No estudo: Números primos resistentes e soma de dois números naturais - 367 publicado aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos demonstrou-se regularidades numéricas relacionadas a números compostos, potências, bem como, a números primos quando se adicionam pares de números para se obter determinado número.
Veja abaixo, materias relacionadas.
Em relação a números primos encontrou-se interessantes regularidades numéricas:
1) de que há números primos que não podem ser obtidos pela soma de 2 números primos;
2) em todas as segundas adições, a segunda parcela é divisível pela primeira parcela, neste caso, divisível pelo número 1.
3) nas demais adições, as segundas parcelas, não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
4) os pares de primos têm em suas formações a primeira parcela o número primo 2 como uma constante e a segunda parcela um outro número primo variável.
Fornecendo-nos, um novíssimo método: ADIÇÕES SUCESSIVAS para se saber se um número é ou não um número primo.
A partir destas regularidades são demostradas a seguir a utilização de um outro método para se determinar se um número é ou não primo denominado de SUBTRAÇÕES SUCESSIVAS, vejamos:
Subtraindo a metade do número 2 que é antecessor do número primo 3, do número primo 3, obtem-se a seguinte diferença:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 3 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 3 | - | 1 | = | 2 |
A diferença 2 é divisível pelo subtraendo 1.
O número 4 é o quadrado de 2.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número 4, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 4 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 4 | - | 1 | = | 3 |
| 4 | - | 2 | = | 2 |
A diferença 3 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 2 é divisível pelo subtraendo 2.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número 4 que é antecessor do número primo 5, do número primo 5, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 5 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 5 | - | 1 | = | 4 |
| 5 | - | 2 | = | 3 |
A diferença 4 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 3 nâo é divisível pelo subtraendo 2.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 6, do número 6, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 6 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 6 | - | 1 | = | 5 |
| 6 | - | 2 | = | 4 |
| 6 | - | 3 | = | 3 |
A diferença 5 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 4 é divisível pelo subtraendo 2.
Observação: 4 é múltiplo de 2.
A diferença 3 é divisível pelo subtraendo 3.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 6 que é antecessor do número primo 7, do número 7, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 7 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 7 | - | 1 | = | 6 |
| 7 | - | 2 | = | 5 |
| 7 | - | 3 | = | 4 |
A diferença 6 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 5 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 4 não é divisível pelo subtraendo 3.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 8, do número 8, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 8 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 8 | - | 1 | = | 7 |
| 8 | - | 2 | = | 6 |
| 8 | - | 3 | = | 5 |
| 8 | - | 4 | = | 4 |
A diferença 7 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 6 é divisível pelo subtraendo 2.
Observação: 6 é múltiplo de 2.
A diferença 5 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 4 é divisível pelo subtraendo 4.
O número 9 é o quadrado de 3.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 8 que antecessor do 9, do número 9, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 9 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 9 | - | 1 | = | 8 |
| 9 | - | 2 | = | 7 |
| 9 | - | 3 | = | 6 |
| 9 | - | 4 | = | 5 |
A diferença 8 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 7 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 6 é divisível pelo subtraendo 3.
Observação: 6 é múltiplo de 3.
A diferença 5 não é divisível pelo subtraendo 4.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 10, do número 10, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 10 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 10 | - | 1 | = | 9 |
| 10 | - | 2 | = | 8 |
| 10 | - | 3 | = | 7 |
| 10 | - | 4 | = | 6 |
| 10 | - | 5 | = | 5 |
A diferença 9 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 8 é divisível pelo subtraendo 2.
Observação: 8 é múltiplo de 2.
A diferença 7 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 6 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 5 é divisível pelo subtraendo 5.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 10 que é antecessor do número primo 11, do número 11, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 11 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 11 | - | 1 | = | 10 |
| 11 | - | 2 | = | 9 |
| 11 | - | 3 | = | 8 |
| 11 | - | 4 | = | 7 |
| 11 | - | 5 | = | 6 |
A diferença 10 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 9 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 8 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 7 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 6 não é divisível pelo subtraendo 5.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 12, do número 12, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 12 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 12 | - | 1 | = | 11 |
| 12 | - | 2 | = | 10 |
| 12 | - | 3 | = | 9 |
| 12 | - | 4 | = | 8 |
| 12 | - | 5 | = | 7 |
| 12 | - | 6 | = | 6 |
A diferença 11 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 10 é divisível pelo subtraendo 2.
