Euclides de Alexandria, em sua obra, Os Elementos, Livro IX, proprosição 36, demonstra que a partir da unidade (número 1), duplicando e somando consecutivamente os termos, até que se encontre um número primo, e este primo multiplicado pela última parcela da soma, então o produto é um número perfeito.
Fórmula de Euclides em notação moderna é:
| 2^n-1 [ ( 2^n ) - 1 ] |
Euclides estava se referindo às somas de potências de base 2 consecutivas:
a) 1 + 2 = 3 (número primo)
3 x 2 = 6
6 é um número perfeito
b) 1 + 2 + 4 = 7 (número primo)
7 x 4 = 28
28 é um número perfeito
c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (número primo)
31 x 16 = 496
496 é um número perfeito
O presente estudo demonstra a aplicação da Proposição 36, do IX livro, de Os Elementos, à somas de potências consecutivas cujas bases diferem da base 2.
As somas de potências de base 2 consecutivas têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos.
A soma de potências de base 2 consecutivas apresenta o mesmo resultado da soma de divisores próprios de cada potência de base 2.
Observação importante: somas de potências de base 2 consecutivas também são denominadas de Números de Mersenne / Números Quase-Potências de base 2, por apresentarem uma caracteristica especial, de que as somas dos divisores próprios serem 1 unidade menor que cada uma de suas potências.
1 + 2 = 3 (primo)
1 + 2 + 4 = 7 (primo)
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (primo)
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 (primo)
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1.023
A soma das 2 primeiras potências de base 2 consecutivas tem como resultado 3 (número primo).
1 + 2 = 3 (primo)
O produto de 3 (primo) pela última parcela da soma (potência de 2) tem como resultado 6 (número perfeito).
3 x 2 = 6
A multiplicação de cada parcela pela soma 3 (primo) têm como resultados múltiplos de 3, como também, os divisores do número perfeito 6.
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
D(6): {1, 2, 3, 6}
Interessante observar que:
a) 4 são os divisores de 6;
b) 2 divisores são potências de base 2.
c) 2 divisores são múltiplos do primo 3.
A soma das 3 primeiras potências de base 2 consecutivas tem como resultado 7 (número primo).
1 + 2 + 4 = 7 (primo)
O produto de 7 (primo) pela última parcela da soma (potência de 2) tem como resultado 28 (número perfeito).
7 x 4 = 28
A multiplicação de cada parcela pela soma 7 (primo) têm como resultados múltiplos de 7, como também, os divisores do número perfeito 28.
1 x 7 = 7
2 x 7 = 14
4 x 7 = 28
D(28): {1, 2, 4, 7, 14, 28}
Interessante observar que:
a) 6 são os divisores de 28;
b) 3 divisores são potências de base 2.
c) 3 divisores são múltiplos do primo 7.
As somas de potências consecutivas de base 3 têm como resultados números pares e ímpares e, entre eles, números primos.
1 + 3 = 4 (composto)
1 + 3 + 9 = 13 (primo)
1 + 3 + 9 + 27 = 40 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 (quadrado)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1.093 (primo)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 = 3.280 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 + 6.561 = 9.841 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 + 6.561 + 19683 + 59049 + 177147 + 531441 = 797161 (primo)
A soma das 3 primeiras potências de base 3 consecutivas tem como resultado 13 (número primo).
1 + 3 + 9 = 13 (primo)
O produto de 13 (primo) pela última parcela da soma (potência de 3) tem como resultado 117 (número composto).
13 x 9 = 117
A multiplicação de cada parcela pela soma 13 (primo) têm como resultados múltiplos de 13, como também, os divisores do número composto 117 que são, respectivamente, os primeiros fatores e os produtos das multiplicações,
1 x 13 = 13
3 x 13 = 39
9 x 13 = 117
D(28): {1, 3, 9, 13, 39, 117}
Interessante observar que:
a) 6 são os divisores de 117;
b) 3 divisores são potências de base 3.
c) 3 divisores são múltiplos do primo 13.
