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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Perfeitos e Números Quase Quadrados Perfeitos - 263

Fiz um uma brincadeira com meu filho de 11 anos, perguntei a ele para dizer os números pares entre 1 a 10, o mais rápido possível.

Disse 2...4...6, deu uma titubeada, 8...10, e os recitou corretamente.

Perguntei a ele novamente, quais são números ímpares entre 1 a 10.

Pensou..., sorriu..., 1...3..., pensou novamente, 5..., deu uma engasgada e terminou dizendo 7...9.

E para deixá-lo mais afinado, perguntei a ele quais eram os números primos entre 1 a 10,

Ai ele disse, aaaaha, não lembro nãooo...!!!

Números Ímpares, Números Pares, Números Primos são denominações e classificações de números que os antigos gregos no auge de sua civilização, observando e analisando-os nos deixaram como legado.

Os estudos com números não parou por aí, eles observaram que os números possuiam diversas características e propriedades, tais como:

a) dividindo determinados números por 2, deixavam resto 0 (zero);

b) dividindo determinados números por 2, deixavam resto 1;

c) que determinados números possuiam somente dois divisores;

d) que determinados números possuiam mais de dois divisores, etc.

Observaram também que determinados números que possuiam divisores cuja soma é o próprio número (excetundo o próprio número), era um número especial, um número raro, pelo qual denominaram de Números Perfeitos.

Números Perfeitos

Números Perfeitos são números cuja soma dos divisores, excetuando-se o próprio número, tem como resultado o próprio número.

Os antigos gregos conheciam somente os 4 primeiros números perfeitos.

Número Perfeito 6

O número 6 é o primeiro número perfeito e triangular.

D(6): 1, 2, 3, 6

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 3 = 6

Número Perfeito 28

O número 28 é o segundo número perfeito e triangular.

D(28): 1, 2, 4, 7, 14, 28

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Número Perfeito 496

O número 496 é o terceiro número perfeito e triangular.

D(496): 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Número Perfeito 8128

O número 8128 é o quarto número perfeito e triangular.

D(8128): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128

Número Perfeito 33.550.336

O número 33.550.336 é o quinto número perfeito e triangular.

D(33.550.336): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168, 33550336

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64... + 8387584 +16775168 + 33550336 = 33.550.336.

Observação: o número perfeito 33.550.336 segundo James J.TATTERSALL, no livro Elementary number theory in nine chapters, página 129, apareceu em Codex Latino de 1.460

Números Perfeitos e Potências de base 2

Euclides em Os Elementos, Livro IX, demonstra que duplicando-se a unidade (número 1) até que se encontre um número primo, e este primo multiplicado pela última soma, então o produto é um número perfeito.

A sequência a que Euclides se refere em Os Elementos são as potências de base 2.

Potências de base 2

20 = 1

21 = 2

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Soma da potências de base 2

A soma consecutiva de potências de base 2 apresenta o mesmo resultado da soma de divisores próprios de cada potência de base 2.

Observação importante: potências de base 2 também são denominadas de números quases perfeitos, por apresentarem uma caracteristica especial, de que as somas dos divisores próprios serem 1 unidade menor que cada umas de suas potências.

1

1 + 2 = 3

(3 x 2 = 6)

1 + 2 + 4 = 7

(7 x 4 = 28)

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

(31 x 16 = 496)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

(127 x 64 = 8128)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023

Potências de base 2 e soma de divisores próprios

A soma de divisores próprios de cada potência de base 2 apresenta o mesmo resultado da soma consecutiva de potências de base 2.

As potências de base 2 também são chamadas de Números Quase Perfeitos, pois a soma dos seus divisores próprios é uma unidade menor em relação à cada potência.

