Há sequências numéricas que são de fáceis de se reconhecer e saber mentalmente qual é o próximo termo da própria sequência.
Exemplos:
a) números naturais
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
b) números ímpares
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...
c) números pares
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
Outras sequências numéricas como: números cúbicos, números quadrados perfeitos, números triângulares, números retângulares e outras, necessitamos de expressões ou fórmulas matemáticas para se saber seus termos sequenciais.
A sequência numérica que até o presente momento não se tem uma fórmula que gere todos os seus termos é a sequência de números primos.
Outra sequência numérica que acredito não ser de fácil reconhecimento e saber o seu próximo termo, é a sequência da soma de números quadrados perfeitos consecutivos.
5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870,...
Somando-se números quadrados consecutivos obtem-se o total de cada grupo de soma.
A medida que acrescentamos o próximo termo, mais cálculos devem ser efetuados, tanto para se saber o próximo número quadrado como a soma de todos os termos.
1² + 2² = 1 + 4 = 5
1² + 2² + 3²= 1 + 4 + 9 = 14
1² + 2² + 3²+ 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
1² + 2² + 3²+ 4² + 5²= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
A partir do produto notável Cubo de Uma Soma Indicada:
(a+b)3 =
= (a + b) . (a + b)2
= (a + b) . (a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
e com extensos cálculos algébricos chega-se a duas fórmulas variantes para se obter a soma de números quadrados perfeitos consecutivos.
| n (n + 1) . (2.n + 1) |
| ___________ |
| 6 |
| n3 | n2 | n | ||
| ___ | + | ___ | + | __ |
| 3 | 2 | 6 |
Pesquisas estão sendo realizadas para saber quem foi a pessoa que criou as fórmulas acima, se você, visitante, souber, envie para nós esta informação.
A Fórmula 1 da Soma de números quadrados perfeitos consecutivos possui uma peculiaridade: o denominador é o número 6 que é o primeiro número perfeito.
| n (n + 1) . (2.n + 1) |
| ___________ |
| 6 |
Será porque ele é um número perfeito, ele tem relação direta com a soma de números quadrados perfeitos consecutivos?
Vejamos:
Qual é a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos?
1² + 2² + 3²+ 4² + 5²= ?
| n(n+1).(2n+1) |
| ___________ |
| 6 |
Subtituindo o número 5 na fórmula e efetuando as operações...
| 5 (5 + 1) . (2 . 5 + 1) |
| ___________ |
| 6 |
| 5 (6) . (11) |
| ___________ |
| 6 |
| 330 |
| ___________ |
| 6 |
...obtem-se o seguinte resultado
| 55 |
Número consecutivo de 5 é 6.
Soma dos números consecutivos 5 e 6 é 11.
O produto de 2 números consecutivos pelo produto da soma desses números consecutivos dividido por 6 tem como resultado a soma de números quadrados perfeitos consecutivos.
| 5 x 6 x 11 |
| ___________ |
| 6 |
| 330 |
| ___________ |
| 6 |
| 55 |
A Fórmula 1 da Soma de números quadrados perfeitos consecutivos tem relação direta com números consecutivos.
Veja matérias relacionadas para mais informações:
011-estudos-364-soma-numeros-quadrados-perfeitos-consecutivos-e-numeros-consecutivos
Partindo-se da mesma pergunta:
Qual é a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos?
e multiplicando o número 6 pelos números quadrados perfeitos de 1 a 25, somando os produtos e posteriormente dividindo pelo próprio 6 o quociente é 55 que é a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos.
| (6x1) + (6x4) + (6x9) + (6x16) + (6x25) |
| ______________________________ |
| 6 |
| 6 + 24 + 54 + 96 +150 |
| __________________ |
| 6 |
| 330 |
| ___ |
| 6 |
| 55 |
Multiplicando o número 5 pelos números quadrados perfeitos de 1 a 25, somando os produtos e posteriormente dividindo pelo próprio 5 o quociente é 55 que é a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos.
| (5x1) + (5x4) + (5x9) + (5x16) + (5x25) |
| ______________________________ |
| 5 |
| 5 + 20 + 45 + 80 +125 |
| __________________ |
| 5 |
| 275 |
| ___ |
| 5 |
| 55 |
Multiplicando o número 4 pelos números quadrados perfeitos de 1 a 25, somando os produtos e posteriormente dividindo pelo próprio 4 o quociente é 55 que é a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos.
| (4x1) + (4x4) + (4x9) + (4x16) + (4x25) |
| ______________________________ |
| 4 |
| 4 + 16 + 36 + 64 +100 |
| __________________ |
| 4 |
| 220 |
| ___ |
| 4 |
| 55 |
Multiplicando o número 3 pelos números quadrados perfeitos de 1 a 25, somando os produtos e posteriormente dividindo pelo próprio 3 o quociente é 55 que é a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos.
| (3x1) + (3x4) + (3x9) + (3x16) + (3x25) |
| ______________________________ |
| 3 |
| 3 + 12 + 27 + 48 + 75 |
| __________________ |
| 3 |
| 165 |
| ___ |
| 3 |
| 55 |
Multiplicando o número 2 pelos números quadrados perfeitos de 1 a 25, somando os produtos e posteriormente dividindo pelo próprio 2 o quociente é 55 que é a soma dos 5 primeiros números quadrados perfeitos consecutivos.
| (2x1) + (2x4) + (2x9) + (2x16) + (2x25) |
| ______________________________ |
| 2 |
| 2 + 8 + 18 + 32 + 50 |
| __________________ |
| 2 |
| 110 |
| ___ |
| 2 |
| 55 |
(1x1) + (1x4) + (1x9) + (1x16) + (1x25) = 55
Nas expressões numéricas acima expostas, fixando os fatores: 5, 4, 3, 2 e 1 e os multiplicando pelos quadrados de 1 a 25 e posteriormente somando-as, obtivemos o mesmo valor 55.
Nas somas dos produtos do número 6 pelos quadrados de 1 a 25 tem-se como resultado 330.
330 possui 16 divisores, e entre eles, 5, 3 e 2, mas não 4.
330 : 5 = 66
330 : 4 = 82,5
330 : 3 = 110
330 : 2 = 165
Partindo-se do fato de que um número natural é divisível por 6 quando é divisível tanto por 2 quanto por 3, nas divisões:
a) 330 : 3 = 110
dividindo 110 por 2 encontramos também a soma dos 5 primeiros quadrados.
110 : 2 = 55
b) 330 : 2 = 165
o mesmo ocorrendo, dividindo 165 por 3
165 : 3 = 55
Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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