Um número perfeito é um número cuja a soma dos seus divisores e excluindo o próprio número resulta no próprio número.
Neste estudo são analisados a decomposição em fatores primos de um número perfeito com os seus fatores primos.
1) 6
2) 28
3) 496
4) 8128
5) 33.550.336
6) 8.589.869.056
7) 137.438.691.328
6 é um número perfeito e também triangular, fazendo a decomposiçao em fatores primos temos:
Números Perfeito 6 | |||
---|---|---|---|
Fatores Primos | Divisores | ||
1 | |||
6 | 2 | 2 | |
3 | 3 | 3 | 6 |
1 |
D(6): 1, 2, 3, 6
A soma dos divisores excluído o próprio número:
1 + 2 + 3 = 6
Há um só fator primo de número 2.
Elevando-se o fator primo 2 à terceira potência (2x2x2=8) para igualar ou se aproximar do número perfeito 6, observamos as seguintes regularidades:
a) Subtraindo-se 6 de 8 (8 - 6 = 2), 2 é a diferença e a mesma potência na decomposição;
b) Multiplicando-se 2 por 2 (2 x 2 = 4), subtraindo 1 de 4 (4 - 1 = 3), a diferença 3 é o mesmo número que aparece como último fator na decomposição.
28 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:
Números Perfeito 28 | ||||
---|---|---|---|---|
Fatores Primos | Divisores | |||
1 | ||||
28 | 2 | 2 | ||
14 | 2 | 4 | ||
7 | 7 | 7 | 14 | 28 |
1 |
D(28): 1, 2, 4, 7, 14, 28
A soma dos divisores excluído o próprio número:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Há dois fatores primos de número 2.
Elevando-se o fator primo 2 à quinta potência (2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32) para igualar ou se aproximar do número perfeito 28, observamos as seguintes regularidades:
a) Subtraindo-se 32 de 28 (32 - 28 = 4), 4 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2 x 2 = 4);
b) Multiplicando-se 4 por 2 (4 x 2 = 8), subtraindo 1 de 8 (8 -1 = 7), a diferença 7 e mesmo número que aparece como último fator na decomposição.
486 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:
Números Perfeito 496 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Fatores Primos | Divisores | |||||
1 | ||||||
496 | 2 | 2 | ||||
248 | 2 | 4 | ||||
124 | 2 | 8 | ||||
62 | 2 | 16 | ||||
31 | 31 | 31 | 62 | 124 | 248 | 496 |
1 |
D(496): 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496
A soma dos divisores excluído o próprio número:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Há quatro fatores primos de número 2.
Elevando-se o fator primo 2 à nona potência (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512) para igualar ou se aproximar do número perfeito 496, observamos as seguintes regularidades:
a) Subtraindo-se 496 de 512 (512 - 496 = 16), 16 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2 x 2 x 2 x 2 = 16)
b) Multiplicando-se 16 por 2 (16 x 2 = 32), subtraindo 1 de 32 (32 - 1 = 31), a diferença 31 é mesmo número que aparece como último fator na decomposição.
8128 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:
Números Perfeito 8128 | ||||
---|---|---|---|---|
Fatores Primos | Divisores | |||
1 | ||||
8128 | 2 | |||
4064 | 2 | 4 | ||
2032 | 2 | 8 | ||
1016 | 2 | 16 | ||
508 | 2 | 32 | ||
254 | 2 | 64 | ||
127 | 127 | 127 | 254 | 508 |
1016 | 2032 | 4064 | ||
1 | 8128 |
D(8128): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128
A soma dos divisores excluído o próprio número:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128
Há seis fatores primos de número 2.
Elevando-se o fator primo 2 à décima terceira potência (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 8192) para igualar ou se aproximar do número perfeito 8128, observamos as seguintes regularidades:
a) Subtraindo-se 8128 de 8192 (8192-8128=64), 64 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64);
b) Multiplicando-se 64 por 2 (64 x 2 = 128), subtraindo 1 de 128 (128 - 1 = 127), a diferença 127 é mesmo número que aparece como último fator na decomposição.
33.550.336 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:
Números Perfeito 33.550.336 | |||
---|---|---|---|
Fatores | Divisores | ||
Primos | 1 | ||
33550336 | 2 | 2 | |
16775168 | 2 | 4 | |
8387584 | 2 | 8 | |
4193792 | 2 | 16 | |
2096896 | 2 | 32 | |
1048448 | 2 | 64 | |
524224 | 2 | 128 | |
262112 | 2 | 256 | |
131056 | 2 | 512 | |
65528 | 2 | 1024 | |
32764 | 2 | 2048 | |
16382 | 2 | 4096 | |
8191 | 8191 | 8191 | 16382 |
1 | 32764 | ||
131056 | |||
262112 | |||
1048448 | |||
2096896 | |||
4193792 | |||
8387584 | |||
16775168 | |||
33550336 |
D(33.550.336): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168, 33550336
A soma dos divisores excluído o próprio número:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64... + 8387584 +16775168 + 33550336 = 33.550.336
Há doze fatores primos de número 2. Elevando-se o fator primo 2 à vigésima quinta potência
a) Subtraindo-se 33.550.336 de 33.554.432 (33.554.432-33.550.336=4.096), 4.096 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 4.096)
b) Multiplicando-se 4.096 por 2 (4.096 x 2 = 8.192), subtraindo 1 de 8.192 (8.192 - 1= 8.191), a diferença 8.191 é mesmo número que aparece como último fator na decomposição.
A Diferença entre um número perfeito e uma potência de base 2 próxima a esse número perfeito é uma potência de base 2 na decomposição em fatores primos desse número perfeito.
Autor: Ricardo Silva
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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