capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e o triângulo isóceles - 031

Triângulo Numérico 4 é um dispositivo numérico infinito em formato de triângulo isóceles no qual os números naturais são dispostos em cada linha em quantidades de números ímpares.

A disposição de números naturais em formato de triângulo isóceles apresenta regularidades numéricas com as sequências de números quadrados perfeitos, retangulares, números triangulares, bem como, com números primos e números primos gêmeos.

Triângulo Numérico 4 e números quadrados, triangulares e primos

Triângulo Numérico 4 e construção

Constrói-se o Triângulo Numérico 4 da seguinte forma:

1) na primeira linha, um só número, o número 1;

2) na segunda linha, três números: 2, 3 e terminando em um número quadrado perfeito, o 4;

3) na terceira linha, quatro números: 5, 6, 7, 8 e terminando no quadrado perfeito 9 e assim sucessivamente para as demais linhas do triângulo.

Cada linha com quantidade ímpares de termos e finalizando sempre com um número quadrado perfeito.

Triângulo Numérico 4 e regularidades numéricas

A Coluna Central, altura do Triângulo Numérico 4, forma-se a seguinte sequência numérica de números ímpares com ocorrência de números primos:

1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91,...

A partir do primeiro termo 1, somando números pares consecutivos, a partir de 2, obtem-se números ímpares e entre eles números primos.

1		3		7		13		21		31		43
	2		4		6		8		10		12

1 + 2 = 3

3 + 4 = 7

7 + 6 = 13

13 + 8 = 21

21 + 10 = 31

31 + 12 = 43

O lado direito do Triângulo Numérico 4 forma-se a sequência de números quadrados perfeitos:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...

Triângulo Numérico 4 e números primos

Tabulando-se os dados da coluna central do Triângulo tem-se:

a) na Coluna A, a sequência dos números ímpares

b) na Coluna B, a sequência dos números pares.

c) somando-se um número da Coluna A com um número da Coluna B, obtem-se o resultado na próxima linha da Coluna A.

Exemplos:

1 + 2 = 3 ( o 3 está na Linha 2 com a Coluna A)

3 + 4 = 7 (o 7 está na Linha 3 com a Coluna A)

d) os números da Coluna A foram divididos simultaneamente pelos números primos das Colunas C, D, E, F e G

Interessante observar que determinados números ímpares da Coluna A divididos por números primos das colunas C, D, E e F apresentam também como quocientes outros números primos.

Números que são produtos de dois números primos são denominados de números semiprimos.

Exemplos de números semiprimos:

21 = 3 x 7

91 = 13 x 7

Triângulo Numérico 4 e
e números primos

Linha	A	B	C	D	E	F

			3	7	11	13

1	1	2	0,333333	0,142857	0,090909	0,076923
2	3	4	1	0,428571	0,272727	0,230769
3	7	6	2,333333	1	0,636364	0,538462
4	13	8	4,333333	1,857143	1,181818	1
5	21	10	7	3	1,909091	1,615385
6	31	12	10,33333	4,428571	2,818182	2,384615
7	43	14	14,33333	6,142857	3,909091	3,307692
8	57	16	19	8,142857	5,181818	4,384615
9	73	18	24,33333	10,42857	6,636364	5,615385
10	91	20	30,33333	13	8,272727	7
11	111	22	37	15,85714	10,09091	8,538462
12	133	24	44,33333	19	12,09091	10,23077
13	157	26	52,33333	22,42857	14,27273	12,07692
14	183	28	61	26,14286	16,63636	14,07692
15	211	30	70,33333	30,14286	19,18182	16,23077
16	241	32	80,33333	34,42857	21,90909	18,53846
17	273	34	91	39	24,81818	21
18	307	36	102,3333	43,85714	27,90909	23,61538
19	343	38	114,3333	49	31,18182	26,38462
20	381	40	127	54,42857	34,63636	29,30769
21	421	42	140,3333	60,14286	38,27273	32,38462
22	463	44	154,3333	66,14286	42,09091	35,61538
23	507	46	169	72,42857	46,09091	39
24	553	48	184,3333	79	50,27273	42,53846
25	601	50	200,3333	85,85714	54,63636	46,23077
26	651	52	217	93	59,18182	50,07692
27	703	54	234,3333	100,4286	63,90909	54,07692
28	757	56	252,3333	108,1429	68,81818	58,23077
29	813	58	271	116,1429	73,90909	62,53846
30	871	60	290,3333	124,4286	79,18182	67
31	931	62	310,3333	133	84,63636	71,61538
32	993	64	331	141,8571	90,27273	76,38462
33	1057	66	352,3333	151	96,09091	81,30769
34	1123	68	374,3333	160,4286	102,0909	86,38462
35	1191	70	397	170,1429	108,2727	91,61538
36	1261	72	420,3333	180,1429	114,6364	97
37	1333	74	444,3333	190,4286	121,1818	102,5385
38	1407	76	469	201	127,9091	108,2308
39	1483	78	494,3333	211,8571	134,8182	114,0769
40	1561	80	520,3333	223	141,9091	120,0769
41	1641	82	547	234,4286	149,1818	126,2308
42	1723	84	574,3333	246,1429	156,6364	132,5385
43	1807	86	602,3333	258,1429	164,2727	139
44	1893	88	631	270,4286	172,0909	145,6154
45	1981	90	660,3333	283	180,0909	152,3846
46	2071	92	690,3333	295,8571	188,2727	159,3077
47	2163	94	721	309	196,6364	166,3846
48	2257	96	752,3333	322,4286	205,1818	173,6154
49	2353	98	784,3333	336,1429	213,9091	181
50	2451	100	817	350,1429	222,8182	188,5385

