Números Quadrados Perfeitos são números gerados pela multiplicação de um número por ele mesmo ou elevando-o à potência 2 e que extraída a sua raiz quadrada, o resultado é um número inteiro.
Exemplos:
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
1² = 1
2² = 4
3² = 9
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
O presente estudo demonstra regularidades numéricas relacionados aos números quadrados perfeitos ímpares em relação às suas ordens / posições na sequência de números ímpares.
As ordens / posições atual e anterior fazem partes de termos de ternos pitagóricos primitivos de seus números quadrados perfeitos ímpares.
A tabela a seguir apresenta os 7 primeiros quadrados perfeitos ímpares.
Ordenando naturalmente a sequência de números ímpares com a sequência de números naturais, nota-se que números quadrados perfeitos ímpares se posicionam em ordens / posições também de números ímpares (células laranjas).
Exemplos:
O quadrado perfeito 1 está na primeira posição;
O quadrado perfeito 9 está na quinta posição;
O quadrado perfeito 25 está na décima terceira posição e assim sucessivamente.
Determinadas somas de números quadrados perfeitos ímpares com suas respectivas ordens / posições, quando divididas por 2, tem como resultados números primos.
| Números Quadrados Perfeitos Impares | ||||
| de ordens / posição ímpares | ||||
| ordem / | número | soma | metade | número |
| posição | quadrado ímpar | primo | ||
| 1 | 1 | 2 | 1 | não |
| 2 | 3 | 5 | 2,5 | |
| 3 | 5 | 8 | 4 | |
| 4 | 7 | 11 | 5,5 | |
| 5 | 9 | 14 | 7 | primo |
| 6 | 11 | 17 | 8,5 | |
| 7 | 13 | 20 | 10 | |
| 8 | 15 | 23 | 11,5 | |
| 9 | 17 | 26 | 13 | |
| 10 | 19 | 29 | 14,5 | |
| 11 | 21 | 32 | 16 | |
| 12 | 23 | 35 | 17,5 | |
| 13 | 25 | 38 | 19 | primo |
| 14 | 27 | 41 | 20,5 | |
| 15 | 29 | 44 | 22 | |
| 16 | 31 | 47 | 23,5 | |
| 17 | 33 | 50 | 25 | |
| 18 | 35 | 53 | 26,5 | |
| 19 | 37 | 56 | 28 | |
| 20 | 39 | 59 | 29,5 | |
| 21 | 41 | 62 | 31 | |
| 22 | 43 | 65 | 32,5 | |
| 23 | 45 | 68 | 34 | |
| 24 | 47 | 71 | 35,5 | |
| 25 | 49 | 74 | 37 | primo |
| 26 | 51 | 77 | 38,5 | |
| 27 | 53 | 80 | 40 | |
| 28 | 55 | 83 | 41,5 | |
| 29 | 57 | 86 | 43 | |
| 30 | 59 | 89 | 44,5 | |
| 31 | 61 | 92 | 46 | |
| 32 | 63 | 95 | 47,5 | |
| 33 | 65 | 98 | 49 | |
| 34 | 67 | 101 | 50,5 | |
| 35 | 69 | 104 | 52 | |
| 36 | 71 | 107 | 53,5 | |
| 37 | 73 | 110 | 55 | |
| 38 | 75 | 113 | 56,5 | |
| 39 | 77 | 116 | 58 | |
| 40 | 79 | 119 | 59,5 | |
| 41 | 81 | 122 | 61 | primo |
| 42 | 83 | 125 | 62,5 | |
| 43 | 85 | 128 | 64 | |
| 44 | 87 | 131 | 65,5 | |
| 45 | 89 | 134 | 67 | |
| 46 | 91 | 137 | 68,5 | |
| 47 | 93 | 140 | 70 | |
| 48 | 95 | 143 | 71,5 | |
| 49 | 97 | 146 | 73 | |
| 50 | 99 | 149 | 74,5 | |
| 51 | 101 | 152 | 76 | |
| 52 | 103 | 155 | 77,5 | |
| 53 | 105 | 158 | 79 | |
| 54 | 107 | 161 | 80,5 | |
| 55 | 109 | 164 | 82 | |