Observação: 10 é múltiplo de 2.
A diferença 9 é divisível pelo subtraendo 3.
Observação: 9 é múltiplo de 3.
A diferença 8 é divisível pelo subtraendo 4.
Observação: 8 é múltiplo de 4.
A diferença 7 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 6 é divisível pelo subtraendo 6.
Observação: 6 é múltiplo de 3.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 12 que é antecessor do número primo 13, do número 13, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 13 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 13 | - | 1 | = | 12 |
| 13 | - | 2 | = | 11 |
| 13 | - | 3 | = | 10 |
| 13 | - | 4 | = | 9 |
| 13 | - | 5 | = | 8 |
| 13 | - | 6 | = | 7 |
A diferença 12 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 11 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 10 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 9 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 8 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 7 não é divisível pelo subtraendo 6.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 14, do número 14, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 14 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 14 | - | 1 | = | 13 |
| 14 | - | 2 | = | 12 |
| 14 | - | 3 | = | 11 |
| 14 | - | 4 | = | 10 |
| 14 | - | 5 | = | 9 |
| 14 | - | 6 | = | 8 |
| 14 | - | 7 | = | 7 |
A diferença 13 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 12 é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 11 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 10 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 9 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 8 não é divisível pelo subtraendo 6.
A diferença 7 é divisível pelo subtraendo 7.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 14 que é antecessor do número 15, do número 15, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 15 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 15 | - | 1 | = | 14 |
| 15 | - | 2 | = | 13 |
| 15 | - | 3 | = | 12 |
| 15 | - | 4 | = | 11 |
| 15 | - | 5 | = | 10 |
| 15 | - | 6 | = | 9 |
| 15 | - | 7 | = | 8 |
A diferença 14 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 13 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 12 é divisível pelo subtraendo 3.
Observação: 12 é múltiplo de 3.
A diferença 11 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 10 é divisível pelo subtraendo 5.
Observação: 10 é múltiplo de 5.
A diferença 9 não é divisível pelo subtraendo 6.
Observação: 9 e 6 são múltiplos de 3.
A diferença 8 não é divisível pelo subtraendo 7.
O número 16 é o quadrado de 4.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 16, do número 16, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 16 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 16 | - | 1 | = | 15 |
| 16 | - | 2 | = | 14 |
| 16 | - | 3 | = | 13 |
| 16 | - | 4 | = | 12 |
| 16 | - | 5 | = | 11 |
| 16 | - | 6 | = | 10 |
| 16 | - | 7 | = | 9 |
| 16 | - | 8 | = | 8 |
A diferença 15 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 14 é divisível pelo subtraendo 2.
Observação: 14 é múltiplo de 2.
A diferença 13 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 12 é divisível pelo subtraendo 4.
Observação: 12 é múltiplo de 4.
A diferença 11 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 10 não é divisível pelo subtraendo 6.
A diferença 9 nãe é divisível pelo subtraendo 7.
A diferença 8 é divisível pelo subtraendo 8.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 16 que é antecessor do número primo 17, do número 17, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 17 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 17 | - | 1 | = | 16 |
| 17 | - | 2 | = | 15 |
| 17 | - | 3 | = | 14 |
| 17 | - | 4 | = | 13 |
| 17 | - | 5 | = | 12 |
| 17 | - | 6 | = | 11 |
| 17 | - | 7 | = | 10 |
| 17 | - | 8 | = | 9 |
A diferença 16 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 15 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 14 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 13 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 12 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 11 não é divisível pelo subtraendo 6.
A diferença 10 não é divisível pelo subtraendo 7.
A diferença 9 não é divisível pelo subtraendo 8.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 18, do número 18, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 18 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 18 | - | 1 | = | 17 |
| 18 | - | 2 | = | 16 |
| 18 | - | 3 | = | 15 |
| 18 | - | 4 | = | 14 |
| 18 | - | 5 | = | 13 |
| 18 | - | 6 | = | 12 |
| 18 | - | 7 | = | 11 |
| 18 | - | 8 | = | 10 |
| 18 | - | 9 | = | 9 |
A diferença 17 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 16 é divisível pelo subtraendo 2.
Observação: 16 é múltiplo de 2.
A diferença 15 é divisível pelo subtraendo 3.
Observação: 15 é múltiplo de 3.
