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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Diagonais de polígonos e sequências numéricas - 119

As diagonais a partir do quadrilátero apresentam regularidades e padrões numéricos, a diferença entre os números de lados de um polígono e as diagonais que partem de cada vértice possuem um valor constante de 3 unidades formando uma progressão aritmética.

Expressão e Fórmula para se determinar a quantidade de diagonais de um polígono

Diagonal é o seguimento de reta cujas extremidades tocam dois vértices não consecutivos de um polígono.

Expressão que determina quantas diagonais partem de cada vértice de um polígono:

( n - 3 )

Expressão que determina o dobro do total de diagonais de um polígono:

n x ( n - 3 )

Fórmula que determina o total de diagonais de um polígono:

n x ( n - 3 )
d =
_______
2

Quadrilátero: seus vértices e diagonais

Quadrilátero (Quadrado) - 4 lados ( n = 4 )

quadrilátero e seus vértice e diagonais

( 4 - 3 ) = 1

de cada vértice parte 1 diagonal.

4 x ( 4 - 3 )
d =
_______
2
4 x 1
d =
_______
2
4
d =
____
=
2
2

Número de diagonais: 2

Pentágono: seus vértices e diagonais

Pentágono - 5 lados ( n = 5 )

pentágono e seus vértice e diagonais

( 5 - 3 ) = 2

de cada vértice partem 2 diagonais.

5 x ( 5 - 3 )
d =
_______
2
5 x 2
d =
_______
2
10
d =
____
=
5
2

Número de diagonais: 5

Pentágono: seus vértices e diagonais

Hexágono - 6 lados ( n = 6 )

hexágono e seus vértice e diagonais

( 6 - 3 ) = 3

de cada vértice partem 3 diagonais.

6 x ( 6 - 3 )
d =
_______
2
6 x 3
d =
_______
2
18
d =
____
=
9
2

Número de diagonais: 9

Hexágono: seus vértices e diagonais

Hexágono - 7 lados ( n = 7 )

heptágono e seus vértice e diagonais

( 7 - 3 ) = 4

de cada vértice partem 4 diagonais.

Regularidades na construção de polígonos convexos

A medida que se aumentam os lados de um polígono convexo, aumentam-se os vértices na mesma quantidade.

Os números de diagonais que partem de cada vértice, seguem uma progressão aritmética: 1, 2, 3, 4, etc.

Polígonos:
seus vértices
e diagonais
         
Nome Lados Diagonais a partir
de cada
vértice
Total de
diagonais
Diferença
do total
de diagonais
  Vértices      
         
Quadrilátero
4
1
2
3
Pentágono
5
2
5
4
Hexágono
6
3
9
5
heptágono
7
4
14
6
Octógono
8
5
20
7
Eneágono
9
6
27
8
Decágono
10
7
35
9
Unde-
cágono
11
8
44
10
Dode-
cágono
12
9
54
11
Tride-
cágono
13
10
65
12
tetra-
decágono
14
11
77
13
Penta-
decágono
15
12
90
14
Hexa-
decágono
16
13
104
15
Hepta-
decágono
17
14
119
16
Octa-
decágono
18
15
135
17
Enea-
decágono
19
16
152
18
Icoságono
20
17
170
19

A diferença entre os totais de diagonais de dois polígonos de lados consecutivos é uma progressão aritimética a partir de um quadrilátero: 3, 4, 5, 6, etc.

Regularidades na construção de polígonos convexos e o número 3

Nos polígonos cujos lados e vértices são múltiplos de 3, as diagonais que partem de cada vértice e o total de diagonais também são múltiplos de 3.

A diferença entre os totais de diagonais entre dois polígonos é um múltiplo de 3.

Polígonos:
seus vértices
e diagonais
         
Nome Lados Diagonais a partir
de cada
vértice
Total dediagonais Diferença
do total
de
diagonais
  Vértices      
         
Hexágono
6
3
9
18
Eneágono
9
6
27
27
Dode-
cágono
12
9
54
36
Penta-
decágono
15
12
90
45
Octa-
decágono
18
15
135

Autor: Ricardo Silva - junho/2016

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