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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Quase-Quadrados Perfeitos - 262

Números Quase-Quadrados Perfeitos é uma sequência numérica em que cada termo é uma unidade menor que um número quadrado perfeito e a razão, isto é, a diferença entre seus termos são números ímpares.

A Sequência de Números Quase-Quadrados Perfeitos é originada a partir de quadrados formando retângulos de largura duas unidades maior que o seu lado.

Reconfigurando os retângulos em formatos de quadrados, observa-se que falta 1 área quadrada a ser completada para formar um quadrado perfeito.

números quase-quadrados perfeitos

Sequência de Números Quase-Quadrados Perfeitos

Tabulando dados referentes às medidas dos lados de figuras de quadrados com acréscimo de 2 unidades para se formar figuras de retângulos, formam-se retângulos cujas alturas e larguras são formados por sequências de números ímpares consecutivos e números pares consecutivos.

Efetuando-se:

a) a soma das medidas da altura e largura de um retângulo, obtem-se o seu semiperímetro;

b) o produto das medidas da altura pela largura de um retângulo, obtem-se a sua área.

A Sequência dos Números Quase-Quadrados Pefeitos é formada pelos produtos das medidas das alturas e larguras de retângulos que são números impares consecutivos ou pares consecutivos.

{3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120,...}

Interessante observar que a razão, isto é, a diferença entre termos da sequência de números quase-quadrados perfeitos formam a sequência de números ímpares...

3   8   15   24   35   48
  5   7   9   11   13  

...o mesmo ocorrendo com sequência dos números quadrados perfeitos.

1   4   9   16   25   36
  3   5   7   9   11  

Os números Quase-Quadrados Perfeitos também podem ser obtidos por meio da seguinte fórmula:

n2 - 1

12 - 1 = 0

22 - 1 = 3

32 - 1 = 8

Relações numéricas entre
quadrados e retângulos
           
Quadrado Retângulo  
        semi- quase-
lado altura largura área perímetro quadrados
          perfeitos
           
1 1 3 3 4 3
           
2 2 4 8 6 8
           
3 3 5 15 8 15
           
4 4 6 24 10 24
           
5 5 7 35 12 35
           
6 6 8 48 14 48
           
7 7 9 63 16 63
           
8 8 10 80 18 80
           
9 9 11 99 20 99
           
10 10 12 120 22 120
           
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Diferença entre Números Quase-Quadrados Perfeitos

Números Quase-Quadrados Perfeitos
   
   
quase- Diferença
quadrados números
perfeitos ímpares
   
3  
  5
8  
  7
15  
  9
24  
  11
35  
  13
48  
  15
63  
  17
80  
  19
99  
  21
120  
   
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Números Quase-Quadrados Perfeitos e Equação do Segundo Grau

Com duplas de números consecutivos ímpares ou pares relacionadas à figura geométrica de retângulo são possíveis de se formarem Equações do Segundo Grau.

Números 1 e 3

Método da Soma e Produto

Soma da raízes

1 + 3 = 4

Produto da raízes

1 x 3 = 3

Método da Equação Produto

(x-1).(x-3)

x2 - 3x - 1x + 3

x2 - 4x + 3 = 0

Equação do Segundo Grau e o Método de Completar Quadrados

i) o primeiro membro da equação não é trinônio quadrado perfeito

x2 - 4x + 3 = 0

ii)

desloca-se o termo independente "c" 3 para o segundo membro.

dividi-se o coeficiente 4 do termo "bx" por 2 e eleva-o ao quadrado (4/2)2, somando-o ao segundo membro para equilibrar a equação

x2 - 4x + 4 = - 3 + 4

iii)

fatora-se o primeiro membro em um quadrado da diferença (Produto Notável)

x2 - 4x + 4 = - 3 + 4

(x - 2)2 = 1

iv) extrai-se a raiz quadrada

x - 2 = ± √1

v)

raízes da equação

x' = 2 + 1 = 3

x'' = 2 - 1 = 1

Estudos deste processo de formação de Equação do Segundo Grau encontram-se publicados aqui no WebSite.

Veja matérias relacionadas

Autor: Ricardo Silva - junho/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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