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Triângulo Numérico 4 e
e números primos

LINHA	A	B	C	D	E	F

			3	7	11	13

51	2551	102	850,3333	364,4286	231,9091	196,2308
52	2653	104	884,3333	379	241,1818	204,0769
53	2757	106	919	393,8571	250,6364	212,0769
54	2863	108	954,3333	409	260,2727	220,2308
55	2971	110	990,3333	424,4286	270,0909	228,5385
56	3081	112	1027	440,1429	280,0909	237
57	3193	114	1064,333	456,1429	290,2727	245,6154
58	3307	116	1102,333	472,4286	300,6364	254,3846
59	3423	118	1141	489	311,1818	263,3077
60	3541	120	1180,333	505,8571	321,9091	272,3846
61	3661	122	1220,333	523	332,8182	281,6154
62	3783	124	1261	540,4286	343,9091	291
63	3907	126	1302,333	558,1429	355,1818	300,5385
64	4033	128	1344,333	576,1429	366,6364	310,2308
65	4161	130	1387	594,4286	378,2727	320,0769
66	4291	132	1430,333	613	390,0909	330,0769
67	4423	134	1474,333	631,8571	402,0909	340,2308
68	4557	136	1519	651	414,2727	350,5385
69	4693	138	1564,333	670,4286	426,6364	361
70	4831	140	1610,333	690,1429	439,1818	371,6154
71	4971	142	1657	710,1429	451,9091	382,3846
72	5113	144	1704,333	730,4286	464,8182	393,3077
73	5257	146	1752,333	751	477,9091	404,3846
74	5403	148	1801	771,8571	491,1818	415,6154
75	5551	150	1850,333	793	504,6364	427
76	5701	152	1900,333	814,4286	518,2727	438,5385
77	5853	154	1951	836,1429	532,0909	450,2308
78	6007	156	2002,333	858,1429	546,0909	462,0769
79	6163	158	2054,333	880,4286	560,2727	474,0769
80	6321	160	2107	903	574,6364	486,2308
81	6481	162	2160,333	925,8571	589,1818	498,5385
82	6643	164	2214,333	949	603,9091	511
83	6807	166	2269	972,4286	618,8182	523,6154
84	6973	168	2324,333	996,1429	633,9091	536,3846
85	7141	170	2380,333	1020,143	649,1818	549,3077
86	7311	172	2437	1044,429	664,6364	562,3846
87	7483	174	2494,333	1069	680,2727	575,6154
88	7657	176	2552,333	1093,857	696,0909	589
89	7833	178	2611	1119	712,0909	602,5385
90	8011	180	2670,333	1144,429	728,2727	616,2308
91	8191	182	2730,333	1170,143	744,6364	630,0769
92	8373	184	2791	1196,143	761,1818	644,0769
93	8557	186	2852,333	1222,429	777,9091	658,2308
94	8743	188	2914,333	1249	794,8182	672,5385
95	8931	190	2977	1275,857	811,9091	687
96	9121	192	3040,333	1303	829,1818	701,6154
97	9313	194	3104,333	1330,429	846,6364	716,3846
98	9507	196	3169	1358,143	864,2727	731,3077
99	9703	198	3234,333	1386,143	882,0909	746,3846
100	9901	200	3300,333	1414,429	900,0909	761,6154

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Triângulo Numérico 4 e números retangulares / oblongos

Partindo-se da coluna central para à esquerda, a segunda coluna é formada por números retangulares / oblongos.

Número retangular / oblongo dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

2 : 2 = 1

6 : 2 = 3

12 : 2 = 6

Triângulo Numérico 4 e números retangulares / oblongos

Triângulo Numérico 4 e números primos gêmeos

Adjacentes à coluna formada por números retangulares / oblongos há ocorrências de números primos gêmeos.

Exemplos:

5 e 7

29 e 31

41 e 43

Triângulo Numérico 4 e números primos gêmeos

Triângulo Numérico 4 e números quadrados perfeitos

O lado direito do Triângulo Numérico 4 é formado por números quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16,...

O lado esquerdo do Triângulo Numérico 4 é formado por números que são 1 unidade maior que um número quadrados perfeito 2, 5, 10, 17, 26, 37,....

A média aritmética entre um número quadrado perfeito e número de 1 unidade maior que um número quadrado perfeito tem como resultado um número ímpar e, entre eles, números primos na coluna central do Triângulo Numérico 4.

Exemplos:

(2 + 4) / 2 = 3

(5 + 9) / 2 = 7

(10 + 16) / 2 = 13

(26 + 36) / 2 = 31

Triângulo Numérico 4 e números quadrados perfeitos

Autor: Ricardo Silva - atualizado: agosto / 2023

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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