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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma dos algarismos de um número primo - parte 2 - 152

A soma dos algarismos de um número primo apresentam regularidades numéricas, dependendo da faixa de números onde os números primos se encontram, isto é, separadas em dezenas, ora a soma dos algarismos são em quantidades pares, ora são em quatidades ímpares.

Número primo é o número que tem dois divisores: o número 1 e ele mesmo.

Um número primo possui as seguintes terminações: 1, 3, 7 e 9.

O número 1, só tem um divisor, ele mesmo.

O número 2 é o único número par que é primo.

O número 5 é o único número terminado em 5 que é primo.

Critérios de divisivilidade dos números 3 e 9

Pelos critérios de divisibilidade:

a) um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3;

exemplo:

número 21 - a soma dos algarismos: 2 + 1 = 3

b) um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9;

exemplo:

número 18 - a soma dos algarismos: 1 + 8 = 9

Observação: todos os múltiplos de 9 são divisíveis por 3.

Uma das formas de se verificar se um número é primo ou não é utilizar o critério de divisibilidade do número 3.

Os múltiplos de 3 são fáceis de se calcular mentalmente: 3, 6, 9, 12, 15, 18,... e também porque dentro a cada sequência de 10 números há sempre três múltiplos de 3.

Crivo de Eratóstenes Sintético

Baseando-se na construção do Crivo de Eratóstenes, segue abaixo um outro modelo mais sintético, isto é, um crivo com números ímpares terminados em 1, 3, 7 e 9, da mesma forma que o modelo tradional, riscam-se os múltiplos de determinado número maiores que ele e os que não foram riscados são os números primos.

Exemplos:

Conservamos o 3 e riscamos os seus múltiplos: 9, 21, 27, 33, 39, e assim sucessivamente...

Conservamos o 7 e riscamos os seus múltiplos: 21, 49, 63, 77, 91 e assim sucessivamente...

Fazendo o uso do critério de divisibilidade por 3, verifica-se que podemos ampliar o uso do Crivo de Eratóstenes e observar outras regularidades com os números primos.

Crivo de Erastóstenes Sintético
A soma dos algarimos de um número primo
     
3 7 9
         
faixa 10 11 13 17 19
soma 2 4 8 10
         
faixa 20 21 23 27 29
soma 3 5 9 11
         
faixa 30 31 33 37 39
soma 4 6 10 12
         
faixa 40 41 43 47 49
soma 5 7 11 13
         
faixa 50 51 53 57 59
soma 6 8 12 14
         
faixa 60 61 63 67 69
soma 7 9 13 15
         
faixa 70 71 73 77 79
soma 8 10 14 16
         
faixa 80 81 83 87 89
soma 9 11 15 17
         
faixa 90 91 93 97 99
soma 10 12 16 18
         

A soma dos algarismos de um número

O maior número com dois algarismos é o número 99.

A soma dos seus algarismos: 9 + 9 = 18, portanto números de dois algarimos de 10 a 99, a soma máxima será de 18.

No Crivo de Eratóstenes Sintético temos uma sequência a partir de números ímpares de 3 até o número 99.

A soma dos algarimos de cada número a partir do número 11 estão abaixo de cada um deles.

Fazendo a leitura das somas na horizontal, temos sequências intercaladas de quantidades pares e ímpares.

Fazendo a leitura das somas na vertical, temos:

a) na primeira coluna: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10;

b) na segunda coluna: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12;

b) na terceira coluna: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 e 16;

c) na quarta coluna: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 e 18,

que obedecem uma sequência aritimética finita.

Interessante observar que os números ímpares cujas somas dos seus algarismos satisfazem o critério de divisibilidade do número 3, são os múltiplos de 3, portanto não são primos (células em laranja).

Marcados os múltiplos de 3 e os de 7: 49, 77, e 91 (células verdes) os demais são números primos (células amarelas).

Entre os quadrados 9 e 49 há 11 números primos.

Entre os quadrados 49 e 81 há 9 números primos.

A soma dos algarismos de alguns números primos também são números primos.

faixa 20 21 23 27 29
soma 3 5 9 11

Exemplos:

a) número 23

2 + 3 = 5

b) número 29

2 + 9 = 11

Os múltiplos de 3 no Crivo de Erastótenes Sintético

Os múltiplos de 3 no Crivo de Erastóstenes Sintético são produtos do número 3 por um número ímpar e entre eles números primos.

Exemplos:

3 x 7 = 21

3 x 17 = 51

3 x 27 = 81

3 x 11 = 33

3 x 21 = 63

3 x 31 = 93

3 x 9 = 27

3 x 19 = 57

3 x 29 = 87

3 x 13 = 39

3 x 23 = 69

3 x 33 = 99

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

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