capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma de números quadrados perfeitos consecutivos e números consecutivos - 364

Número quadrado perfeito é um número inteiro que é obtido pela multiplicação de um número por ele mesmo e quando extraído a sua raiz quadrada o resultado também é um número inteiro.

Exemplos:

a) 2 x 2 = 4

√4 = 2

b) 3 x 3 = 9

√9 = 3

Obtenção de números quadrados perfeitos

Números quadrados perfeitos podem ser obtidos através:

a) da potênciação

2² = 4

3² = 9

b) da soma de ímpares consecutivos

1 +3 = 4

1+ 3 + 5 = 9

c) da soma de 2 números triângulares consecutivos

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

d) de produtos notáveis

(1+2)² = 1² + 2 x 1 x 2 + 2² = 1 + 4 + 4 = 9

Diferença entre números quadrados perfeitos

A diferença entre números quadrados perfeitos tem como resultado a sequência de números ímpares a partir do número 3.

Diferença entre
números quadrados perfeitos

		Diferença de quadrados
Número	Quadrado	Ímpares

1	1	3
2	4	5
3	9	7
4	16	9
5	25	11
6	36	13
7	49	15
8	64	17
9	81	19
10	100	21
11	121	23
12	144	25
13	169	27
14	196	29
15	225	31
16	256	33
17	289	35
18	324	37
19	361	39
20	400	41

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Soma de números quadrados perfeitos

Diferentemente da Diferença de Quadrados, a soma de números quadrados perfeitos têm como resultado uma sequência constituída de números pares e ímpares: 5, 14, 30, 55, 91, 140, ..., não sendo a priori, uma sequência de fácil reconhecimento.

Soma de números
quadrados consecutivos

números	números	soma
naturais	quadrados	quadrados

1	1
2	4	5
3	9	14
4	16	30
5	25	55
6	36	91
7	49	140
8	64	204
9	81	285
10	100	385
11	121	506
12	144	650
13	169	819
14	196	1015
15	225	1240
16	256	1496
17	289	1785
18	324	2109
19	361	2470
20	400	2870

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Soma de números quadrado perfeitos e divisão por números naturais

A soma de números quadrados perfeitos não é divisível por número natural par correspondentes na tabela (células amarela).

Os quocientes são números decimais.

Exemplos:

5 não é divisível por 2

30 não é divisível por 4

91 não é divisível por 6

Soma de números
quadrados consecutivos

números	números	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	por
			naturais
1	1
2	4	5	2,5
3	9	14	4,666667
4	16	30	7,5
5	25	55	11
6	36	91	15,16667
7	49	140	20
8	64	204	25,5
9	81	285	31,66667
10	100	385	38,5
11	121	506	46
12	144	650	54,16667
13	169	819	63
14	196	1015	72,5
15	225	1240	82,66667
16	256	1496	93,5
17	289	1785	105
18	324	2109	117,1667
19	361	2470	130
20	400	2870	143,5
21	441	3311	157,6667
22	484	3795	172,5
23	529	4324	188
24	576	4900	204,1667
25	625	5525	221
26	676	6201	238,5
27	729	6930	256,6667
28	784	7714	275,5
29	841	8555	295
30	900	9455	315,1667
31	961	10416	336
32	1024	11440	357,5
33	1089	12529	379,6667
34	1156	13685	402,5
35	1225	14910	426
36	1296	16206	450,1667
37	1369	17575	475
38	1444	19019	500,5
39	1521	20540	526,6667
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Soma de números quadrado perfeitos e divisão por números múltiplos de 3

A soma de números quadrados perfeitos não é divisível por números múltiplos de 3 correspondentes na tabela (células amarela).

Os quocientes são números decimais.

