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Equação do Segundo Grau e regularidades numéricas - 025

Vários são os padrões e sequências que podem ser observados na natureza, como intervalo entre dia e noite de 12 horas, 7 dias da semana, 12 meses do ano, 4 fases da Lua, 4 estações do ano, movimentos do Sol, etc.

Uma sequência numérica a qual todos lidamos diariamente é a Sequência do Números Naturais, pois, precisamos realizar contagens; fazer operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação e divisão; ordenar coisas e objetos; utilizar como códigos em documentos; fazer medições, etc.

Operações aritméticas, dependendo do problema, podem ser feitas, às vezes até mentalmente, em outras situações necessitamos de papel e lápis para se fazer contas, ou ainda fazer uso de calculadoras, planilhas digitais, computadores, etc.

Sendo o problema "complexo" precisamos ainda fazer uso de fórmula matemática.

Uma dessas fórmulas, é a Fórmula Quadrática, Fórmula Resolutiva de Equação do Segundo Grau, também conhecida por nós brasileiros por Fórmula de Bháskara, aliás, há vários outros métodos que foram desenvolvidos para se solucionar problemas do segundo grau.

Veja a relação dos métodos no abaixo.

Solucionar problema do segundo grau é encontrar dois números cuja soma e o produto são dados, isto é, encontrar as raízes desses dois números.

Partindo-se desta informação veremos que duplas de números que são raízes formam padrões e sequências numéricas e que nos auxiliam a desvendar o "segredo" por tráz de Equações do Segundo Grau.

Equação do Segundo Grau - números consecutivos

A tabela seguir apresenta duplas de números consecutivos cuja diferença é de 1 unidade, a soma e produto entre eles.

Montando e resolvendo Equações do Segundo Grau com a soma e produto desses pares de números consecutivos, etapas de resolução da equação apresentam os seguintes padrões:

a) a raiz quadrada do segundo membro da equação é 1;

b) 1 é a diferença entre os números consecutivos;

c) a diferença entre os números é que determina o número quadrado do segundo membro da equação;

d) etapas da equação tornam-se frações, pelo fato do termo bx ser número ímpar;

Pares de Números    
  Diferença   soma produto
1 1 2 3 2
2 1 3 5 6
3 1 4 7 12
4 1 5 9 20
5 1 6 11 30
         
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Equação do Segundo Grau - Completando Quadrados

O Método de Completar Quadrados para resolver Equações do Segundo Grau consiste em formar um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro da equação.

Números escolhidos 1 e 2, soma e produto 3 e 2

Monta-se a Equação do Segundo Grau na forma completa.

x2 - 3x + 2 = 0

Completando quadrados

Deloca-se o termo independente "c" -2 para o segundo membro da equação.

x2 - 3x = - 2

Dividi-se o coeficiente 3 do termo bx por 2 (3/2)2 e eleve ao quadrado (9/4) e some-o ao primeiro e segundo membro para equilibrar a equação.

        9         9
x2 - 3x + ____ = - 2 + ___
        4         4

Efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...

x2   3x   9     2   9
____ - ____ + ____ = - ____ + ___
4   4   4     4   4

...e consequentemente também uma nova equação equivalente.

4x2 - 12x + 9 = - 8 + 9

O Primeiro membro torna-se um Trinômio Quadrado Perfeito.

Fatora-se o primeiro membro, obtendo-se quadrado da soma (produto notável).

(2x - 3)2 = 1

Extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

2x - 3 = ± √1

2x - 3 = ± 1

As raízes da equação são os números escolhidos da tabela

    + 1 + 3   4    
x' = ______ = ___ = 2
    2   2    
    - 1 + 3   2    
x' = ______ = ___ = 1
    2   2    

Números escolhidos 2 e 3, soma e produto 5 e 6

x2 - 5x + 6 = 0

x2 - 5x = - 6

x2 - 5x + (25/4)2 = - 6 + (25/4)2

4x2 - 20x + 25 = - 24 + 25

4x2 - 20x + 25 = + 1

(2x - 5)2 = 1

2x - 5 = ± √1

2x - 5 = ± 1

As raízes da equação são os números escolhidos da tabela, cuja soma e produto são dados.

