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A soma de números ímpares consecutivos - 002

Números ímpares são números que quando divididos por 2 deixam resto 1 ou quando terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9.

Os números ímpares possuem algumas propriedades:

a) soma de números ímpares consecutivos têm como resultados números quadrados perfeitos.

b) a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é um número ímpar.

c) excetuando-se o número 2 e o número 5, os demais números primos terminam em 1, 3, 7 ou 9.

Número 1

O número 1 por extensão é um número figurado, isto é, ele é triangular, quadrado, pentagonal, hexagonal, etc.

Soma de 2 números ímpares consecutivos

1 + 3 = 4

2 termos

2 x 2 = 4

Soma de 3 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 = 9

3 termos

3 x 3 = 9

Soma de 4 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 + 7 = 16

4 termos

4 x 4 = 16

Soma de 5 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

5 termos

5 x 5 = 25

Soma de 6 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

6 termos

6 x 6 = 36

Soma de 7 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

7 termos

7 x 7 = 49

Soma de 8 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

8 termos

8 x 8 = 64

Soma de 9 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

9 termos

9 x 9 = 81

Soma de 10 números ímpares consecutivos

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

10 termos

10 x 10 = 100

Tabela da soma de números ímpares consecutivos

Abaixo, tabela com as primeiras 13 sequências com a soma de números ímpares consecutivos.

Média aritmética entre dois número ímpares

A média aritmética entre o número 1 e o último termo de uma sequência de números ímpares consecutivos é a raiz quadrada da soma dessa mesma sequência de números.

Média aritmética entre 1 e 3

1 + 3 = 4

(1 + 3) / 2 = 2

2 é raiz quadrada de 4

Média aritmética entre 1 e 5

1 + 3 + 5 = 9

(1 + 5) / 2 = 3

3 é raiz quadrada de 9

Média aritmética entre 1 e 7

1 + 3 + 5 + 7 = 16

(1 + 7) / 2 = 4

4 é raiz quadrada de 16

Média aritmética entre 1 e 9

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

(1 + 9) / 2 = 5

5 é raiz quadrada de 25

Último termo da soma de ímpares consecutivos

Propriedade enviada por Ari Costa (Entusiasta Matemático).

a) Qual é a soma do 7 primeiros ímpares consecutivos?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

13 é a soma de dois número consecutivos 6 + 7

7² = 49

b) Qual é a soma do 9 primeiros ímpares consecutivos?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

15 é a soma de dois número consecutivos 7 + 8

8² = 64

c) Qual é a soma do 11 primeiros ímpares consecutivos?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 64

17 é a soma de dois número consecutivos 8 + 9

9² = 81

Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética

onde:

a_n: enésimo termo (termo geral)

a₁: primeiro termo

n: número de termos

r: razão

Fórmula do Termo Geral de Ímpares Consecutivos

(1, 3, 5, 7, 9, 11,...)

a_n = 1

razão = 2

a_n = 1 ( n - 1 ) . 2

a_n = 1 + 2n - 2

Fórrmula da Soma de Ímpares Consecutivos

(1, 3, 5, 7, 9, 11,...)

onde:

a₁: primeiro termo

a_n: enésimo termo (último termo)

n: número de termos

S_n: soma dos n termos

Autor: Ricardo Silva - atualizado 20/06/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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