Exemplos:

14 não é divisível por 3

91 não é divisível por 6

285 não é divisível por 9

Soma de números
quadrados consecutivos

números	números	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	por
			naturais
1	1
2	4	5	2,5
3	9	14	4,666667
4	16	30	7,5
5	25	55	11
6	36	91	15,16667
7	49	140	20
8	64	204	25,5
9	81	285	31,66667
10	100	385	38,5
11	121	506	46
12	144	650	54,16667
13	169	819	63
14	196	1015	72,5
15	225	1240	82,66667
16	256	1496	93,5
17	289	1785	105
18	324	2109	117,1667
19	361	2470	130
20	400	2870	143,5
21	441	3311	157,6667
22	484	3795	172,5
23	529	4324	188
24	576	4900	204,1667
25	625	5525	221
26	676	6201	238,5
27	729	6930	256,6667
28	784	7714	275,5
29	841	8555	295
30	900	9455	315,1667
31	961	10416	336
32	1024	11440	357,5
33	1089	12529	379,6667
34	1156	13685	402,5
35	1225	14910	426
36	1296	16206	450,1667
37	1369	17575	475
38	1444	19019	500,5
39	1521	20540	526,6667
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Soma de números quadrado perfeitos e divisão por números ímpares

A soma de números quadrados perfeitos é divisível por números ímpares não múltiplos de 3 correspondentes na tabela (células amarela).

Entre os números ímpares se encontram números primos a partir de 5.

Os quocientes são números inteiros.

Exemplos:

55 é divisível por 5

140 é divisível por 7

506 é divisível por 11

Soma de números
quadrados consecutivos

números	números	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	por
			naturais
1	1
2	4	5	2,5
3	9	14	4,666667
4	16	30	7,5
5	25	55	11
6	36	91	15,16667
7	49	140	20
8	64	204	25,5
9	81	285	31,66667
10	100	385	38,5
11	121	506	46
12	144	650	54,16667
13	169	819	63
14	196	1015	72,5
15	225	1240	82,66667
16	256	1496	93,5
17	289	1785	105
18	324	2109	117,1667
19	361	2470	130
20	400	2870	143,5
21	441	3311	157,6667
22	484	3795	172,5
23	529	4324	188
24	576	4900	204,1667
25	625	5525	221
26	676	6201	238,5
27	729	6930	256,6667
28	784	7714	275,5
29	841	8555	295
30	900	9455	315,1667
31	961	10416	336
32	1024	11440	357,5
33	1089	12529	379,6667
34	1156	13685	402,5
35	1225	14910	426
36	1296	16206	450,1667
37	1369	17575	475
38	1444	19019	500,5
39	1521	20540	526,6667
40	1600	22140	553,5

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Fórmulas da Soma de números quadrado perfeitos consecutivos

A partir do produto notável Cubo de Uma Soma Indicada:

(a+b)³ =

= (a + b) . (a + b)²

= (a + b) . (a²+ 2ab + b²)

= a³+ 2a²b + ab² + ba² + b³

= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

chega-se a duas fórmulas variantes para se obter a soma de números quadrados consecutivos.

Fórmula 1

n (n+1) . (2n+1)

___________

Fórmula 2

n³		n²		n
___	+	___	+	__
3		2		6

Soma de números quadrado perfeitos consecutivos e relação com números consecutivos

A Fórmula 1 para se obter a soma de números quadrados consecutivos possui relações numéricas com números consecutivos.

Exemplo 1:

Qual é a soma dos 2 primeiros números quadrados consecutivos?

1² + 2² = ?

n(n+1).(2n+1)

___________

Subtituindo o número 2 na fórmula e efetuando as operações...

2(2+1).(2.2+1)

___________

2(3).(5)

________

______

tem-se o seguinte resultado...

Analisando a tabela da soma de números quadrados perfeitos consecutivos vemos que:

a) os números 1 e 2 são consecutivos;

b) o número 3 é a diferença entre os quadrados 4 e 1;

c) o número 3 é a soma dos números 1 e 2.

números	números	diferença	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	quadrados	por
				naturais
1	1		1
		3
2	4		5	2,5
		5

Exemplo 2:

Qual é a soma dos 3 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos?

1² + 2² + 3²= ?

