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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Múltiplos de 12 e conexão com números primos - 322

O número 12 é o primeiro número composto que é produto de um par de números primos por um outro primo ( 2 x 2 x 3 = 12 ou um quadrado por um primo 4 x 3 = 12) e apresenta diversas outras propriedades matémáticas publicadas aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos e no livro digital Números Perfeitos e Sequências Numéricas (veja matérias relacionadas abaixo).

Os novos estudos que se seguem demostram outras propriedades numéricas relacionadas entre múltiplos de 12 e números primos com números triangulares, potências de números primos e também com números compostos que não são múltiplos de 3.

Determinados múltiplos de 12 subtraídos de 1 unidade e extraídas as raízes quadradas têm como resultados números primos.

Números triangulares também denominados de números figurados, números geométricos, números poligonais são números formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.

1, 3, 6, 10 , 15, 21, 28, 36,... são números triagulares.

números figurados triangulares

Múltiplos de 12 e números figurados hexagonais estrelados

Sobrepondo-se 2 triângulos formados por determinados números figurados triangulares obtêm-se hexágonos estrelados que por sua vez formam a sequência de números figurados hexagonais estrelados.

Sobrepondo-se 2 triângulos de 10 pontos, forma-se o primeiro hexágono estrelado com 13 pontos.

No centro de cada triângulo há um hexágono de 7 pontos.

No número figurado hexágono estrelado há um hexágono de 7 pontos mais 6 pontos formando as pontas da estrela - total de pontos 13.

número figurado hexagonal estrelado 13

13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, ... são números figurados hexagonais estrelados.

Entre os números figurados hexagonais estrelados há ocorrências de números primos: 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661,...

Múltiplos de 12 e a figura geométrica do dodecágono

Construindo-se vários dodecágonos equidistantes, figura geométrica composto por 12 lados e 12 vértices, e numerando sequencialmente os vértices em espiral do centro para as extremidades, os números primos tendem a se alinharem nos vértices A, E, G e K.

No vértice A, tendem a se alinharem números quadrados perfeitos ímpares cujas raízes quadradas são números primos bem como números hexagonais estrelados.

dodecágono e sequências numéricas

Múltiplos de 12 e números triangulares

O produto do número 12 por um número triangular somado de 1 unidade têm como resultados números figurados hexagonais estrelados.

A seguinte tabela apresenta os 15 primeiros números figurados hexagonais estrelados.

  número número
  triangular hexagonal
posição/  estrelado
ordem            
             
1 1 x 12 + 1 13
2 3 x 12 + 1 37
3 6 x 12 + 1 73
4 10 x 12 + 1 121
5 15 x 12 + 1 181
6 21 x 12 + 1 253
7 28 x 12 + 1 337
8 36 x 12 + 1 433
9 45 x 12 + 1 541
10 55 x 12 + 1 661
11 66 x 12 + 1 793
12 78 x 12 + 1 937
13 91 x 12 + 1 1093
14 105 x 12 + 1 1261
15 120 x 12 + 1 1441
           
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Múltiplos de 12 e números naturais

Múltiplos de 12 somados com 1 unidade têm como resultados números ímpares e entre eles ocorrências de números quadrados perfeitos cujas raízes quadradas são números primos.

Na sequência de múltiplos de 12 somados com 1 unidades não há ocorrências de números múltiplos de 3, pois não há números que somados os seus algarismos sejam múltiplos de 3.

  múltiplos      
posição de 1   raiz
ordem 12 unidade soma quadrada
         
1 12 1 13 3,605551275
2 24 1 25 5
3 36 1 37 6,08276253
4 48 1 49 7
5 60 1 61 7,810249676
6 72 1 73 8,544003745
7 84 1 85 9,219544457
8 96 1 97 9,848857802
9 108 1 109 10,44030651
10 120 1 121 11
11 132 1 133 11,53256259
12 144 1 145 12,04159458
13 156 1 157 12,52996409
14 168 1 169 13
15 180 1 181 13,45362405
16 192 1 193 13,89244399
17 204 1 205 14,31782106
18 216 1 217 14,73091986
19 228 1 229 15,13274595
20 240 1 241 15,5241747
21 252 1 253 15,90597372
22 264 1 265 16,2788206
23 276 1 277 16,64331698
24 288 1 289 17
25 300 1 301 17,34935157
26 312 1 313 17,69180601
27 324 1 325 18,02775638
28 336 1 337 18,35755975
29 348 1 349 18,68154169
30 360 1 361 19
31 372 1 373 19,31320792
32 384 1 385 19,62141687
33 396 1 397 19,92485885
34 408 1 409 20,22374842
35 420 1 421 20,51828453
36 432 1 433 20,80865205
37 444 1 445 21,09502311
38 456 1 457 21,37755833
39 468 1 469 21,65640783
40 480 1 481 21,9317122
41 492 1 493 22,20360331
42 504 1 505 22,47220505
43 516 1 517 22,737634
44 528 1 529 23
45 540 1 541 23,2594067
46 552 1 553 23,51595203
47 564 1 565 23,76972865
48 576 1 577 24,0208243
49 588 1 589 24,2693222
50 600 1 601 24,51530134
         
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As diferenças entre as raízes quadradas apresentam o seguinte padrão

raízes diferenças
   
5 2
7 4
11 2
13 4
17 2
19 4
23 2
25 4
29 2
31 4
35 2
37 4
41 2
43 4
47 2
49 4
53 2
55 4
59 2
61 4
65 2
67 4
71 2
73 4
77 2
79 4
83 2
85 4
89 2
91 4
   
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Rearrajando os múltiplos de 12 somados com 1 unidade em linhas e colunas observa-se que:

a) os números quadrados perfeitos ímpares tendem a se organizarem nas colunas 2, 4 e 10;

b) na coluna 2, há ocorrências de números quadrados de finais 5;

c) na coluna 4, há ocorrências de números quadrados de finais 9;

d) na coluna 10, há ocorrências de números quadrados de finais 1.