| 56 | 111 | 167 | 83,5 | |
| 57 | 113 | 170 | 85 | |
| 58 | 115 | 173 | 86,5 | |
| 59 | 117 | 176 | 88 | |
| 60 | 119 | 179 | 89,5 | |
| 61 | 121 | 182 | 91 | não |
| 62 | 123 | 185 | 92,5 | |
| 63 | 125 | 188 | 94 | |
| 64 | 127 | 191 | 95,5 | |
| 65 | 129 | 194 | 97 | |
| 66 | 131 | 197 | 98,5 | |
| 67 | 133 | 200 | 100 | |
| 68 | 135 | 203 | 101,5 | |
| 69 | 137 | 206 | 103 | |
| 70 | 139 | 209 | 104,5 | |
| 71 | 141 | 212 | 106 | |
| 72 | 143 | 215 | 107,5 | |
| 73 | 145 | 218 | 109 | |
| 74 | 147 | 221 | 110,5 | |
| 75 | 149 | 224 | 112 | |
| 76 | 151 | 227 | 113,5 | |
| 77 | 153 | 230 | 115 | |
| 78 | 155 | 233 | 116,5 | |
| 79 | 157 | 236 | 118 | |
| 80 | 159 | 239 | 119,5 | |
| 81 | 161 | 242 | 121 | |
| 82 | 163 | 245 | 122,5 | |
| 83 | 165 | 248 | 124 | |
| 84 | 167 | 251 | 125,5 | |
| 85 | 169 | 254 | 127 | primo |
| 86 | 171 | 257 | 128,5 | |
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O número quadrado perfeito 9 tem ordem / posição 5.
O número quadrado perfeito 9 é o único quadrado se relaciona com os todos os números das ordens / posições 3, 4 e 5.
3-4-5 é o único Terno Pitagórico Primitivo formado por 3 números consecutivos.
O primeiro termo 3 é a raiz quadrada de 9.
O segundo termo 4 somado com terceiro termo 5 tem como resultado 9.
A ordem / posição 5 somada com o quadrado 9 tem como resultado 14.
14 é o dobro do número primo 7.
| ordem / | número | soma | metade | número |
| posição | quadrado ímpar | primo | ||
| 3 | ||||
| 4 | ||||
| 5 | 9 | 14 | 7 | primo |
O número quadrado perfeito 25 tem ordem / posição 13.
O número quadrado perfeito 25 se relaciona com os números das ordens / posições 12 e 13.
Os números 12 e 13 se referem aos termos segundo e terceiro do Terno Pitagorico Primitivo 5-12-13.
A soma das ordens / posições 12 e 13 é igual ao quadrado 25.
25 menos 12 unidades é igual a 13.
25 menos 13 unidades é igual a 12.
A ordem / posição 13 somada com o quadrado 25 tem como resultado 38.
38 é o dobro do número primo 19.
| ordem / | número | soma | metade | número |
| posição | quadrado ímpar | primo | ||
| 12 | ||||
| 13 | 25 | 38 | 19 | primo |
O número quadrado perfeito 49 tem ordem / posição 25.
O número quadrado perfeito 49 se relaciona com os números das ordens / posições 24 e 25.
Os números 24 e 25 se referem aos termos segundo e terceiro do Terno Pitagorico Primitivo 7-24-25.
A soma das ordens / posições 24 e 25 é igual ao quadrado 49.
49 menos 25 unidades é igual a 24.
49 menos 24 unidades é igual a 25.
A ordem / posição 25 somada com o quadrado 49 tem como resultado 74.
74 é o dobro do número primo 37.
| ordem / | número | soma | metade | número |
| posição | quadrado ímpar | primo | ||
| 24 | ||||
| 25 | 49 | 74 | 37 | primo |
Autor: Ricardo Silva - junho/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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