígonos:
vértices e diagonais
         
    diagonais    
    que    
    partem total diferença
nome lados / de cada diagonais diagonais
  vértices vértice    
         
triângulo 3 0 0  
         
quadrilátero 4 1 2  
        3
pentágono 5 2 5  
        4
hexágono 6 3 9  
        5
heptágono 7 4 14  
        6
octógono 8 5 20  
        7
eneágono 9 6 27  
        8
decágono 10 7 35  
        9
undecágono 11 8 44  
        10
dodecágono 12 9 54  
        11
tridecágono 13 10 65  
        12
tetradecágono 14 11 77  
        13
pentadecágono 15 12 90  
        14
hexadecágono 16 13 104  
        15
heptadecágono 17 14 119  
        16
octadecágono 18 15 135  
        17
eneadecágono 19 16 152  
        18
icoságono 20 17 170  
         

A diferença entre os totais de diagonais de dois polígonos de lados consecutivos é uma progressão aritimética a partir de um quadrilátero: 3, 4, 5, 6, etc.

Regularidades na construção de polígonos convexos e o número 3

Nos polígonos cujos lados e vértices são múltiplos de 3, as diagonais que partem de cada vértice e o total de diagonais também são múltiplos de 3.

A diferença entre os totais de diagonais entre dois polígonos é um múltiplo de 3.

Polígonos:
vértices e diagonais
         
    diagonais total diferença
nome lados / de cada diagonais diagonais
  vértices vértice    
         
hexágono 6 3 9  
        18
eneágono 9 6 27  
        27
dodecágono 12 9 54  
        36
pentadecágono 15 12 90  
        45
octadecágono 18 15 135  

 

Autor: Ricardo Silva - junho/2016

Fontes Bibliográficas:

DANTE, Luiz Roberto Dante. Tudo é Matêmáica / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

IEZZI, Gelson. Realidade Matemática: / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo: Atual, 2009

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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