Múltiplos de 12
somados de 1 unidade
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
                     
0 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121
1 133 145 157 169 181 193 205 217 229 241
2 253 265 277 289 301 313 325 337 349 361
3 373 385 397 409 421 433 445 457 469 481
4 493 505 517 529 541 553 565 577 589 601
5 613 625 637 649 661 673 685 697 709 721
6 733 745 757 769 781 793 805 817 829 841
7 853 865 877 889 901 913 925 937 949 961
8 973 985 997 1009 1021 1033 1045 1057 1069 1081
9 1093 1105 1117 1129 1141 1153 1165 1177 1189 1201
10 1213 1225 1237 1249 1261 1273 1285 1297 1309 1321
                     
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Múltiplos de 12 e números de finais 5

Múltiplos de 12 de finais 4 somados com 1 unidade têm como resultados números de finais 5.

Na coluna raiz quadrada há um único número primo que é o número 5.

  múltiplos      
posição de 1   raiz
ordem 12 unidade soma quadrada
         
2 24 1 25 5
12 144 1 145 12,04
22 264 1 265 13,278
32 384 1 385 19,621
42 504 1 505 22,472
52 624 1 625 25
62 744 1 745 27,294
72 854 1 855 29,240
82 984 1 985 31,384
92 1104 1 1105 32,241

Múltiplos de 12 e números de finais 9

Determinados Múltiplos de 12 de finais 8 somados com 1 unidade têm como resultados números ímpares de finais 9 e entre eles números quadrados perfeitos cujas raízes quadradas apresentam números primos.

7, 13, 17, 23, 37, 43, 47,... são números primos.

  múltiplos      
posição de 1   raiz
ordem 12 unidade soma quadrada
         
4 48 1 49 7
14 168 1 169 13
24 288 1 289 17
34 408 1 409  
44 528 1 529 23
54 648 1 649  
64 768 1 769  
74 888 1 889  
84 1008 1 1009  
94 1128 1 1129  
104        
114 1368 1 1369 37
         
         
         
154 1848 1 1849 43
         
         
184 2208 1 2209 47
         

Múltiplos de 12 e números de finais 1

Determinados Múltiplos de 12 de finais 0 somados com 1 unidade têm como resultados números ímpares de finais 1 e entre eles números quadrados perfeitos cujas raízes quadradas apresentam números primos.

11, 19, 29, 31, 41,... são números primos.

  múltiplos      
posição de 1   raiz
ordem 12 unidade soma quadrada
         
10 120 1 121 11
20 240 1 241  
30 360 1 361 19
40 480 1 481  
50 600 1 601  
60 720 1 721  
70 840 1 841 29
80 960 1 961 31
90        
100        
110        
120        
130        
140 1680 1681 1 41

Múltiplos de 12 e potências de base 5

Potências de base 5 elevadas a expoentes pares, igual ou maior que 2, subtraídas de 1 unidade têm como resultados múltiplos de 12.

50 = 1

51 = 5

52 = 25

25 - 1 = 24 (múltiplo de 12)

53 = 125

54 = 625

625 - 1 = 624 (múltiplo de 12)

55 = 3125

56 = 16.625

16.625 - 1 = 16.624 (múltiplo de 12)

Múltiplos de 12 e potências de base 7

Potências de base 7 elevadas a expoentes pares, igual ou maior que 2, subtraídas de 1 unidade têm como resultados múltiplos de 12.

70 = 1

71 = 7

72 = 49

49 - 1 = 48 (múltiplo de 12)

73 = 343

74 = 2401

2401 - 1 = 2400 (múltiplo de 12)

75 = 16.807

76 = 117.649

117.649 - 1 = 117.648 (múltiplo de 12)

Múltiplos de 12 e potências de base 3

Potências de base 3 elevadas a expoentes pares, igual ou maior que 2, subtraídas de 1 unidade não têm como resultados múltiplos de 12.

Observação importante: potências de base 3, bem como múltiplos ímpares de 3: 9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 69, 87, etc. e suas potências subtraídas de 1 unidade não geram múltiplos de 12.

30 = 1

31 = 3

32 = 9

9 - 1 = 8 (não é múltiplo de 12)

33 = 27

34 = 81

81 - 1 = 80 (não é múltiplo de 12)

35 = 243

36 = 729

729 - 1 = 728 (não é múltiplo de 12)

Múltiplos de 12 e potências de base 9

Potências de base 9 elevadas a expoentes pares, igual ou maior que 2, subtraídas de 1 unidade não têm como resultados múltiplos de 12.

Observação importante: potências de base 3, bem como múltiplos ímpares de 3: 9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 69, 87, etc. e suas potências subtraídas de 1 unidade não geram múltiplos de 12.

90 = 1

91 = 9

92 = 81

81 - 1 = 80 (não é múltiplo de 12)

93 = 729

94 = 6.561

6.561 - 1 = 6.560 (não é múltiplo de 12)

95 = 59.049

96 = 531.441

531.441 - 1 = 531.440 (não é múltiplo de 12)

 

Autor: Ricardo Silva - março/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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