A diferença 14 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 13 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 12 é divisível pelo subtraendo 6.
Observação: 12 é múltiplo de 6.
A diferença 11 não é divisível pelo subtraendo 7.
A diferença 10 não é divisível pelo subtraendo 8.
A diferença 9 é divisível pelo subtraendo 9.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 18 que é antecessor do número primo 19, do número 19, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 19 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 19 | - | 1 | = | 18 |
| 19 | - | 2 | = | 17 |
| 19 | - | 3 | = | 16 |
| 19 | - | 4 | = | 15 |
| 19 | - | 5 | = | 14 |
| 19 | - | 6 | = | 13 |
| 19 | - | 7 | = | 12 |
| 19 | - | 8 | = | 11 |
| 19 | - | 9 | = | 10 |
A diferença 18 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 17 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 16 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 15 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 14 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 13 não é divisível pelo subtraendo 6.
A diferença 12 não é divisível pelo subtraendo 7.
A diferença 11 não é divisível pelo subtraendo 8.
A diferença 10 não é divisível pelo subtraendo 9.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 22 que é antecessor do número primo 23, do número 23, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 23 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 23 | - | 1 | = | 22 |
| 23 | - | 2 | = | 21 |
| 23 | - | 3 | = | 20 |
| 23 | - | 4 | = | 19 |
| 23 | - | 5 | = | 18 |
| 23 | - | 6 | = | 17 |
| 23 | - | 7 | = | 16 |
| 23 | - | 8 | = | 15 |
| 23 | - | 9 | = | 14 |
| 23 | - | 10 | = | 13 |
| 23 | - | 11 | = | 12 |
A diferença 22 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 21 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 20 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 19 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 18 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 17 não é divisível pelo subtraendo 6.
A diferença 16 não é divisível pelo subtraendo 7.
A diferença 15 não é divisível pelo subtraendo 8.
A diferença 14 não é divisível pelo subtraendo 9.
A diferença 13 não é divisível pelo subtraendo 10.
A diferença 12 não é divisível pelo subtraendo 11.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 28 que é antecessor do número primo 29, do número 29, obtêm-se as seguintes diferenças:
| Subtrações sucessivas | ||||
| do número 29 | ||||
| Minuendo | Subtraendo | Diferença / | ||
| Resto | ||||
| 29 | - | 1 | = | 28 |
| 29 | - | 2 | = | 27 |
| 29 | - | 3 | = | 26 |
| 29 | - | 4 | = | 25 |
| 29 | - | 5 | = | 24 |
| 29 | - | 6 | = | 23 |
| 29 | - | 7 | = | 22 |
| 29 | - | 8 | = | 21 |
| 29 | - | 9 | = | 20 |
| 29 | - | 10 | = | 19 |
| 29 | - | 11 | = | 18 |
| 29 | - | 12 | = | 17 |
| 29 | - | 13 | = | 16 |
| 29 | - | 14 | = | 15 |
A diferença 28 é divisível pelo subtraendo 1.
A diferença 27 não é divisível pelo subtraendo 2.
A diferença 26 não é divisível pelo subtraendo 3.
A diferença 25 não é divisível pelo subtraendo 4.
A diferença 24 não é divisível pelo subtraendo 5.
A diferença 23 não é divisível pelo subtraendo 6.
A diferença 22 não é divisível pelo subtraendo 7.
A diferença 21 não é divisível pelo subtraendo 8.
A diferença 20 não é divisível pelo subtraendo 9.
A diferença 19 não é divisível pelo subtraendo 10.
A diferença 18 não é divisível pelo subtraendo 11.
A diferença 17 não é divisível pelo subtraendo 12.
A diferença 16 não é divisível pelo subtraendo 13.
A diferença 15 não é divisível pelo subtraendo 14.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade do número composto 986 que é antecessor do número 987, do número 987, obtêm-se as seguintes diferenças que são divisíveis pelos subtraendos:
| Subtrações sucessivas | ||||||
| do número 987 | ||||||
| minuendo | subtraendo | diferença | quociente | |||
| 987 | - | 1 | = | 986 | 986 | |
| 987 | - | = | ||||
| 987 | - | 3 | = | 984 | 328 | |
| 987 | - | = | ... | |||
| 987 | - | = | ||||
| 987 | - | = | ... | |||
| 987 | - | 7 | = | 980 | 140 | |
| .. | 987 | - | 21 | = | 966 | 46 |
| ... | 987 | - | 47 | = | 940 | 20 |
| ... | 987 | - | 141 | = | 846 | 6 |
| ... | 987 | - | 329 | = | 658 | 2 |
| .. | ||||||
| 987 | - | 493 | = | |||
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A diferença 986 é divisível pelo subtraendo 1 cujo quociente é 986.
