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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Múltiplos de 12 e números quadrados perfeitos ímpares - 371

Número inteiro multiplicado por ele mesmo tem como resultado um número quadrado perfeito e quando extraído a sua raiz quadrada, o resultado também é um número inteiro.

Exemplo 1)

1 x 1 = 1

√1 = 1

Exemplo 2)

2 x 2 = 4

√4 = 2

Exemplo 3)

3 x 3 = 9

√9 = 3

Número quadrado perfeito também pode ser gerado por meio de Potenciação.

Exemplos)

1² = 1

2² = 4

3² = 9

Diferença entre números de quadrados perfeitos

A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos tem como resultado um número ímpar, gerando desta forma a sequência de números ímpares consecutivos a partir de 3: (3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, ...)

A tabela a seguir apresenta os primeiros 10 números quadrados perfeitos e diferenças.

Observação: entre as diferenças de quadrados, há números múltiplos ímpares de 3: (3, 9, 15, 21, 27, 33, ...)

Tabela - Diferença entre números quadrados perfeitos

Número	Quadrado	Diferença de quadrados

1	1
		3
2	4
		5
3	9
		7
4	16
		9
5	25
		11
6	36
		13
7	49
		15
8	64
		17
9	81
		19
10	100

Múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade

A tabela a seguir apresenta os primeiros 102 múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade.

Os múltiplos de 12 apresentam conexões matemáticas com números triangulares, números hexagonais estrelados, números primos, etc.

Veja matérias relacionadas abaixo, para mais informações.

Determinados múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade demonstram regularidades numéricas relacionadas a números quadrados perfeitos ímpares, apresentadas a seguir:

a) múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade não geram números múltiplos de 3 e suas potências;

b) múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade geram números ímpares;

c) múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade geram números números ímpares e entre números quadrados perfeitos ímpares sequencialmente, excluindo múltiplos e potências de 3;

d) determinados múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade geram números quadrados perfeitos cujas raízes quadradas são números primos (células laranja);

Exemplos)

√49 = 7

√121 = 11

√169 = 13

Interessante observar que a sequência (1, 13, 25, 37, 49,...) forma uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é o número 1 e razão 12 e que os intervalos entre os números quadrados perfeitos são aleatórios: 1, 1, 5, 3, 9, 5, 13, 7, 17, 9, 21,..., isto é, não há uma constante e mesmo assim os múltiplos de 12 adicionados de 1 unidade geram sequencialmente números quadrados perfeitos ímpares, excluindo múltiplos e potências de 3.

Múltiplos de 12
e
números quadrados
perfeitos ímpares

ordem	intervalo	múltiplos de	raiz
		12	quadrada
		somados de
		1 unidade

0		1	1
1	1	13	3,605551
2		25	5
3	1	37	6,08276
4		49	7
5		61	7,810249
6		73	8,544003
7	5	85	9,219544
8		97	9,848857
9		109	10,44030
10		121	11
11		133	11,53256
12	3	145	12,04159
13		157	12,52996
14		169	13
15		181	13,45362
16		193	13,89244
17		205	14,31782
18		217	14,73091
19	9	229	15,13274
20		241	15,5241
21		253	15,90597
22		265	16,2788
23		277	16,64331
24		289	17
25		301	17,34935
26		313	17,69180
27	5	325	18,02775
28		337	18,35755
29		349	18,68154
30		361	19
31		373	19,31320
32		385	19,62141
33		397	19,92485
34		409	20,22374
35		421	20,51828
36		433	20,80865
37	13	445	21,09502
38		457	21,37755
39		469	21,65640
40		481	21,9317
41		493	22,20360
42		505	22,47220
43		517	22,737634
44		529	23
45		541	23,2594
46		553	23,51595
47		565	23,76972
48	7	577	24,0208
49		589	24,2693
50		601	24,51530
51		613	24,75883
52		625	25
53		637	25,23885
54		649	25,47547
55		661	25,70992
56		673	25,94224
57		685	26,17250
58		697	26,40075
59		709	26,62705
60		721	26,85144
61	17	733	27,07397
62		745	27,29468
63		757	27,51363
64		769	27,73084
65		781	27,94637
66		793	28,16025
67		805	28,37252
68		817	28,58321
69		829	28,7923
70		841	29
71		853	29,20616
72		865	29,41088
73		877	29,61418
74		889	29,81610
75	9	901	30,01666
76		913	30,21588
77		925	30,41381
78		937	30,61045
79		949	30,8058
80		961	31
81		973	31,19294
82		985	31,38470
83		997	31,57530
84		1009	31,76476
85		1021	31,95309
86		1033	32,14031
87		1045	32,32645
88		1057	32,51153
89		1069	32,69556
90		1081	32,87856
91	21	1093	33,06055
92		1105	33,24154
93		1117	33,42154
94		1129	33,60059
95		1141	33,77869
96		1153	33,95585
97		1165	34,13209
98		1177	34,3074
99		1189	34,48187
100		1201	34,6554
101		1213	34,82814
102		1225	35