Potências de base e divisores  
  soma dos
  divisores
  próprios
   
D(2): 1, 2 1
   
D(4): 1, 2, 4 3
   
D(8): 1, 2, 4, 8 7
   
D(16): 1, 2, 4, 8, 16 15
   
D(32): 1, 2, 4, 8, 16, 32 31
   
D(64): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 63
   
D(128): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 127
   
D(256): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256 255
   
D(512): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256, 512 511
   
D(1024): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 128, 256, 512, 1024 1023
   

Números Perfeitos e Fórmula de Euclides

2n - 1(2n - 1)

 

para n = 2: 21 - 1 (22 − 1) = 6

para n = 3: 23 - 1 (23 − 1) = 28

para n = 5: 25 - 1(25 − 1) = 496

para n = 7: 27 - 1 (27 − 1) = 8.128

Números Perfeitos e Primos de Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês, também estudou os números perfeitos apresentado a seguinte fórmula:

2n - 1

onde uma potência de base 2 elevada a um número natural e subtraída de uma unidade gera um número antecessor de número quase perfeito.

Números gerados pela Fórmula de Mersenne, são chamados de Primos de Mersenne, mas nem todos os números gerados são primos, há números compostos também.

Número Primo de Mersenne muliplicado pelo seu sucessor e posteriormente divido por 2 é um número perfeito, o mesmo que:

O produto de 2 números consecutivos divididos por 2 tem como resultado um número triangular.

Exemplos:

3 é um Primo de Mersenne

3 x 4 = 12

12 : 2 = 6 (número perfeito)

7 é um Primo de Mersenne

7 x 8 = 56

56 : 2 = 28 (número perfeito)

31 é um Primo de Mersenne

31 x 32 = 992

992 : 2 = 496 (número perfeito)

Números Quase Quadrados Perfeitos

Números Quase-Quadrados Perfeitos é uma sequência numérica em que cada termo é uma unidade menor que um número quadrado perfeito e a razão, isto é, a diferença entre seus termos são números ímpares.

A Sequência de Números Quase-Quadrados Perfeitos é originada a partir de quadrados formando retângulos de largura duas unidades maior que o seu lado.

A partir de sequências de duplas de números consecutivos ímpares e duplas de números consecutivos pares são possíveis de formarem Equações de Segundo Grau em que os Números Quadrados Quase-Perfeitos são os produtos em que se tem que descobrir sua raiz.

Ver materias relacionadas:

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Relações numéricas entre
quadrados e retângulos
           
Quadrado Retângulo  
        semi- quase-
lado altura largura área perímetro quadrados
          perfeitos
           
1 1 3 3 4 3
           
2 2 4 8 6 8
           
3 3 5 15 8 15
           
4 4 6 24 10 24
           
5 5 7 35 12 35
           
6 6 8 48 14 48
           
7 7 9 63 16 63
           
8 8 10 80 18 80
           
9 9 11 99 20 99
           
10 10 12 120 22 120
           
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Números Compostos Especiais

Números Compostos Especiais é uma sequência números que não são potências de números primos ou de outros números compostos.

Os Números Compostos Especiais e sua potências possuem quantidade de divisores em quantidade de números quadrados perfeitos.

Com os Números Compostos Especiais são possíveis de se contruirem Quadrados Mágicos Multiplicativos Sequênciais, isto é,

a) Quadrados Mágicos ao Quadrado;

b) Quadrados Mágicos ao Cubo;

c) Quadrados Mágicos a Quarta Potência;

d) Quadrados Mágicos a Quinta Potência;

e) Quadrados Mágicos a Sexta Potência, etc...

Tabelas de Divisores
de Números Quadrados Perfeitos
Raiz Número Divisores Quantidade
6 36 12, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 9
10 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 9
14 196 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196 9
15 225 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 9
16 256 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 9
21 441 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 9
22 484 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484 9
26 676 1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676 9

Fonte: Tabela adaptada de

https://pt.wikipedia.org /wiki/Tabela_de_divisores

 

Os Números Compostos Especiais fazem parte de estudos publicados dos livros digitais:

Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos e Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas

 

Autor: Ricardo Silva - junho/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

TATTERSALL, James J. Elementary number theory in nine chapters. Published in the United States by Cambridge University Press, New York, 1999

https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfeito

https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Mersenne

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