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Números quadrados múltiplos de 3 e soma de números quadrados perfeitos - 366

A partir dos estudos aqui publicados no WebSite Os Fantásticos Números Primos sobre a Soma de números quadrados perfeitos consecutivos e números consecutivos, bem como, Fórmulas da soma de números quadrados perfeitos consecutivos, descobriu-se outras propriedades e regularidades numéricas relacionadas a números quadrados perfeitos múltiplos de 3 com determinadas somas de números quadrados perfeitos consecutivos.

Veja abaixo, matérias relacionadas!

Escolhendo-se um número quadrado perfeito múltiplo 3, bem como, o seu antecessor, o seu sucessor e as diferenças entre quadrados são possíveis de se determinar pares de números que multiplicados pelas diferenças de quadrados resultam na soma de números quadrados perfeitos consecutivos relacionado ao quadrado múltiplo de 3 e aos quadrados antecessor e sucessor.

Número quadrado 9 e soma de quadrados

Na presente tabela, têm-se: os 4 primeiros números naturais, seus respectivos quadrados, as diferenças entre quadrados, soma de quadrados consecutivos e divisão em diagonais.

Soma de
números quadrados consecutivos

números	números	diferença	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	quadrados	em
				diagonais
1	1		1
		3
2	4		5
		5		1
3	9		14
		7		2
4	16		30

a) soma dos 2 primeiros quadrados é igual a 5;

1^² + 2^² = 1 + 4 = 5

b) a soma dos 2 primeiros quadrados 5 é divisível por 5 (diferença entre os quadrados 9 e 4) e o quociente 1 está na coluna divisão em diagonais;

c) soma dos 3 primeiros quadrados é igual a 14;

1^² + 2^² + 3^²= 1 + 4 + 9 = 14

d) a soma dos 3 primeiros quadrados 14 é divisível por 7 (diferença entre os quadrados 16 e 9) e o quociente 2 está na coluna divisão em diagonais;

e) a soma dos quocientes 1 e 2 é 3;

f) a diferença entre os quocientes 2 e 1 é 1;

g) 3 é 1/3 (um terço) do quadrado 9;

h) o produto do quociente 1 pela diferença de quadrados 5 é igual a soma dos 2 primeiros números quadrados perfeitos que é 5;

i) o produto do quociente 2 pela diferença de quadrados 7 é igual a soma dos 3 primeiros números quadrados perfeitos que é 14;

Nos exemplos expostos acima, fez-se a utilização da Tabela - Soma de Números Quadrados Consecutivos, a seguir, veremos sem o uso da tabela.

a) escolhe-se um número quadrado perfeito múltiplo de 3: o quadrado 9, seu antecessor e seu sucessor;

4, 9, 16

b) diferença entre 9 e 4 é 5;

c) diferença entre 16 e 9 é 7;

d) calcula-se 1/3 de 9 que é igual a 3;

e) divide-se 1/3 de 9 que é 3 pela raiz quadrada de 9 que é 3, cujo quociente é 1;

f) quais são os dois números que somados é 3 e a diferença é 1?

x + x - 1 = 3

2 x = 3 + 1

2 x = 4

x = 4 / 2

x = 2

os números são 1 e 2:

x = 2

x - 1 = 2 - 1 = 1

g) 1 multiplicado por 5 (diferença entre 9 e 4) é igual a 5

5 é a soma dos quadrados 1 e 4.

h) 2 multiplicado por 7 (diferença entre 16 e 9) é igual a 14

14 é a soma dos quadrados 1, 4 e 9.

Número quadrado 36 e soma de quadrados

Na presente tabela, têm-se: os números naturais 5, 6, 7, seus respectivos quadrados, as diferenças entre quadrados, soma de quadrados consecutivos e divisão em diagonais.

