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Equação do Segundo Grau com quadrados e retângulos - 023

Assim como o Teorema de Pitágoras tem vasta aplicação em vários ramos das Ciências, a Equação do Segundo Grau não foge à regra, pois também é utilizada em diversas áreas para resoluções de problemas matemáticos, possui várias propriedades, sua estrutura pode ser completa e incompleta, isto é, pode ter de um a três termos e ainda pode ser resolvida por diversos métodos com a utlização da Geometria, Álgebra ou Álgebra e Geometria conjuntamente.

Por muito tempo, ficava imaginando como surgiu a Equação do Segundo Grau, como a inventaram.

Imagine você há centenas de anos atrás, na região da Mesopotânia, brincando talvez com um Quebra-Cabeça cujas peças são quadradinhos como das figuras a seguir.

Você começa a montar figuras de quadrados e retângulos da seguinte forma:

a) monta-se um quadrado (1x1) - uma peça;

b) acrescenta-se peças com o drobro do lado do quadrado formando retângulo;

c) e na terceira etapa monta-se uma figura tipo "cantoneira" com a quantidade de peças do retângulo, deslocando uma das coluna de quadrados para a base do quadrado.

O objetivo é ir montando, quadrados, retângulos e cantoneiras.

Padrões tanto geométricos quanto numéricos nas montagens da figuras vão surgindo.

A justaposição de quadradinhos formam-se números figurados.

Em relação aos padrões numéricos, tem-se sequência de números quadrados perfeitos, sequência de números oblongos (números retângulares) e uma outra sequência em que os números são uma unidade menor que um número quadrado perfeito.

Estes padrões, como veremos a seguir, podem ter sidos as bases de concepção da Equação do Segundo Grau.

equação do segundo com quadrados e retângulos

Filme Estória da Matemática

The Story of Maths - The Language of The Universe.

Escrito e apresentado pelo Prof. Marcus Du Sautoy.

The Open University - BBC - XXVIII.

Na cena do filme, no tempo de 30 mim e 04 segundos é apresentado como a civilização babilônia resolvia Equação Quadrática, isto é, Equação do Segundo Grau a partir da área de um terreno.

No exemplo, a partir da área de 55 unidades quadradas, com o lado maior somando 6 unidades a mais que o lado menor, quanto mede o lado menor?

equacao do segundo grau-equacao-quadratica

A solução apresentada no filme é a utilização do Método de Completar Quadrados.

x (x + 6) = 55

x2 + 6x = 55

Completando quadrados

dividi-se o coeficiente 6 do termo "bx" por 2 e eleve ao quadrado e some-o ao primeiro e segundo membros para equilibrar a equação.

x2 + 6x + 32 = 55 + 32

x2 + 6x + 9 = 55 + 9

o primeiro membro torna-se um Trinômio Quadrado Perfeito.

x2 + 6x + 9 = 64

fatora-se o primeiro membro - quadrado da soma (produto notável).

(x + 3)2 = 64

extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

x + 3 = ± √64

x + 3 = ± 8

Raízes da equação

Solução positiva

x' = + 8 - 3 = 5

Solução negativa

x" = - 8 - 3 = -11

Equação do Segundo Grau e retângulo de área 3

Resolver uma Equação do Segundo Grau é encontrar dois números cuja soma e produtos são conhecidos.

Nos exemplos abaixo, precisam se saber quais são as incógnitas que somadas duas vezes o lado de um quadrado tem como resultado a área de um retângulo

ou

Tendo um retângulo formado por tantas unidades quadradas, quais os números que formam o seu maior e menor lados (largura e altura).

A soma é 4 e o produto é 3.

Através da adição, o número 4 pode ser obtido:

1 + 3 = 4

2 + 2 = 4

Através da multiplicação o número 3 pode ser obtido:

1 x 3 = 3

O semiperímetro do retângulo é 4 (largura 3 + altura 1).

equação do segundo grau e retângulo de área 3

A Equação do Segundo Grau não é um trinômio quadrado perfeito.

x (x+2) = 3

x2 + 2x = 3

Completando quadrados

dividi-se o coeficiente 2 do termo "bx" por 2 e eleve ao quadrado e some-o ao segundo membro para equilibrar a equação.

x2 + 2x + 12 = 3 + 12

x2 + 2x + 1 = 3 + 1

o primeiro membro torna-se um Trinômio Quadrado Perfeito.

x2 + 2x + 1 = 3 + 1

fatora-se o primeiro membro - quadrado da soma (produto notável).