A diferença 984 é divisível pelo subtraendo 3 cujo quociente é 328.
A diferença 980 é divisível pelo subtraendo 7 cujo quociente é 140.
A diferença 966 é divisível pelo subtraendo 21 cujo quociente é 46.
A diferença 940 é divisível pelo subtraendo 47 cujo quociente é 20.
A diferença 846 é divisível pelo subtraendo 141 cujo quociente é 6.
A diferença 658 é divisível pelo subtraendo 329 cujo quociente é 2.
Análise do número 987 e a decomposição em fatores primos.
O número 987 é um número ímpar e composto e a soma de seus algarismos pelo critério de divisibilidade por 3 é 9 + 8 + 7 = 24, portanto, em sua decomposição já aparece o fator primo 3.
Continuando a decomposição em fatores primos, devemos ir fazendo as divisões com os próximos números primos, o número primo 5, não serve. Tenta-se próximo primo 7. 7 é o segundo fator primo. Tenta-se com os seguintes primos: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, não servem. O próximo primo 47 é o último fator primo da decomposição.
A próxima etapa é multiplicar os fatores primos por 1 e depois um pelo outro e pelos produtos que vão aparecendo:
3 x 1 = 3
7 x 1 = 7
7 x 3 = 21
47 x 1 = 47
47 x 3 = 141
47 x 7 = 329
47 x 21 = 987
| Decomposição em fatores primos | |||||
| número 987 | |||||
| Fatores | Divisores | ||||
| primos | |||||
| 1 | |||||
| 987 | 3 | 3 | |||
| 329 | 7 | 7 | 21 | ||
| 47 | 47 | 47 | 141 | 329 | 987 |
| 1 | |||||
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Fatoração: 3 x 7 x 47
Divisores: 1, 3, 7, 21, 47, 141, 329 e 987
Quantidade de divisores: 8
Veja que precisamos de diversas etapas para poder finalizar o processo de decomposição em fatores primos e para reconhecer os divisores de determinado número.
No Método de Subtrações Sucessivas, os subtraendos que são divisores das diferenças determinam simultaneamente os fatores primos e os divisores de determinado número, mostrando ser um método interessante e eficiente.
Prezado visitante, desejando conhecer as subtrações sucessivas do número 987, faça o download da tabela.
Observação: o número primo 997 é o maior primo formado por 3 algarismos.
Subtraindo a sequência de números naturais de 1 até a metade de 996 que é antecessor do número primo 997, do número 997, obtêm-se somente uma diferença que é divisível pelo subtraendo:
| minuendo | subtraendo | diferença | quociente | |||
| 997 | - | 1 | = | 996 | 996 |
A diferença 996 é divisível pelo subtraendo 1 cujo quociente é 996.
Um outro método para se reconhecer se determinado número é primo ou não é extrair a raiz quadrada desse número e ir divindo-o por números primos menores que essa raiz quadrada.
√997 = 31,575 (raiz quadrada aproximada)
Deve-se então dividir 997 pelos números primos menores que 31 que são: 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29, sendo o quociente não exato, o número é primo.
Prezado visitante, desejando conhecer as subtrações sucessivas do número primo 997, faça o download da tabela.
Nos exemplos expostos, observa-se que há regularidades numéricas relacionadas a números compostos, bem como a números primos quando se subtraem a sequência de números naturais a partir de 1 até a metade de um número ou até a metade de um antecessor de um número ímpar escolhido aleatoriamente.
Em relação a números compostos:
Há mais de uma subtração em que a diferença é divisível pelo subtraendo, demonstrando que a diferença é múltiplo do subtraendo.
Em relação a números primos:
Há somente uma subtração em que a diferença é divisível pelo subtraendo e isto ocorre justamente na primeira subtração enquanto nas demais subtrações não há divisibilidade entre as diferenças e os subtraendos correspondentes.
Autor: Ricardo Silva - março/2022
Neto, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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