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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Perfeitos e Potências de base 12 - 264

Número Perfeito é um número cuja soma dos divisores, excluindo o próprio número, tem como resultado o próprio número.

Os números em geral foram importantes objetos de estudos dos intelectuais gregos, os quais se destacam os pitagóricos que deixaram grande legado para a geometria, matemática e as demais ciências.

Os números 6, 28, 496, 8128 são números perfeitos, aliás os antigos gregos só conheciam estes quatro e Euclides de Alexandria enuncia em Os Elementos no livro IX:

Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.

A fórmula algébrica desta proposição é:

2n−1(2n −1)

Foi por meio das quantidades de divisores de um número é que categorizaram os números como:

a) Números Primos;

b) Números Compostos;

c) Números Perfeitos;

d) Números Quase Perfeitos;

e) Números Deficientes;

f) Números Abudantes, etc.

A partir de números quase perfeitos, especialmente as potências de base 2 é que se chega a um número perfeito.

Em cada potência de base 2, quando somado os divisores próprios (exceto o próprio número), apresentam 1 unidade menor que essa potência.

A soma dos divisores próprios da potência 2 é 1.

A soma dos divisores próprios da potência 4 é 3.

A soma dos divisores próprios da potência 8 é 7.

A soma dos divisores próprios da potência 16 é 15.

A soma dos divisores próprios da potência 32 é 31.

A soma dos divisores próprios da potência 64 é 63.

A soma dos divisórios próprios, neste caso, são número ímpares e dentre eles números primos: 3, 7, 31.

Primos de Mersenne

Uns dos grandes saltos aos números perfeitos foi dado pelo monge francês Marin Mersenne (1588-1648) que através de sua Fórmula:

2n −1

pode-se gerar número Primo de Mersenne.

Número Primo de Mersenne multiplicado pela soma de divisores próprios de uma potência de base 2 e dividido por 2 tem como resultado número perfeito.

22 - 1 = 4 - 1 = 3 (Primo de Mersenne)

3 x 4 = 12 : 2 = 6 (número perfeito)

 

24 - 1 = 8 - 1 = 7 (Primo de Mersenne)

7 x 8 = 56 : 2 = 28 (número perfeito)

 

25 - 1 = 32 - 1 = 31 (Primo de Mersenne)

31 x 32 = 992 : 2 = 496 (número perfeito)

 

27 - 1 = 128 - 1 = 127 (Primo de Mersenne)

127 x 128 = 16256 : 2 = 8.128 (número perfeito)

 

213 - 1 = 8.192 - 1 = 8.191 (Primo de Mersenne)

8.191 x 8.192 = 67.100.672 : 2 = 33.550.336 (número perfeito)

 

217 - 1 = 131.072 - 1 = 131.071 (Primo de Mersenne)

131.071 x 131.072 = 17.179.738.112 : 2 = 8.589.869.056 (número perfeito)

 

219 - 1 = 524.288 - 1 = 524.287 (Primo de Mersenne)

524.287 x 524.288 = 274.877.382.656 : 2 = 137.438.691.328 (número perfeito)

 

Nos estudos que se segue, são apresentadas regularidades numéricas relacionadas as quantidades de divisores de Potências de Base 12 que são em quantidades de números triangulares e entre eles números perfeitos.

O número 12 além de suas propriedades numéricas também está relacionado a tempo e espaço:

O ano é divido em 12 meses ou ainda em bimestres, trimestres, quadrimestres e semestres.

São 4 estações do ano: verão, outono, inverno e primavera.

12 horas é o período de um dia e 12 horas a noite.

12 é divisor de 60 e 360.

O relógio é dividido em 12 horas, cada hora; 60 minutos, cada minuto; 60 segundos ou ainda 3600 segundos.

O 12 é a base do antigo sistema de numeração duodecimal, que ainda se usa em certas situações (ver também dúzia, grosa, polegada).

O 12 é um número composto, tem 6 divisores próprios: 1, 2, 3, 4 e 6. Como a soma dos seus factores é 16 > 12, trata-se de um número excessivo ou abundante.

Pode ser escrito de forma única como a soma de dois números primos: 12 = 5 + 7

Número oblongo, isto é, é um número retângular.

É o dobro do número perfeito 6.

Número 12 e decomposição em fatores primos

  Fatores Primos Divisores    
    1    
12 2 2    
6 2 4    
3 3 3 6 12
1        

D(12): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Possui 6 divisores (6 é número perfeito).

Soma dos divisores é 28 (28 é número perfeito).

Potências de base 12

As potências de base 12, assim como produtos de um par de primos por outro primo distinto, não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Os produtos de um par de primos por outro primo distinto geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números triangulares não consecutivos.

O número 12 é o primeiro número que é produto de um par de primos por um outro número primo distinto.

2 x 2 x 3 = 12

Observação importante:

2 x 2 x 3 = 4 x 3

(número quadrado x um número primo)

Potências de 12

120 = 1 - (1 divisor)

121 = 12 - (6 divisores - 6 é um número perfeito)

122 = 144 - (15 divisores - quadrado perfeito)

123 = 1.728 (28 divisores - 28 é um número perfeito)

124 = 20.736 - (45 divisores- quadrado perfeito)

125 = 248.832 - (66 divisores )

126 = 2.985.984 - (91 divisores - quadrado perfeito)

127 = 35.831.808 - (120 divisores)

128 = 429.981.696 - (153 divisores - quadrado perfeito)

129 = 5.159.780.352 - (190 divisores)

1210 = 61.917.364.224 - (231 divisores - quadrado perfeito)

1211 = 743.008.370.688 - (276 divisores)

1212 = 8.916.100.448.256 - (325 divisores - quadrado perfeito)

1213 = 106.993.205.379.072 - (378 divisores)

1214 = 1.283.918.464.548.864 - (435 divisores - quadrado perfeito)

1215 =15.407.021.574.586.368 - (496 divisores- 496 é um número perfeito)

 

Autor: Ricardo Silva - junho /2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

TATTERSALL, James J. Elementary number theory in nine chapters. Published in the United States by Cambridge University Press, New York, 1999

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