A soma das 7 primeiras potências de base 3 consecutivas tem como resultado 1093 (número primo).
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1.093 (primo)
O produto de 1093 (primo) pela última parcela da soma (potência de 3) tem como resultado 796.797 (número composto).
1093 x 729 = 796797
A multiplicação de cada parcela pela soma 1093 (primo) têm como resultados múltiplos de 1093, como também, os divisores do número composto 796.797 que são, respectivamente, os primeiros fatores e os produtos das multiplicações.
1 x 1093 = 1093
3 x 1093 = 3279
9 x 1093 = 9837
27 x 1093 = 29511
81 x 1093 = 88533
243 x 1093 = 265599
729 x 1093 = 796797
D(796797): {1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 1093, 3279, 9837, 29511, 88533, 265599, 796797}
Interessante observar que:
a) 14 são os divisores de 796797;
b) 7 divisores são potências de base 3.
c) 7 divisores são múltiplos do primo 1093.
As somas de potências de base 5 consecutivas têm como resultados números pares e ímpares e, entre eles, números primos.
1 + 5 = 6
1 + 5 + 25 = 31 (primo)
1 + 5 + 25 + 125 = 156
1 + 5 + 25 + 125 + 625 = 781
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 = 3.906
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 = 19.531 (primo)
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 + 78.125 = 97.656
A soma das 3 primeiras potências de base 5 consecutivas tem como resultado 31 (número primo).
1 + 5 + 25 = 31 (primo)
O produto de 31 (primo) pela última parcela da soma (potência de 5) tem como resultado 775 (número composto).
31 x 25 = 775
A multiplicação de cada parcela pela soma 31 (primo) têm como resultados múltiplos de 31, como também, os divisores do número composto 775 que são, respectivamente, os primeiros fatores e os produtos das multiplicações.
1 x 31 = 31
5 x 31 = 155
25 x 31 = 775
D(775): {1, 5, 25, 31, 155, 775}
Interessante observar que:
a) 6 são os divisores de 775;
b) 3 divisores são potências de base 5.
c) 3 divisores são múltiplos do primo 31.
As somas de potências de base 7 consecutivas têm como resultados números pares e ímpares e, entre eles, números primos.
1 + 7 = 8
1 + 7 + 49 = 57
1 + 7 + 49 + 343 = 400
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801 (primo)
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19608
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 + 117649 = 137257
A soma das 5 primeiras potências de base 7 consecutivas tem como resultado 2801 (número primo).
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801 (primo)
O produto de 2801 (primo) pela última parcela da soma (potência de 7) tem como resultado 6725201 (número composto).
2801 x 2401 = 6725201
A multiplicação de cada parcela pela soma 2801 (primo) têm como resultados múltiplos de 2801, como também, os divisores do número composto 6725201 que são, respectivamente, os primeiros fatores e os produtos das multiplicações.
1 x 2801 = 2801
7 x 2801 = 19607
49 x 2801 = 137249
343 x 2801 = 960743
2401 x 2801 = 6725201
D(6725201): {1, 7, 49, 343, 2401, 2801, 19607, 137249, 960743, 6725201}
10 são os divisores de 6725201.
5 divisores são potências de base 7.
5 divisores são múltiplos do primo 2801.
O algoritmo da decomposição de um número natural em fatores primos é um importante método com o qual é possível saber os divisores e a quantidades de divisores de um número natural, bem como, extrair a raiz quadrada, cúbica, etc. e, ainda, saber o mmc (mínimo mútiplo comum) e o mdc (máximo divisor comum) de dois ou mais números.
Os exemplos aqui expostos demonstram que a Proposição 36, do IX Livro, de os Elementos, também se aplicam às somas de potências de bases que diferem da base 2 e cujas somas são números primos.
Somas de potências em que as bases diferem da base 2 e são números primos, e estes primos multiplicados por estas somas têm como produtos, divisores cujas características são semelhantes a divisores de números perfeitos.
Autor: Ricardo Silva e Ari Costa - dezembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
