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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Decomposição de um número por meio da subtração da soma dos seus algarimos - 114

Escolhendo-se qualquer número e subtraindo sempre a soma dos seus algarismos da sua diferença, o resultado será um número múltiplo de 3 e de 9, método este semelhante ao algoritmo da decomposição em fatores primos.

Propriedade válida para qualquer sequência numérica como: números naturais, números pares, números ímpares, números quadrados perfeitos, etc.

Decomposição em fatores primos

Pode-se utilizar a decomposição em fatores primos para:

a) achar a raiz quadrada, por exemplo:36;

36 2    
18 2    
9 3    
3 3    
1      
       

36

= 2² . 3²

=2.3

=6

b) descobrir quais são os divisores de um número, por exemplo: 60;

      1          
60 2   2          
30 2   4          
15 3   3 6 12      
5 5   5 10 20 15 30 60
1                
                 

D (60): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

c) descobrir quantos são os divisores de um número, por exemplo: 60;

             
60 2          
30 2          
15 3          
5 5          
1            
             

60 = 2² . 3¹ . 5¹ separe os expoentes e some 1 a cada um deles:

(2+1) . (1+1) . (1+1) =

= 3 . 2 . 2 = 12

60 tem 12 divisores

d) determinar o MMC (mínimo múltiplo comum) entre dois ou mais números; mmc (12, 18)

             
12 18   2      
6 9   2      
3 9   3      
1 3   3      
1            
             

2² . 3² 4 . 9 = 36

mmc (12, 18) = 36

e) determinar o MDC (máximo divisor comum) entre dois ou mais números; mdc (35, 21)

             
21 35   3      
7 35   5      
7 7   7   fator comum
1            
             
             

mdc (21, 35) = 7

Subtração da soma dos algarismos de um número

Subtraindo-se a soma dos algarismos de um número composto ou primo, o número resultante é divisível tanto 9 quanto por 3.

Exemplo 2a)

88 (número composto) soma dos algarismos: 8 + 8 =16

88 - 16 = 72

72 é um número divisível tanto por 9 quanto por 3, pois a soma dos seus algarismos é (7 + 2 = 9)

Exemplo 2b)

78 (número composto) soma dos algarismo: 7 + 8 = 15

78 - 15 = 63

63 é um número divisível tanto por 9 quanto por 3, pois a soma dos seus algarismos é (6 +3 = 9)

Exemplo 2c)

101 (número primo) soma dos algarsimos: 1 + 0 + 1 = 2

101 - 2 = 99

99 é um número divisível tanto por 9 quanto por 3, pois a soma dos seus algarismos é (9 +9 = 18)

Subtração simultânea da soma dos algarismos de um número

Subtraindo-se a soma dos algarismos de um número composto ou primo sucessivamente, o número resultante é o número 9.

Exemplo 3a)

86 (número composto) 8 + 6 = 14 (soma dos algarismos)

86 - 14 = 72

72 (número composto) - divisível tanto por 9 quanto por 3

7 + 2 = 9 (soma dos algarismos)

72 - 9 = 63 63 (número composto) - divisível tanto por 9 quanto por 3

6 + 3 = 9 (soma dos algarismos)

63 - 9 = 54

54 (número composto) - divisível tanto por 9 quanto por 3

5 + 4 = 9 (soma dos algarismos)

54 - 9 = 45

45 (número composto) - divisível tanto por 9 quanto por 3

4 + 5 = 9 (soma dos algarismos)

45 - 9 = 36

36 (número composto) - divisível tanto por 9 quanto por 3

3 + 6 = 9 (soma dos algarismos)

36 - 9 = 27

27 (número composto) - divisível tanto por 9 quanto por 3

2 + 7 = 9 (soma dos algarismos)

27 - 9 = 18

18 (número composto) - divisível tanto por 9 quanto por 3

1 + 8 = 9 (soma dos algarismos) 18 - 9 = 9

9 é o número resultante

Exemplo 3b)

73 (número primo)

Número
 
soma dos algarismos
 
diferença
 
 
73
-
10
=
63
 
 
63
-
9
=
54
 
 
54
 
9
=
45
 
 
45
-
9
=
36
 
 
36
-
9
=
27
 
 
27
-
9
=
18
 
 
18
-
9
=
9
 
 

o número resultante é 9

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2015

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