    + 1 + 5   6    
x' = ______ = ___ = 3
    2   2    
    - 1 + 5   4    
x' = ______ = ___ = 2
    2   2    

Números escolhidos 3 e 4, soma e produto 7 e 12

x2 - 7x + 12 = 0

x2 - 7x = - 12

x2 - 7x + (49/4)2 = - 48 + (49/4)2

4x2 - 28x + 49 = - 48 + 49

4x2 - 28x + 49 = + 1

(2x - 7)2 = 1

2x - 7 = ± √1

2x - 7 = ± 1

As raízes da equação são os números escolhidos da tabela, cuja soma e produto são dados.

    + 1+ 7   8    
x' = ______ = ___ = 4
    2   2    
    - 1 + 7   6    
x' = ______ = ___ = 3
    2   2    

Números escolhidos 4 e 5, soma e produto 9 e 20

x2 - 9x + 20 = 0

x2 - 9x = - 20

x2 - 9x + (81/4)2 = - 20 + (81/4)2

4x2 - 36x + 81 = - 80 + 81

4x2 - 36x + 81 = + 1

(2x - 9)2 = 1

2x - 9 = ± √1

2x - 9 = ± 1

As raízes da equação são os números escolhidos da tabela, cuja soma e produto são dados.

    + 1 + 9   10    
x' = ______ = ___ = 5
    2   2    
    - 1 + 9   8    
x' = ______ = ___ = 4
    2   2    

Equação do Segundo Grau - números não consecutivos

Formando Equações do Segundo Grau com sequências de duplas de números não consecutivos com diferenças constantes ou não, as resoluções das equações nos exemplos demostrados apresentam regularidades numéricas quanto as raízes quadradas.

Diferença entre os termos de 1 unidade

A tabela seguir apresenta duplas de números, cuja diferença é um número natural crescente, a soma e produto entre eles.

A diferença entre as duplas de números são as raízes quadradas nas resoluções das equações.

Pares de Números    
  Diferença   soma produto
1 1 2 3 2
1 2 3 4 3
1 3 4 5 4
1 4 5 6 5
1 5 6 7 6
         
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Números escolhidos 1 e 3, soma e produto 4 e 3

x2 - 4x + 3 = 0

x2 - 4x = -3

x2 - 4x + 4 = - 3 + 4

(x - 2)2 = 1

x - 2 = ± √1

x - 2 = ± 1

raízes da equação

x' = + 2 + 1 = 3

x" = + 2 - 1 = 1

Números escolhidos 1 e 4, soma e produto 5 e 4

x2 - 5x + 4 = 0

x2 - 5x = - 4

x2 - 5x + (25/4)2 = - 4 + (25/4)2

4x2 - 20x + 25 = - 16 + 25

4x2 - 20x + 25 = + 9

(2x - 5)2 = 9

2x - 5 = ± √9

2x - 5 = ± 3

As raízes da equação são os números escolhidos da tabela, cuja soma e produto são dados.

    + 5 + 3   8    
x' = ______ = ___ = 4
    2   2    
    + 5 - 3   2    
x' = ______ = ___ = 1
    2   2    

Números escolhidos 1 e 5, soma e produto 6 e 5

x2 - 6x + 5 = 0

x2 - 6x = -5

x2 - 6x + 9 = - 5 + 9

(x - 3)2 = 4

x - 3 = ± √4

x - 3 = ± 2

raízes da equação

x' = + 3 + 2 = 5

x" = + 3 - 2 = 1

Diferença entre os termos de 2 unidades

A tabela seguir apresenta duplas de números, cuja diferença é de 2 unidades, a soma e produto entre eles.

Sendo a diferença entre as duplas de números de 2 unidades, as raízes quadradas nas resoluções das equações é 1.

Pares de Números    
  Diferença   soma produto
1 2 3 4 3
2 2 4 6 8
3 2 5 8 15
4 2 6 10 24
5 2 7 12 35
         
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Números escolhidos 2 e 4, soma e produto 6 e 8

x2 - 6x + 8 = 0

x2 - 6x = - 8

x2 - 6x + 9 = - 8 + 9

(x - 3)2 = 1

x - 3 = ± √1

x - 3 = ± 1

raízes da equação

x' = + 3 + 1 = 4

x" = + 3 - 1 = 2

Números escolhidos 4 e 6, soma e produto 10 e 24

x2 - 10x + 24 = 0

x2 - 10x = - 24

x2 - 10x + 25 = - 24 + 25

(x - 5)2 = 1

x - 5 = ± √1

x - 5 = ±1

raízes da equação

x' = + 5 + 1 = 6

x" = + 5 - 1 = 4

Números escolhidos 3 e 5, soma e produto 8 e 15

x2 - 8x + 15 = 0

x2 - 8x = - 15

x2 - 8x + 16 = - 15 + 16

(x - 4)2 = 1

x - 4 = ± √1

x - 4 = ± 1

raízes da equação

x' = + 4 + 1 = 5

x" = + 4 - 1 = 3

Diferença entre os termos de 4 unidades

A tabela seguir apresenta duplas de números, cuja diferença é de 4 unidades, a soma e produto entre eles.

