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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números perfeitos e fatores primos - 038

Um número perfeito é um número cuja a soma dos seus divisores e excluindo o próprio número resulta no próprio número.

Neste estudo são analisados a decomposição em fatores primos de um número perfeito com os seus fatores primos.

1) 6

2) 28

3) 496

4) 8128

5) 33.550.336

6) 8.589.869.056

7) 137.438.691.328

 

O número perfeito 6

6 é um número perfeito e também triangular, fazendo a decomposiçao em fatores primos temos:

  Fatores Primos Divisores
    1  
6 2 2  
3 3 3 6
1      

Divisores de 6

D(6): 1, 2, 3, 6

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 3 = 6

Há um só fator primo de número 2.

Elevando-se o fator primo 2 à terceira potência (2x2x2=8) para igualar ou se aproximar do número perfeito 6, observamos as seguintes regularidades:

a) Subtraindo-se 6 de 8 (8 - 6 = 2), 2 é a diferença e a mesma potência na decomposição;

b) Multiplicando-se 2 por 2 (2 x 2 = 4), subtraindo 1 de 4 (4 - 1 = 3), a diferença 3 é o mesmo número que aparece como último fator na decomposição.

O número perfeito 28

28 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:

  Fatores Primos Divisores
    1    
28 2 2    
14 2 4    
7 7 7 14 28
1        

Divisores de 28

D(28): 1, 2, 4, 7, 14, 28

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Há dois fatores primos de número 2.

Elevando-se o fator primo 2 à quinta potência (2x2x2x2x2=32) para igualar ou se aproximar do número perfeito 28, observamos as seguintes regularidades:

a) Subtraindo-se 32 de 28 (32 - 28 = 4), 4 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2 x 2 = 4);

b) Multiplicando-se 4 por 2 (4 x 2 = 8), subtraindo 1 de 8 (8 -1 = 7), a diferença 7 e mesmo número que aparece como último fator na decomposição.

O número perfeito 496

486 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:

  Fatores Primos Divisores
    1        
496 2 2        
248 2 4        
124 2 8        
62 2 16        
31 31 31 62 124 248 496
1            

Divisores de 496

D(496): 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Há quatro fatores primos de número 2.

Elevando-se o fator primo 2 à nona potência (2x2x2x2x2x2x2x2x2=512) para igualar ou se aproximar do número perfeito 496, observamos as seguintes regularidades:

a) Subtraindo-se 496 de 512 (512 - 496 = 16), 16 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2x2x2x2=16)

b) Multiplicando-se 16 por 2 (16 x 2 = 32), subtraindo 1 de 32 (32 - 1 = 31), a diferença 31 é mesmo número que aparece como último fator na decomposição.

O número perfeito 8128

8128 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:

  Fatores Primos Divisores
         
    1    
8128 2      
4064 2 4
2032 2 8
1016 2 16
508 2 32    
254 2 64
127 127 127 254 508
  1016 2032 4064
1 8128

Divisores de 8128

D(8128): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128

Há seis fatores primos de número 2.

Elevando-se o fator primo 2 à décima terceira potência (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=8192) para igualar ou se aproximar do número perfeito 8128, observamos as seguintes regularidades:

a) Subtraindo-se 8128 de 8192 (8192-8128=64), 64 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2x2x2x2x2x2=64);

b) Multiplicando-se 64 por 2 (64 x 2 = 128), subtraindo 1 de 128 (128 - 1 = 127), a diferença 127 é mesmo número que aparece como último fator na decomposição.

O número perfeito 33.550.336

33.550.336 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:

  Fatores Divisores  
  Primos 1  
33550336 2 2
16775168 2 4
8387584 2 8
4193792 2 16
2096896 2 32
1048448 2 64
524224 2 128
262112 2 256
131056 2 512
65528 2 1024
32764 2 2048
16382 2 4096
8191 8191 8191 16382
1 32764
      131056
      262112
      1048448
      2096896
      4193792
      8387584
      16775168
      33550336

Divisores de 33.550.336

D(33.550.336): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168, 33550336

A soma dos divisores excluído o próprio número:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64... + 8387584 +16775168 + 33550336 = 33.550.336

Há doze fatores primos de número 2. Elevando-se o fator primo 2 à vigésima quinta potência (2x2x2x2x...2x2x2x2x2x2=33.554.432) para igualar ou se aproximar do número perfeito 33.550.336, observamos as seguintes regularidades:

a) Subtraindo-se 33.550.336 de 33.554.432 (33.554.432-33.550.336=4.096), 4.096 é a diferença e a mesma potência na decomposição (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=4.096)

b) Multiplicando-se 4.096 por 2 (4.096 x 2 = 8.192), subtraindo 1 de 8.192 (8.192 - 1= 8.191), a diferença 8.191 é mesmo número que aparece como último fator na decomposição.

Conclusão:

A Diferença entre um número perfeito e uma potência de base 2 próxima a esse número perfeito é uma potência de base 2 da decomposição em fatores primos desse número perfeito.

Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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