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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Semi-Mágicos 3x3 com números primos sequenciais - 238

Os números primos é um grande enígma na Matemática pois não há fórmula que gerem seus termos sequecialmente.

É fácil falar, recitar ou até mentalmente, por exemplo, os números pares, os números ímpares, os múltiplos de 2, os múltiplos de 3, os múltiplos de 5, etc., mas com os números primos não.

Mesmo sendo uma sequência enigmática, é possível determinar sub-sequências de números primos e assim construírem Quadrados Mágicos.

Nos Web-Sites:

http://www.multimagie.com/indexengl.htm

http://www.magic-squares.net/

há belíssimos exemplos de Quadrados Mágicos, entre eles, Quadrados Mágicos construídos com números primos.

O Quadrado Mágico de Harry A. Sayles, publicado em 1918, na revista The Monist, página 142, afirma o site: http://www.multimagie.com que é o menor quadrado de ordem 3 com números primos.

A razão entre os termos de cada sequência é 12.

A razão entre cada conjunto é 18.

{5, 17, 29} , {47, 59, 71}, {89, 101, 113}.

Quadrado Mágico 3x3
números primos
constante mágica 117
177
 
71 5 101 177
89 59 29 177
17 113 47 177
       
177 177 177 177

Fonte: http://www.multimagie.com

Veja análises deste Quadrado Mágico em matérias relacionadas:

011-estudos-172-quadrados-magicos-numeros-primos.

Uma das conjecturas relacionadas aos números primos é a de números primos gêmeos, isto é, são pares de números primos cuja diferença entre eles é 2 unidades.

Exemplos)

3 e 5;

5 e 7;

11 e 13;

17 e 19;

29 e 31;

41 e 43;

59 e 61

e outros.

Os números primos apresentam sub-sequências com duplas de pares de primos gêmeos.

São sub-sequências de 4 números primos cuja diferença entre o segundo e terceiro termo é de 4 unidades.

Exemplo 1)

11, 13, 17, 19

gêmeos {11, 13}

gêmeos {17, 19}

Exemplo 2)

101, 103, 107, 109

gêmeos {101, 103}

gêmeos {107, 109}

Exemplo 3)

191, 193, 197, 199

gêmeos {191, 193}

gêmeos {197, 199}

Interessante observar que juntando-se sub-sequências de números primos, elas não formam progressões aritméticas genuínas, mas são possíveis de se construirem Quadrados Semi-Mágicos que apresentam interessantes propriedades numéricas.

Quadrado Semi-Mágico 3x3 - constante semi-mágica 161

Sub-sequências:

{11, 13, 17};

{41, 43, 47};

{101, 103, 107}.

As somas das linhas e das colunas apresentam o mesmo total: 161.

As diagonais não formam constante mágica.

Quadrado Semi-Mágico 3x3
números primos
constante semi-mágica 161
159
       
41 107 13 161
17 43 101 161
103 11 47 161
       
161 161 161 131

Quadrado Semi-Mágico 3x3 - constante semi-mágica 341

Sub-sequências:

{41, 43, 47};

{101, 103, 107};

{191, 193, 197}.

As somas das linhas e das colunas apresentam o mesmo total: 341.

As diagonais não formam constante mágica.

Quadrado Semi-Mágico 3x3
números primos
constante semi-mágica 341
339
       
101 197 43 341
47 103 191 341
193 41 107 341
       
341 341 341 311

Quadrado Semi-Mágico 3x3 - constante semi-mágica 941

Sub-sequências:

{101, 103, 107}

{191, 193, 197}

{641, 643, 647}

As somas da linhas e das colunas apresentam o mesmo total: 941.

As diagonais não formam constante mágica.

Quadrado Semi-Mágico 3x3
números primos
constante semi-mágica 941
939
       
191 647 103 941
107 193 641 941
643 101 197 941
       
941 941 941 581

Quadrado Semi-Mágico 3x3 - constante semi-mágica 1661

Sub-sequências:

{191, 193, 197};

{641, 643, 647};

{821, 823, 827}.

As somas da linhas e das colunas apresentam o mesmo total: 1661.

As diagonais não formam constante mágica.

Quadrado Semi-Mágico 3x3
números primos
constante semi-mágica 1661
1659
       
641 827 193 1661
197 643 821 1661
823 191 647 1661
       
1661 1661 1661 1931

Quadrado Semi-Mágico 4x4 - constante semi-mágica 1661

Sub-sequências:

{11, 13, 17, 19};

{101, 103, 107, 109};

{191, 193, 197, 199};

{821, 823, 827, 829}.

Duplas de linhas apresentam a mesma soma.

As colunas apresentam a mesma soma.

As diagonais, diferentemente dos quadrados 3x3, apresentam a mesma soma.

Quadrado Semi-Mágico 4x4
números primos
        1.140
         
829 13 17 821 1.680
101 197 193 109 600
191 107 103 199 600
19 823 827 11 1.680
         
1140 1140 1140 1140 1.140

Conclusão

A sequência de números primos não é Progressão Aritmética (PA) e nem Progessão Geométrica (PG), mas são possíveis de se encontrarem sub-sequências em que há um número constante entre os termos.

Os exemplos aqui demonstrados fogem completamente as regras de formações de progressões aritméticas, ainda mais em se tratando de números primos.

São propriedades intrínsecas ao próprios números que vão nos revelando interessantes relações numéricas entre eles.

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2019

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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