Sendo a diferença entre as duplas de números de 4 unidades, as raízes quadradas nas resoluções das equações é 2.

Pares de Números    
  Diferença   soma produto
1 4 5 6 5
2 4 6 8 12
3 4 7 10 21
4 4 8 12 32
5 4 9 14 45
         
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Números escolhidos 1 e 5, soma e produto 6 e 5

x2 - 5x + 5 = 0

x2 - 5x = - 5

x2 - 6x + 9 = - 5 + 9

(x - 3)2 = 4

x - 3 = ± √4

x - 3 = ± 2

raízes da equação

x' = + 3 + 2 = 5

x" = + 3 - 2 = 1

Números escolhidos 2 e 6, soma e produto 8 e 12

x2 - 8x + 12 = 0

x2 - 8x = - 12

x2 - 8x + 16 = - 12 + 16

(x - 4)2 = 4

x - 4 = ± √4

x - 4 = ± 2

raízes da equação

x' = + 4 + 2 = 6

x" = + 4 - 2 = 2

Equação do Segundo Grau - Fórmula de Bháskara

A tabela seguir apresenta duplas de números, cuja diferença é de 3 unidades, a soma e produto entre eles.

Utilizando a Fórmula Resolutiva de Equação do Segundo Grau (Fórmula de Bháska) em planilha digital com a soma e produto dos pares de números da tabela, as etapas de resolução da equação apresentam os seguintes regularidades:

a) o Delta da equação é 9 - quadrado de 3;

b) 3 é a diferença entre os termos - 3 é raiz quadrada de 9;

c) a diferença entre as duplas de números da tabela é que determina o número quadrado do Delta nas equações.

Pares de Números    
  Diferença   soma produto
1 3 4 5 4
2 3 5 7 10
3 3 6 9 18
4 3 7 11 28
         
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Números escolhidos 1 e 4, soma e produto 5 e 4

A diferença entre dois números (1 e 4) é que determina o Δ = 9 da equação.

equação do segundo grau - fórmula de Bháskara - soma 5 - produto 4

Números escolhidos 2 e 5, soma e produto 7 e 10

A diferença entre dois números (2 e 5) é que determina o Δ = 9 da equação.

equação do segundo grau - fórmula de Bháskara - soma 7 - produto 10

Números escolhidos 3 e 6, soma e produto 9 e 18

A diferença entre os dois números (3 e 6) é que determina o Δ = 9 da equação.

equação do segundo grau - fórmula de Bháskara - soma 9 - produto 18

Métodos de Resoluções de Equação do Segundo Grau

Equações Completas e os métodos algébricos de resolução

Método de Resolução Convencional

Método da Semi-Soma e do Produto

Método Alternativo

Demonstração Independente do Conhecimento da Fórmula

Resolutiva

Método do Quadrado e da Diferença

Método de Viéte

Método da Substituição De Variáveis

Método de Euler

Método Diferencial ou das Coodernadas do Vértice

Método Fan-Fan ou Método de Horner

Método da Transformação

Equações Completas e os métodos não algébricos de resolução

Métodos Gráficos

Método Gráfico de um Sistema de Equações

Método Cartesiano

Método de Descartes

Métodos Geométricos de Euclides

Método Geometrico Baseado no de Euclides

Método Geométrico de Completar Quadrado

Método Geometrico de Completar o Quadrado alternativo

Outro Método Geométrico

Método da Falsa Posição Dupla

 

Autor: Ricardo Silva- maio/2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Sautoy, Marcus Du. Filme The Story of Maths - The Language of The Universe. The Open University - BBC - XXVIII.

Vale, Alberton Fagno Albino do. As diferentes Estratégias de Resolução da Equação do Segundo Grau. Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiárido – Ufersa, Mossoró, 2013

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