Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Equação Diofantina Linear 15H + 8M = 720 e Números Primos - 700

Equações Diofantinas são equações na forma ax + bx = c cujas soluções são números inteiros e que foram estudadas por Diofanto de Alexandria (nascido entre 201 e 214 - falecido entre 284 e 298 d.C), matemático grego considerado "Pai da Álgebra" e o primeiro matemático a utilizar símbolos para representar incógnitas (números desconhecidos) em equações.

O presente estudo demonstra algumas resoluções da Equação Diofantina Linear 15H + 8M = 720 por meio de método "direto" e relações e regularidades numéricas entre o termo independente "c" que é múltiplo dos coeficientes "a" e "b".

O estudo também demonstra a geração de uma sequência de 11 números primos consecutivos: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Exemplos de Equações Diofantinas

Nas equações Diofantinas a seguir, x, y e z são desconhecidos e as outras letras são constantes dadas [1].

1) ax + by = c

Equação Linear Diofantina.

2) x^n + y^n = z^n

Para n = 2 (Teorema de Pitágoras), existem mais infinitas soluções em (x, y, z): O Terno pitagórico. Para valores maiores de n, O Último Teorema de Fermat diz que não há soluções positivas (x, y, z).

3) x^2 + ny^2 = ± 1

Esta é a equação de Pell, nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell. Foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.

4) 4/n = 1/x + 1/y + 1/z

A conjectura de Erdõs-Straus diz que para todo positivo ≥ 2 , existe uma solução x, y e z, todos inteiros positivos. Apesar de que geralmente não enunciado em sua forma polinomial, este exemplo é similar a equação polinomial 4xy = yzn + xzn + xyn = n ( yz + xz + xy ).

Métodos Fundamentais para a resolução das Equações Diofantinas

Existem vários métodos para a resolução dessas equações, aqui listamos alguns [2]:

1) Método da Fatoração

2) Utilizando Inequações

3) Método Paramétrico

4) Método Aritmético Modular

5) Método de Indução Matemática

6) Método do Descenso de Fermat

Número 720 e Características

O número 720 é múltiplo:

a) do número perfeito 6;

b) do número 12 que é a divisão de um relógio;

c) de 30, 60 e 90 que são os ângulos de triângulo retângulo escaleno;

d) de 360 que são os graus de uma circunferência.

Equação Diofantina Linear 15H + 8M = 720

O Exemplo 4.7 (pag. 41) a seguir foi extraído de [4] cujo autor o soluciona por meio do Algoritmo Extendido de Euclides, bem como, com a Relação de Bezout.

"Exemplo 4.7. Em um evento beneficente em prol de crianças com câncer que ocorreu no Centro Cultural Roberto Palmari em 2017 no Município de Rio Claro - SP, foram vendidos R$ 720,00 em ingressos. Sabendo que o valor do ingresso para homens custava R$ 15,00 e para mulheres R$ 8,00, quantos homens e quantas mulheres participaram do evento?"

15H + 8M = 720

Segundo, Abramo Hefez, em sua obra: Iniciação à Aritmética (pag.73) [3]:

"Dada uma equação, as perguntas naturais que se colocam são as seguintes:

1) Quais são as condições para que a equação possua solução?

2) Quantas são as soluções?

3) Como calcular as soluções, caso existam?

A primeira pergunta admite a resposta a seguir.

Teorema 3.4. A equação diofantina ax+by = c admite solução se, e somente se, mdc(a,b) divide c."

Tendo como base o Exemplo 4.7, vejamos as relações, bem como, as regularidades numéricas entre os coeficientes e o termo independente e a resoluções parciais da equação diofantina a partir de método "direto", isto é, mais simplificado, sem utilização do Algoritimo Extendido de Euclides e a Relação de Bezout, levando-se em conta, as particularidades do tipo de equação diofantina, neste exemplo, os coeficientes "a" e "b" são divisores do termo independente "c'.

15H + 8M = 720

i) o mdc é 1, a equação tem solução

mdc ( 15, 8 ) = 1

ii) o mdc 1 divide 720

1 | 720

iii) divisores de 720

D( 720 ) : { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720 }

Observação: os coeficientes 8 e 15 são divisores de 720.

iv) a quantidade de divisores de 720 é 30

v) os divisores de 720 formam 15 pares multiplicativos cujos produtos são o próprio número composto 720

vi) a partir de uma solução particular ( solução de partida ), células laranjas, obtem-se as demais incógnitas H e M.

As incógnitas H são obtidas, subtraindo-se sucessivamente 8 unidades de 48.

As incógnitas M são obtidas, somando-se sucessivamente 15 unidades ao 0 (zero).

As adições dos produtos do coeficiente 15 pela incógnita H e do coeficiente 8 pela incógnita M têm como somas 720 que corresponde ao termo "c".

vii) os produtos do coeficiente 15 com os 6 primeiros multiplos de 8 são os mesmos produtos do coeficiente 8 com os 6 primeros múltiplos de 15 e que adicionados têm como somas o termo "c" 720.

Regularidades que se observam é que os produtos da coluna H estão em ordem decrescente e os na coluna M em ordem crescente (células coloridas).

viii) os produtos formam progressões aritméticas decrescente e crescente cujas somas de termos equidistantes é o termo "c" 720.

Número 720 e Subtrações Sucessivas

Efetuando-se subtrações sucessivas de números naturais 1 até 360 que é a metade do número 720, obtêm-se 360 minuendos, 360 subtraendos e 360 diferenças.

Efetuando-se a operação inversa adição, as diferenças e subtraendos tornam-se parcelas que adicionadas têm como somas o minuendo 720.

Determinadas diferenças quando divididas pelo coefiente "a" 15 têm como quocientes números primos (células laranjas).

