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Eratóstenes e a circunferência e o diâmetro da Terra - 015

Imagine seguinte situação, você se reúne com parentes e amigos para comerem pizza.

No momento em que é servido a primeira pizza, um dos convidados corta com a espátula um pedaço da pizza em forma de um triângulo estreito e comprido e propõe o seguinte desafio: quem conseguir determinar a medida da circunferência da pizza sem utilizar calculadora, lápis, caneta ou papel para fazer cálculos não precisará pagar a parte que lhe cabe do total da conta.

Lição dada é lição feita como dizem os mestres professores.

Tentativa de resolução 1)

Pega-se um guardanapo de papel, dobra-se na medida do cateto menor do pedaço da pizza e posteriomente vai-se contornado a pizza e verifica quantas partes ela contém em relação a sua parte menor de sua circunferência.

Tentativa de Resolução 2)

Pega-se um barbante ou linha, a partir de uma de suas pontas marcam-se a medida da diagonal da pizza 3 vezes.

Tentativa de Resolução 3)

Pega-se um barbante ou linha e contorna a circunferência da pizza, o resultado é 3 vezes e um pouquinho do diâmetro da pizza, na verdade o valor é 3,1415...

O exemplo apresentado, a pizza tem uma dimensão circular pequena, nos dão uma ideia de como antigas civilizações: mesopotâmicos, egípcios, gregos, chineses, árabes conseguiram relacionar o comprimento de uma circunferência com o seu diâmetro, bem como seu raio e vice-versa.

No caso de circunferências maiores, como da Terra, Lua, Sol, etc, como foi possível obter tais medidas?

Egito Antigo

Conforme se observa no detalhe do mapa do Egito Antigo, a Cidade de Alexandria é quase alinhada verticamente com a Cidade de Assuã, isto é, estão quase próximas ao mesmo meridiano e a Cidade de Assuã se encontra próxima ao Trópico de Cancer, ao pararelo 23,5 graus.

mapa do Egito Antigo - Alexandria - Assuã

Fonte: http://www.khanelkhalili.com.br/mapasEgito2.htm

Estudos de Eratóstenes

Eratóstenes de Cirene (Cirene, 276 a.C. - Alexandria, 194 a.C.) foi um matemático, gramático, poeta, geógrafo, bibliotecário e astrônomo da Grécia Antiga.´

É criação de Eratóstenes o crivo que leva o seu nome, Crivo de Eratósenes, um dispositivo numérico com o qual é possível exprimir números primos.

Sendo bibliotecário-chefe da Bliblioteca de Alexandria, no reinado de Ptolomeu III, ele teve a oportunidade de ampliar seus conhecimentos a partir de manuscritos existentes na biblioteca, então catalogou informações relacionados a diversos lugares, paisagens, relevos, topografia, clima, vegetação e posteriormente escreveu a obra Greográfica.

Um dos manuscritos chamou-lhe a atenção, dizia que na cidade de Siene (hoje Assuã), ao Sul do Egito, cerca 5.040 estádios de Alexandria (800 km), no dia 21 de junho, ao meio-dia, era possível ver o fundo de um poço iluminado pela luz do Sol, instante este em que os raios do Sol está a pino, isto é, não provoca sombras em objetos.

Então, na Cidade de Alexandria, Eratóstenes, fez a seguinte experiência, no dia 21 de junho do ano seguinte, ao meio-dia, com um bastão fincado no solo, observou que os raios do Sol formava uma sombra de ângulo de 7,2 graus.

solstício de verão no hemisfério norte

Fonte: Image by Przemyslaw "Blueshade" Idzkiewicz

Com a realização da experiência, duas importantes constatações, observou Eratóstenes:

1 - se a Terra fosse plana, não deveria haver sombra do bastão;

2 - como houve sombra do bastão, deduziu que a Terra é curva e poderia saber o comprimento de sua circunferência e consequentemente o diâmetro e raio.

E assim o fez.

Circunferência da Terra e modelo matemático

1) Os raios do Sol incidem perpendicularmente na Cidade de Assuã na data de 21 de junho, ao meio-dia (Solstício de verão - hemisfério norte), não há formação de sombra, pois o Sol está a pino.

2) Na Cidade de Alexandria, na mesma data e horário há formação de sombra em objetos, pelo fato de haver inclinação e esfericidade da Terra.

