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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

A soma de dois números quadrados perfeitos pares consecutivos - 360

A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos apresentam duas importantes regularidades numéricas:

a) geram a sequência de números ímpares a partir do número 3 e

b) geram a sequência de números quadrados perfeitos ímpares a partir do quadrado 9.

Soma de 2 números quadrados perfeitos pares consecutivos

Diferentemente, a soma de dois números quadrados perfeitos pares consecutivos geram sequências aleatórias de números quadrados perfeitos, isto porque, num rol dos 2.000 primeiros números pares consecutivos elevados ao quadrado e somados com seus respectivos quadrados consecutivos encontramos somente 4 ternos pitagóricos derivados os quais também podem ser gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Terno pitagórico derivado 6-8-10

Posição/ Número Número Número Soma 2
ordem par Quadrado Quadrado quadrados
         
3 6 36 64 100
4 8 64    

√100 = 10

Terno pitagórico derivado 40-42-58

Posição/ Número Número Número Soma 2
ordem par Quadrado Quadrado quadrados
         
20 40 1.600 1.764 3.364
21 42 1.764    

√3.364 = 58

Terno pitagórico derivado 238-240-338

Posição/ Número Número Número Soma 2
ordem par Quadrado Quadrado quadrados
         
119 238 56.644 57.600 114.244
120 240 57.600    

√114.244 = 338

Terno pitagórico derivado 1392-1394-1970

Posição/ Número Número Número Soma 2
ordem par Quadrado Quadrado quadrados
         
696 1392 1.937.664 1.943.236 3.880.900
697 1394 1.943.236    

√3.880.900 = 1.970

Tabela da soma de dois quadrados perfeitos pares

A tabela a seguir demonstra de forma sintetizada as 50 primeiras somas de dois números quadrados perfeitos pares consecutivos e entre as somas os dois primeiros ternos pitagóricos derivados: (6-8-10) e (40-42-58).

Tabela da soma
de dois números
quadrados pares consecutivos
         
Posição/ Número Números Soma 2 raiz
ordem par Quadrados quadrados quadrada
           
1 2 4 16 20 4,47
2 4 16 36 52 7,21
3 6 36 64 100 10
4 8 64 100 164 12,81
5 10 100 144 244 15,62
6 12 144 196 340 18,44
7 14 196 256 452 21,26
8 16 256 324 580 24,08
9 18 324 400 724 26,91
10 20 400 484 884 29,73
11 22 484 576 1060 32,56
12 24 576 676 1252 35,38
13 26 676 784 1460 38,21
14 28 784 900 1684 41,04
15 30 900 1024 1924 43,86
16 32 1024 1156 2180 46,69
17 34 1156 1296 2452 49,52
18 36 1296 1444 2740 52,35
19 38 1444 1600 3044 55,17
20 40 1600 1764 3364 58
21 42 1764 1936 3700 60,83
22 44 1936 2116 4052 63,66
23 46 2116 2304 4420 66,48
24 48 2304 2500 4804 69,31
25 50 2500 2704 5204 72,14
26 52 2704 2916 5620 74,97
27 54 2916 3136 6052 77,79
28 56 3136 3364 6500 80,62
29 58 3364 3600 6964 83,45
30 60 3600 3844 7444 86,28
31 62 3844 4096 7940 89,11
32 64 4096 4356 8452 91,93
33 66 4356 4624 8980 94,76
34 68 4624 4900 9524 97,59
35 70 4900 5184 10084 100,42
36 72 5184 5476 10660 103,25
37 74 5476 5776 11252 106,08
38 76 5776 6084 11860 108,90
39 78 6084 6400 12484 111,73
40 80 6400 6724 13124 114,56
41 82 6724 7056 13780 117,39
42 84 7056 7396 14452 120,22
43 86 7396 7744 15140 123,04
44 88 7744 8100 15844 125,87
45 90 8100 8464 16564 128,70
46 92 8464 8836 17300 131,53
47 94 8836 9216 18052 134,36
48 96 9216 9604 18820 137,19
49 98 9604 10000 19604 140,01
50 100 10000 10404 20404 142,84
           
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A soma de dois quadrados perfeitos pares e o número 5

Uma outra característica numérica constatada na soma de 2 números quadrados perfeitos pares consecutivos e que fazendo a divisão por 2, temos como resultados números ímpares com ocorrências constantes de múltiplos de 5 e ocorrências aleatórias de números primos.

Outro fato interessante é que determinados multiplos de 5 divididos pelo próprio 5 apresentam como resultados números primos.

Veja matérias relacionadas:

  Soma de 2
  números quadrados
  e divisão por 5
 
Soma 2 Primeira segunda
quadrados divisão divisão
  por 2 por 5
     
20 10 5
52 26 13
100 50 25
164 82 41
244 122 61
340 170 85
452 226 113
580 290 145
724 362 181
884 442 221
1060 530 265
1252 626 313
1460 730 365
1684 842 421
1924 962 481
2180 1090 545
2452 1226 613
2740 1370 685
3044 1522 761
3364 1682 841
3700 1850 925
4052 2026 1013
4420 2210 1105
4804 2402 1201
5204 2602 1301
5620 2810 1405
6052 3026 1513
6500 3250 1625
6964 3482 1741
7444 3722 1861
7940 3970 1985
8452 4226 2113
8980 4490 2245
9524 4762 2381
10084 5042 2521
10660 5330 2665
11252 5626 2813
11860 5930 2965
12484 6242 3121
13124 6562 3281
13780 6890 3445
14452 7226 3613
15140 7570 3785
15844 7922 3961
16564 8282 4141
17300 8650 4325
18052 9026 4513
     
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Autor: Ricardo Silva -fevereiro/2022

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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