Neste estudo são apresentadas outras propriedades numéricas relacionadas à sequência dos números quadrados perfeitos:
a) a diferença entres dois números quadrados perfeitos pares consecutivos;
b) a diferença entre dois números quadrados perfeitos ímpares consecutivos e os múltiplos de 4.
A diferença entre dois números quadrados perfeitos pares consecutivos tem como resultado um número par.
Exemplos:
16 - 4 = 12
36 - 16 = 20
64 - 36 = 28
Os números das diferenças entre os quadrados perfeitos pares consecutivos são múltiplos de 4: (12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, ...).
A diferença entre os números quadrados pares consecutivos: 16 e 4, tem com o resultado 12.
16 - 4 = 12
12 : 4 = 3
(12 é divisível por 4 e tem como quociente 3)
3 é a raiz quadrada de 9.
O quadrado 9 está entre os quadrados pares 4 e 16.
ou
12 : 2 = 6
6 é a soma das raízes 2 e 4.
Quadrados perfeitos 16 e 36
A diferença entre os números quadrados pares consecutivos: 36 e 16, tem com o resultado 20.
20 - 4 = 12
12 : 4 = 5
(20 é divisível por 4 e tem como quociente 5)
5 é a raiz quadrada de 25.
O quadrado 25 está entre os quadrados pares 16 e 36.
ou
20 : 2 = 10
10 é a soma das raízes 4 e 6.
A diferença entre dois números quadrados perfeitos ímpares consecutivos tem como resultado um número par.
Exemplos:
9 - 1 = 8
25 - 9 = 16
49 - 25 = 24
Os números das diferenças entre os quadrados perfeitos ímpares consecutivos são múltiplos de 4: (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...)
Juntando-se as duas sequências obtem-se múltiplos de 4, a partir de 8:
8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 4, 52, 56, 60, ...
Quadrados perfeitos 1 e 9
A diferença entre os quadrados ímpares consecutivos: 9 e 1, tem como resultado 8.
9 - 1 = 8
8 : 4 = 2
(8 é divisível por 4 e tem como quociente 2)
2 é a raiz quadrada de 4.
O quadrado 4 está entre os quadrados ímpares 1 e 9.
ou
8 : 2 = 4
4 é a soma das raízes 1 e 3.
Quadrados perfeitos 9 e 25
A diferença entre os quadrados ímpares consecutivos: 25 e 9, tem como resultado 16.
25 - 9 = 16
16 : 4 = 4
(16 é divisível por 4 e tem como quociente 8)
4 é a raiz quadrada de 16.
O quadrado 16 está entre os quadrados ímpares 9 e 25.
ou
16 : 2 = 8
8 é a soma das raízes 3 e 5.
Regularidades numéricas entre quadrados perfeitos
Com os exemplos demonstrados, nota-se que um número múltiplo de 4, é a diferença entre dois quadrados consecutivos ou entre dois quadrados pares consecutivos.
Um múltiplo de 4 pode ser a diferença entre quadrados ímpares ou pares consecutivos. Se um múltiplo de 4, quando dividido por 4, tiver como quociente par, este múltiplo é a diferença entre dois números quadrados ímpares consecutivos.
Exemplo:
8 : 4 = 2
(o quociente é par)
8 é a diferença entre os quadrados 9 e 1 (9 - 1 = 8)
2 está entre 1 e 3
1 é raiz quadrada de 1
3 é a raiz quadrada de 9
Se um múltiplo de 4, quando divido por 4, tiver quociente ímpar, este múltiplo é a diferença entre dois números quadrados pares consecutivos.
Exemplo:
12 : 4 = 3
(o quociente é ímpar)
12 é a diferença entre os quadrados 16 e 4 (16 - 4 = 12)
3 está entre 2 e 4.
2 é raiz quadrada de 4.
4 é a raiz quadrada de 16.
Diferença entre números quadrados perfeitos Quadrados Quadrados Números Diferença ímpares Pares Diferença 1 1 2 8 4 3 9 12 4 16 16 5 25 20 6 24 36 7 49 28 8 32 64 9 81 36 10 40 100 11 121 44 12 48 144 13 169 52 14 56 196 15 225 60 16 64 256 17 289 68 18 72 324 19 361 76 20 400 www.osfantasticosnumerosprimos.com.br
Entre múltiplos de 4, na sequência dos números naturais, há a ocorrência de uma outra sequência numérica de números pares que é o dobro de um número ímpar.
Número par que é o dobro de um número primo possui dois fatores primos distintos.
Números que possuem 2 fatores primos distintos, possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos.
Números que possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos são o escopo de estudos publicados no livro digital Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos e com os quais são possíveis de construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos Sequenciais.
A sequência {6, 10, 14, 18,...} é uma progressão aritmética de razão 4.
| Múltiplos | Dobro de | Número | Número |
| de 4 | número | Ímpar | Primo |
| ímpar | |||
| 4 | |||
| 6 | 3 | 3 | |
| 8 | |||
| 10 | 5 | 5 | |
| 12 | |||
| 14 | 7 | 7 | |
| 16 | |||
| 18 | 9 | ||
| 20 | |||
| 22 | 11 | 11 | |
| 24 | |||
| 26 | 13 | 13 | |
| 28 | |||
| 30 | 15 | ||
| 32 | |||
| 34 | 17 | 17 | |
| 36 | |||
| 38 | 19 | 19 | |
| 40 | |||
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Autor: Ricardo Silva - setembro/2014
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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