Soma de
números quadrados consecutivos

números	números	diferença	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	quadrados	em
				diagonais
5	25		55
		11		5
6	36		91
		13		7
7	49

a) soma dos 5 primeiros quadrados é 55;

1^² + 2^² + 3^² + 4^² + 5^²= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

b) a soma dos 5 primeiros quadrados 55 é divisível por 11 (diferença entre os quadrados 36 e 25) e o quociente 5 está na coluna divisão em diagonais;

c) soma dos 6 primeiros quadrados é 91;

1^² + 2^² + 3^² + 4^² + 5^² + 6^²= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

d) a soma dos 6 primeiros quadrados 91 é divisível por 13 (diferença entre os quadrados 49 e 36) e o quociente 7 está na coluna divisão em diagonais;

e) a soma dos quocientes 5 e 7 é 12;

f) a diferença entre os quocientes 7 e 5 é 2;

g) 12 é 1/3 (um terço) do quadrado 36;

f) o produto do quociente 5 pela diferença de quadrados 11 é igual a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos 55;

g) o produto do quociente 7 pela diferença de quadrados 13 é igual a soma dos 6 primeiros números quadrados perfeitos 91;

Nos exemplos expostos acima, fez-se a utilização da Tabela - Soma de Números Quadrados Consecutivos, veremos sem o uso da tabela.

a) escolhe-se um quadrado perfeito múltiplo de 3: o quadrado 36, seu antecessor e seu sucessor;

25, 36, 49

b) diferença entre 36 e 25 é 11;

c) diferença entre 49 e 36 é 13;

d) calcula-se 1/3 de 36 que é 12;

e) divide-se 1/3 de 36 que é 12 pela raiz quadrada de 36 que é 6, cujo quociente é 2;

f) quais são os dois números que somados é 12 e a diferença é 2 ?

x + x - 2 = 12

2 x = 12 + 2

2 x = 14

x = 14 / 2

x = 7

os números são 5 e 7:

x = 7

x - 2 = 7 - 2 = 5

g) 5 multiplicado por 11 (diferença entre 36 e 25) é 55;

h) 55 é a soma dos quadrados 1, 4, 9, 16 e 25;

i) 7 multiplicado por 13 (diferença entre 49 e 36) é 91;

j) 91 é a soma dos quadrados 1, 4, 9, 16, 25 e 36.

Quocientes das somas de quadrados pelas diferenças de quadrados

As divisões das somas de quadrados consecutivos pelas diferenças de quadrados geram pares de quocientes que somados são 1/3 de quadrado múltiplo de 3.

Veremos que estes quocientes formam grupos de pares de números que se interconectam com a sequência dos números naturais e números ímpares.

a) a diferença entre os pares de quocientes é formada pela sequência de números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...

b) a diferença entre os grupos de pares de quocientes é formada pela sequência de números ímpares: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,...

divisão	diferença	diferença	soma
em	entre	entre	dos quocientes
diagonais	os pares	os grupos

quocientes

1
	1		3
2

		3

5
	2		12
7

		5

12
	3		27
15

		7

22
	4		48
26

		9

35
	5		75
40

		11

51
	6		108
57

		13

70
	7		147
77
		15


92
	8		192
100

		17

117
	9		243
126

		19

145
	10		300
155

		21

176
	11		316
187

		23

210
	12		432
222

		25

247
	13		517
260

Tabela da soma de números quadrados perfeitos consecutivos

A tabela a seguir apresenta os 40 primeiros números naturais, seus respectivos quadrados e suas somas consecutivas.

Soma de
números quadrados consecutivos

números	números	diferença	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	quadrados	em
				diagonais
1	1		1
		3
2	4		5
		5		1
3	9		14
		7		2
4	16		30
		9
5	25		55
		11		5
6	36		91
		13		7
7	49		140
		15
8	64		204
		17		12
9	81		285
		19		15
10	100		385
		21
11	121		506
		23		22
12	144		650
		25		26
13	169		819
		27
14	196		1015
		29		35
15	225		1240
		31		40
16	256		1496
		33
17	289		1785
		35		51
18	324		2109
		37		57
19	361		2470
		39
20	400		2870
		41		70
21	441		3311
		43		77
22	484		3795
		45
23	529		4324
		47		92
24	576		4900
		49		100
25	625		5525
		51
26	676		6201
		53		117
27	729		6930
		55		126
28	784		7714
		57
29	841		8555
		59		145
30	900		9455
		61		155
31	961		10416
		63
32	1024		11440
		65		176
33	1089		12529
		67		187
34	1156		13685
		69
35	1225		14910
		71		210
36	1296		16206
		73		222
37	1369		17575
		75
38	1444		19019
		77		247
39	1521		20540
		79		260
40	1600		22140

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