Analisando a tabela da soma de números quadrados perfeitos consecutivos vemos que:

a) os números 3 e 4 são consecutivos;

b) o número 7 é a diferença entre os quadrados 16 e 9;

c) o número 7 é a soma dos números 3 e 4.

números	números	diferença	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	quadrados	por
				naturais
1	1		1
		3
2	4		5	2,5
		5
3	9		14	4,666667
		7
4	16		30	7,5

Efetuando-se os cálculos:

3 x 4 x 7

______

A soma dos 3 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos é...

Soma de números quadrado perfeitos consecutivos e diferença de quadrados

Outra relação numérica encontrada na tabela da soma de números quadrados perfeitos consecutivos é que determinadas somas de quadrados é divisivel por número que é a diferença entre dois quadrados perfeitos e que se encontram em posições diagonais.

Observação importante: a diferença de quadrado que é divisor da soma de quadrados não é múltiplo de 3.

Veja as células coloridas em diagonais!

Exemplos:

5 é divisível por 5 (quociente 1)

14 é divisível por 7 (quociente 2)

55 é divisível por 11 (quociente 5)

91 é divisível por 13 (quociente 7)

Soma de
números quadrados consecutivos

números	números	diferença	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	quadrados	em
				diagonais
1	1		1
		3
2	4		5
		5		1
3	9		14
		7		2
4	16		30
		9
5	25		55
		11		5
6	36		91
		13		7
7	49		140
		15
8	64		204
		17		12
9	81		285
		19		15
10	100		385
		21
11	121		506
		23		22
12	144		650
		25		26
13	169		819
		27
14	196		1015
		29		35
15	225		1240
		31		40
16	256		1496
		33
17	289		1785
		35		51
18	324		2109
		37		57
19	361		2470
		39
20	400		2870
		41		70
21	441		3311
		43		77
22	484		3795
		45
23	529		4324
		47		92
24	576		4900
		49		100
25	625		5525
		51
26	676		6201
		53		117
27	729		6930
		55		126
28	784		7714
		57
29	841		8555
		59		145
30	900		9455
		61		155
31	961		10416
		63
32	1024		11440
		65		176
33	1089		12529
		67		187
34	1156		13685
		69
35	1225		14910
		71		210
36	1296		16206
		73		222
37	1369		17575
		75
38	1444		19019
		77		247
39	1521		20540
		79		260
40	1600		22140

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Números quadrado perfeitos ímpares e as divisões em diagonais

Os quocientes gerados das somas de números quadrados perfeitos consecutivos pelas divisões de diferenças de quadrados somados aos pares são 1/3 (um terço) de números quadrados ímpares múltiplos de 3. (células coloridas)

Exemplos:

a) Os quocientes 1 + 2 = 3

3 é 1/3 do quadrado 9

b) Os quocientes 11 + 7 = 18

18 é 1/3 do quadrado 36

c) Os quocientes 12 + 15 = 27

27 é 1/3 do quadrado 81

Soma de
números quadrados consecutivos

números	números	diferença	soma	divisão
naturais	quadrados	quadrados	quadrados	em
				diagonais
1	1		1
		3
2	4		5
		5		1
3	9		14
		7		2
4	16		30
		9
5	25		55
		11		5
6	36		91
		13		7
7	49		140
		15
8	64		204
		17		12
9	81		285
		19		15
10	100		385
		21
11	121		506
		23		22
12	144		650
		25		26
13	169		819
		27
14	196		1015
		29		35
15	225		1240
		31		40
16	256		1496
		33
17	289		1785
		35		51
18	324		2109
		37		57
19	361		2470
		39
20	400		2870
		41		70
21	441		3311
		43		77
22	484		3795
		45
23	529		4324
		47		92
24	576		4900
		49		100
25	625		5525
		51
26	676		6201
		53		117
27	729		6930
		55		126
28	784		7714
		57
29	841		8555
		59		145
30	900		9455
		61		155
31	961		10416
		63
32	1024		11440
		65		176
33	1089		12529
		67		187
34	1156		13685
		69
35	1225		14910
		71		210
36	1296		16206
		73		222
37	1369		17575
		75
38	1444		19019
		77		247
39	1521		20540
		79		260
40	1600		22140

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