O número 15 é um dos coeficientes da equação:

15H + 8M = 720

O número composto 720 possui 30 divisores e que formam 15 pares multiplicativos, conforme a Tabela-1 acima, isto é, são 15 pares de fatores que multiplicados têm como produtos o número 720.

A Equação Diofantina Linear que é do tipo ax + by = c tem como uma de suas PROPRIEDADES, DESCOBRIR quais são os fatores cujo produto RESULTA a diferença entre um minuendo e um subtraendo de um número composto, neste nosso exemplo, o número 720.

Número primo 47

Observe esta subtração:

O número primo 47 NÃO É DIVISOR DE 720

Substituindo o coeficiente "b" por 47 e multiplicando-o por 15, o produto é 705.

705 é a diferença entre 15 e 720 ( Tabela-5 acima )

A Equação Diofantina Linear que é do tipo ax + by = c tem como uma de suas PROPRIEDADES, DESCOBRIR quais são os fatores cujos produtos são o subtraendo e a diferença numa subtração, neste nosso exemplo, os números 15 e 705 respectivamente.

Observação importante: o termo "b" 47 é um número primo e 1 unidade menor que a incógnita "H" 48.

Número primo 43

Observe esta subtração:

O número primo 43 NÃO É DIVISOR DE 720

Substituindo o coeficiente "b" por 43 e multiplicando-o por 15, o produto é 645.

645 é a diferença entre 75 e 720 ( Tabela-5 acima )

A Equação Diofantina Linear que é do tipo ax + by = c tem como uma de suas PROPRIEDADES, DESCOBRIR quais são os fatores cujos produtos são o subtraendo e a diferença numa subtração, neste nosso exemplo, os números 75 e 645 respectivamente.

Número Primo 7 e o Número 720

Na Tabela-5 acima, o número primo 7 não aparece na coluna divisão por 15 (quociente), mas substituindo o coeficiente "b" pelo número primo 7, constata-se que ele é um dos fatores da multiplicação: 7 x 15 = 105 cujo produto é o subtraendo na subtração:

O fato matemático interessante é que na Tabela-5 acima quem aparece na coluna divisão por 15 (quociente) é o número primo 41.

Na tabela-8 abaixo, os números primos 41 e 7 também aparecem fazendo "dobradinha", respectivamente, um como íncognita H e outro como coeficiente "b" (células verdes).

Outro fato interessante é que a adição de 41 + 7 = 48.

48 é um dos fatores da multiplicação 15 x 48 = 720

Lembrando que 15 e 48 são pares multiplicativos de 720.

Números Primos e o Número 720

Assim como os números 41 e 7 que aparecem formando "dobradinha" nas soluções da equação diofantina:

15H + 8M = 720

há também outras duplas de números primos (células verdes) que adicionados têm como soma 48.

Interessante destacar que:

a) números primos que terminam em 7 fazem duplas com números primos terminados em 1;

b) números primos que terminam em 1 fazem duplas com números primos terminados em 7;

c) números primos que terminam em 9 fazem duplas com números primos terminados em 9;

d) múltiplos de 5 que terminam em 5 fazem duplas com números primos terminados em 3.

Um fato mais interessante ainda é que na coluna coeficiente "b", a equação diofantina linear 15H + 8M = 720 conseguiu formar sequência de 11 números primos consecutivos de 11 a 47.

Observação: a sequência de números primos não formam progressão aritmética e nem progressão geométrica, formam sim determinadas P.As e com determinados números primos.

Em artigo entitulado Progressões Aritméticas Com Números Primos publicado no WebSite Gigamatematica [5], em 2012, o Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) gerou dezenas de progressões aritméticas de números primos entre os 500 primeiros números naturais.

As razões entre os termos das progressões aritméticas de números primos geradas, uma parte, são múltiplos de 3: 6, 12, 18, 24, 36, 42, 48, 54, 66, 72, 78, 84, 96 que não terminam em 0 (zero) e outra parte, multiplos de 3 que terminam em 0 (zero): 30, 60 e 90 cujos termos das P.As têm os mesmos algarismos das unidade.

Exemplos:

[11, 71, 131, 191, 251, 311 (r = 60)]

[53, 113, 173, 233, 293, 353 (r = 60)]

O Professor Sebá efetivamente gerou P.As de números primos, nos dois exemplos acima, as maiores e as únicas com 6 termos cada uma.

Na Tabela-9 acima, coluna coeficiente "b", tem-se exemplo de sequência cujos termos são 11 números primos e naturalmente consecutivos.

Divisores de Divisores

Os cálculos efetuados neste estudo tem como base a equação diofantina linear 15H + 8M = 720 cujo termo "c" é 720.

Dobrando-se sucessivamente 720: 1440, 2880, 5760,... as quantidades de divisores também aumentarão.

Será possível de se gerarem outras sequências de números primos também maiores???

Autor: Ricardo Silva - setembro/2026

Fontes Bibliográficas:

[3] HEFEZ, Abramo Hefez, Iniciação à Aritmética. SBM, RJ (2016)

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

[4] SOUZA, Romario Sidrone de. Equações diofantinas lineares, quadráticas e aplicações / Romario Sidrone de Souza. - Rio Claro, 2017

[2] ROSA, Telia Mara Lopes da. EQUAÇÕES DIOFANTINAS: Uma proposta de atividade para o Ensino Fundamental. TCC. Instituto de Matemática, Física e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande. Orientadora: Profª. Drª. Daiane Silva de Freitas Rio Grande, Rio Grande do Sul, Brasil Abril de 2022

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Equação_diofantina

[5] gigamatematica.blogspot.com/2012/03/progressoes-aritmeticas-com-numeros.html

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