(x + 1)2 = 4

extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

x + 1 = ± √4

x + 1 = ± 2

Raízes da equação

Solução positiva

x' = + 2 - 1 = 1

Solução negativa

x" = - 2 - 1 = - 3

Equação do Segundo Grau e retângulo de área 8

A soma é 6 e o produto é 8.

Através da adição, o número 6 pode ser obtido:

1 + 5 = 6

2 + 4 = 6

3 + 3 = 6

Através da multiplicação o número 8 pode ser obtido:

1 x 8 = 8

2 x 4 = 8

O semiperímetro do retângulo é 6 (largura 4 + altura 2).

equação segundo grau e retângulo area 8

A Equação do Segundo Grau não é um trinômio quadrado perfeito.

x (x+2) = 8

x2 + 2x = 8

Completando quadrados

dividide-se o coeficiente 2 do termo bx por 2 e eleve ao quadrado e some-o ao primeiro e segundo membros para equilibrar a equação.

x2 + 2x + 12 = 8 + 12

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

o primeiro membro torna-se um Trinômio Quadrado Perfeito.

x2 + 2x + 1 = 9

fatora-se o primeiro membro - quadrado da soma (produto notável).

(x + 1)2 = 9

extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

x + 1 = ± √9

x + 1 = ± 3

Raízes da equação

Solução positiva

x' = + 3 - 1 = 2

Solução negativa

x" = - 3 - 1 = - 4

Equação do Segundo Grau e retângulo de área 15

A soma é 8 e o produto é 15.

Através da adição, o número 8 pode ser obtido:

1 + 7 = 8

2 + 6 = 8

3 + 5 = 8

4 + 4 = 8

Através da multiplicação o número 15 pode ser obtido:

1 x 15 = 15

3 x 5 = 15

O semiperímetro do retângulo é 8 (largura 5 + altura 3).

equação segundo grau e retângulo de area 15

A Equação do Segundo Grau não é um trinômio quadrado perfeito.

x (x+2) = 15

x2 + 2x = 15

Completando quadrados

dividi-se o coeficiente 2 do termo bx por 2 e eleve ao quadrado e some-o ao segundo membro para equilibrar a equação.

x2 + 2x + 12 = 15 + 12

x2 + 2x + 1 = 15 + 1

o primeiro membro torna-se um Trinômio Quadrado Perfeito.

x2 + 2x + 1 = 16

fatora-se o primeiro membro - quadrado da soma (produto notável).

(x + 1)2 = 16

extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

x + 1 = ± √16

x + 1 = ± 4

Raízes da equação

Solução positiva

x' = + 4 - 1 = 3

Solução negativa

x" = - 4 - 1 = - 5

Equação do Segundo Grau e retângulo de área 24

A soma é 10 e o produto é 24.

Através da adição, o número 10 pode ser obtido:

1 + 9 = 10

2 + 8 = 10

3 + 7 = 10

4 + 6 = 10

5 + 5 = 10

Através da multiplicação o número 24 pode ser obtido:

1 x 24 = 24

2 x 12 = 24

3 x 8 = 24

4 x 6 = 24

O semiperímetro do retângulo é 10 (largura 6 + altura 4).

equação segundo grau e retângulo de area 24

A Equação do Segundo Grau não é um trinômio quadrado perfeito.

x (x+2) = 24

x2 + 2x = 24

Completando quadrados

dividi-se o coeficiente 2 do termo bx por 2 e eleve ao quadrado e some-o ao segundo membro para equilibrar a equação.

x2 + 2x + 12 = 24 + 12

x2 + 2x + 1 = 24 + 1

o prrimeiro membro torna-se um Trinômio Quadrado Perfeito.

x2 + 2x + 1 = 25

fatora-se o primeiro membro - quadrado da soma (produto notável).

(x + 1)2 = 25

extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

x + 1 = ± √25

x + 1 = ± 5

Raízes da equação

Solução positiva

x' = + 5 - 1 = 4

Solução negativa

x" = - 5 - 1 = - 6

Conclusão

Através de modelos matemáticos bastantes simples a Equação do Segundo Grau pode ser aprendida de forma lúdica e prazerosa.

Podemos observar pelos exemplos apresentados que vários conceitos matemáticos vão surgindo e sendo aplicados a medida que a equação vai sendo desenvolvida até a sua solução final como progressões aritméticas e geométricas, produtos notáveis, cálculo de raiz quadrada, números figurados, números inteiros, exponenciação, etc.

 

Autor: Ricardo Silva - maio/2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Sautoy, Marcus Du. Filme The Story of Maths - The Language of The Universe. The Open University - BBC - XXVIII.

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