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Tabuada do 12 Extendida

Conforme exposto acima, múltiplos de 12 somados de 1 unidade têm como resultados números ímpares e entre eles determinados números quadrados perfeitos ímpares cujas raízes quadradas são números primos.

Generalizando este fato para números primos, montou-se uma Tabuada do 12 Extendida, um múltiplo de 12 somado com um número primo constante.

Múltiplos de 12 somado com o número primo 3 constante (Coluna B), geram múltiplos de 3: (3, 15, 27, 39, 51,...), isto porque 12 é um múltiplo natural de 3.

Interessante observar que na (Coluna F), múltiplos de 12 somados com o número primo constante 13 gera sequência com ocorrências também de números quadrados perfeitos ímpares como se o ciclo ocorresse novamente, mas como o primeiro termo da sequência o número 13.

Assim também, com a (Coluna G), múltiplos de 12 somados com o número primo 17 constante, a sequência é similar a (Coluna C), exetuando-se os primeiros termos.

Lembrado que em cada coluna, há ocorrências aleatórias de números primos.

Tabuada do 12
Extendida

			A	B	C	D	E	F	G

				números
				primos
			1	3	5	7	11	13	17
naturais
			1	3	5	7	11	13	17
1	x	12	13	15	17	19	23	25	29
2	x	12	25	27	29	31	35	37	41
3	x	12	37	39	41	43	47	49	53
4	x	12	49	51	53	55	59	61	65
5	x	12	61	63	65	67	71	73	77
6	x	12	73	75	77	79	83	85	89
7	x	12	85	87	89	91	95	97	101
8	x	12	97	99	101	103	107	109	113
9	x	12	109	111	113	115	119	121	125
10	x	12	121	123	125	127	131	133	137
11	x	12	133	135	137	139	143	145	149
12	x	12	145	147	149	151	155	157	161
13	x	12	157	159	161	163	167	169	173
14	x	12	169	171	173	175	179	181	185
15	x	12	181	183	185	187	191	193	197
16	x	12	193	195	197	199	203	205	209
17	x	12	205	207	209	211	215	217	221
18	x	12	217	219	221	223	227	229	233
19	x	12	229	231	233	235	239	241	245
20	x	12	241	243	245	247	251	253	257
21	x	12	253	255	257	259	263	265	269
22	x	12	265	267	269	271	275	277	281
23	x	12	277	279	281	283	287	289	293
24	x	12	289	291	293	295	299	301	305
25	x	12	301	303	305	307	311	313	317
26	x	12	313	315	317	319	323	325	329
27	x	12	325	327	329	331	335	337	341
28	x	12	337	339	341	343	347	349	353
29	x	12	349	351	353	355	359	361	365
30	x	12	361	363	365	367	371	373	377
31	x	12	373	375	377	379	383	385	389
32	x	12	385	387	389	391	395	397	401
33	x	12	397	399	401	403	407	409	413
34	x	12	409	411	413	415	419	421	425
35	x	12	421	423	425	427	431	433	437
36	x	12	433	435	437	439	443	445	449
37	x	12	445	447	449	451	455	457	461
38	x	12	457	459	461	463	467	469	473
39	x	12	469	471	473	475	479	481	485
40	x	12	481	483	485	487	491	493	497
41	x	12	493	495	497	499	503	505	509
42	x	12	505	507	509	511	515	517	521
43	x	12	517	519	521	523	527	529	533
44	x	12	529	531	533	535	539	541	545
45	x	12	541	543	545	547	551	553	557
46	x	12	553	555	557	559	563	565	569
47	x	12	565	567	569	571	575	577	581
48	x	12	577	579	581	583	587	589	593
49	x	12	589	591	593	595	599	601	605
50	x	12	601	603	605	607	611	613	617

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