3) Os raios de Sol formam linhas paralelas entre as Cidades de Alexandria e Assuã e o ângulo de 7,2 graus da sombra da estaca na Cidade de Alexandria forma uma linha transversal até o centro da Terra.

4) Os ângulos da sombra da estaca e do centro da Terra formada pela linha transversal são congruentes.

360 graus : 7,2 graus = 50 partes da circunferência (1/50 avos)

Comprimento da circunferência da Terra

50 partes x 5.040 estádios = 252.000 estádios

Diâmetro da Terra

252.000 : 3,1415 (Pi) = 80.216 estádios

Raio da Terra

80.216 : 2 = 40.108 estádios

circunferência da Terra

A medida estádio

O estádio era a medida do comprimento da pista de atletismo na qual ocorria os Jogos Olímpicos na antiga Grécia, e dependendo do local, o comprimento era diferente, variando entre 157,7 m a 210 m.

Observação: o estádio era 600 vezes o pé do deus grego Hércules.

157,7 m : 600 = 0,2628 m = 26,28 cm

Medidas da Terra no sistema métrico decimal

5.040 estádios x 157,5 m = 793.800 m

793.800 : 1000 = 793,8 km

Aproximadamente 800 km (distância entre Alexandria e Assuã)

793,8 km x 50 partes da circunferência = 39.690 km

Portanto, os cálculos realizados por Eratóstenes, estão bem próximos às medidas atuais.

Circunferência do Equador 40.076,5 km
   
Circunferência dos Meridianos 40.009,1 km
   
Diâmetro do Equador 12.760 km
   
Raio do Equador 6.380 km
   
Tempo de rotação da Terra 23 h, 56 mim, 4s
   
Tempo de translação da Terra ao redor do Sol 365 dias, 5h, 48 mim, 46 s
   
Velocidade média da Terra 30,4 km / s

Cronologia

Tales de Mileto, (c. 624 - 546 a.C.)

Ângulos opostos pelo vértice são iguais;

Ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais;

Todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;

Triângulo inscrito em uma semicircunferência é um triângulo retângulo;

Teorema de Tales

Pitágoras de Samos(c. 570 - c. 495 a.C.)

Números figurados;

Números perfeitos;

Teorema de Pitágoras.

Aristóteles (384 a.C. - Atenas, 322 a.C.)

Observou sombra circular da Terra em eclipses da Lua;

Sistema Geocêntrico - a Terra como centro do universo.

Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.)

Tratado Das Dimensões e Distâncias do Sol e da Lua;

Sistema Héliocentrico - o Sol como centro do universo.

Arquimedes de Siracusa (Siracusa, 287 a.C. - 212 a.C.)

Mostrou que o valor de π está entre 31 ⁄ 7 (aproximadamente 3,1429) e 310⁄71 (aproximadamente 3,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416;

Demonstrou que a área de um círculo é igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo;

Volume da esfera.

Eratóstenes de Cirene (Cirene, 276 a.C. - Alexandria, 194 a.C.)

Cálculo da circunferência da Terra;

Crivo de Eratóstenes (dispositivo numérico para exprimir números primos).

Apolônio de Perga (262 a.C. - 200 a.C.)

Autor do famoso Tratado das Seções Cônicas

Hiparco de Nicéia (180 a.C. - 126 a.C.)

Introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360º, cada um divisível em 60 minutos de 60 segundos;

Empreendeu uma formulação primitiva da trigonometria;
estabeleceu uma tabela de cordas de modo a facilitar os cálculos astronômicos.

 

Autor: Ricardo Silva - abril /2020

Fontes Bibliográficas:

Dicionário Técnico "Pombo". São Paulo, Ernesto Rothschild S.A, 1982

“Eratóstenes, um gênio do tamanho da Terra” “Eratostenes, a genius of Earth’s size”. Discentes: André Amarante Luiz, Josiele Prampolin Pastre, Maria da Glória Aparecida Pereira, Mariana Aparecida Delfino de Souza, Ricardo Renato Bortoletto Parra, Professor orientador: Hermes Antonio Pedroso - Departamento de Matemática, IBILCE, UNESP, 15054-000, São José do Rio Preto, SP

Introdução à Astronomia e Astrofísica. INPE, São José dos Campos 2018

Ossermam, Robert. A mágia do números no universo. Tradução de Julia Barany. São Paulo, Mercúrio, 1997

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