Potências de número natural são números que são produtos de um mesmo número natural (base) tantas vezes que se queira multiplicá-lo.
Potências de um número natural possui uma propriedade matématica exclusiva, que ao ser decomposta em fatores primos, o único fator primo resultante é a própria base que gerou essa potência.
Foi por meio de somas de potências de base 2 consecutivas é que os antigos estudiosos gregos descobriram que poderiam obter números perfeitos.
O presente estudo demonstra que a proprosição 36 do IX Livro, de Os Elementos, de Euclides de Alexandria, também pode ser aplicada à potências de outras bases.
Somas de potências consecutivas cuja base difere da base 2 e que os resultados são também números primos, apresentam propriedades matemáticas semelhantes quanto às quantidades de divisores dos produtos dessas potências com números primos.
As 11 primeiras potências de base 2:
20 = 1
21 = 2
22 = 2 x 2 = 4
23 = 2 x 2 x 2 = 8
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512
210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024
A soma de potências de base 2 consecutivas têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos.
A soma de potências de base 2 consecutivas apresenta o mesmo resultado da soma de divisores próprios de cada potência de base 2.
Observação importante: somas de potências de base 2 consecutivas também são denominadas de Números de Mersenne / Números Quase-Potências de base 2, por apresentarem uma caracteristica especial, de que as somas dos divisores próprios serem 1 unidade menor que cada uma de suas potências.
1 + 2 = 3 (primo)
1 + 2 + 4 = 7 (primo)
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (primo)
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 (primo)
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1.023
1 + 2 + 4 = 7
Podemos também obter a soma 7 através do seguinte método:
Potência posterior subtraída 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 1.
| 23 - 1 |
| _____ |
| 1 |
| 8 - 1 |
| _____ |
| 1 |
| 7 |
| ___ |
| 1 |
| 7 |
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Euclides de Alexandria, em sua obra, Os Elementos, Livro IX, proprosição 36, já havia demonstrado que a partir da unidade (número 1), duplicando e somando consecutivamente os termos, até que se encontre um número primo, e este primo multiplicado pela última parcela da soma, então o produto é um número perfeito.
Fórmula de Euclides em notação moderna é:
| 2^n-1 [ ( 2^n ) - 1 ] |
Euclides estava se referindo às somas de potências de base 2 consecutivas:
a) 1 + 2 = 3 (número primo)
3 x 2 = 6
6 é um número perfeito
b) 1 + 2 + 4 = 7 (número primo)
7 x 4 = 28
28 é um número perfeito
c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (número primo)
31 x 16 = 496
496 é um número perfeito
1) 6
2) 28
3) 496
4) 8128
5) 33.550.336
6) 8.589.869.056
7) 137.438.691.328
8) 2.305.843.008.139.952.128
9) 2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176
10) 191.561.942.
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No livro digital Números Perfeitos e Sequências numéricas é apresentado a seguinte propriedade:
"Os divisores dos números perfeitos apresentam regularidades em
suas quantidades; metade são potências de base 2; e a outra metade o
dobro, do dobro, do dobro, ... de números primos."
Os dois termos centrais dos divisores são fatores que determinam um número perfeito, isto é, o produto de uma potência de base 2 por um número primo."
| Números Perfeitos | |
| e quantidades de divisores | |
| número perfeito 6 | |
| 2 divisores | 2 divisores |
| 1, 2, | 3, 6 |
| número perfeito 28 | |
| 3 divisores | 3 divisores |
| 1, 2, 4, | 7, 14, 28 |
| número perfeito 496 | |
| 5 divisores | 5 divisores |
| 1, 2, 4, 8, 16, | 31, 62, 124, 248, 496 |
| número perfeito 8128 | |
| 7 divisores | 7 divisores |
| 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 | 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128 |
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Potências de base 3
As 11 primeiras potências de base 3:
30 = 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2.187
38 = 6.561
39 = 19.683
310 = 59.049
A soma de potências consecutivas de base 3 têm como resultados números pares e ímpares e, entre eles, números primos.
1 + 3 = 4 (composto)
1 + 3 + 9 = 13 (primo)
1 + 3 + 9 + 27 = 40 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 (quadrado)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1.093 (primo)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 = 3.280 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 + 6.561 = 9.841 (composto)
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 + 6.561 + 19683 + 59049 + 177147 + 531441 = 797161 (primo)
1 + 3 + 9 = 13
Podemos também obter a soma 13 através do seguinte método:
Potência posterior subtraída 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 2.
| 33 - 1 |
| _____ |
| 2 |
| 27 - 1 |
| _____ |
| 2 |
| 26 |
| _____ |
| 2 |
| 13 |
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Utilizando-se do Método de Euclides, multiplicou-se a soma de potências de base 3 consecutivas pela última parcela da soma de potências de base 3 consecutivas:
a) 4 x 3 = 12
b) 13 (primo) x 9 = 117
c) 40 x 27 = 1080
d) 121 x 81 = 9801
e) 364 x 243 = 88452
f) 1093 (primo) x 729 = 796797
g) 797161 (primo) x 531441 = 423644039001
| Múltiplos de Potências de Base 3 | |
| e quantidade de divisores | |
| número 12 | |
| 6 divisores | |
| 1, 2, 3, 4, 6, 12 | |
| número 117 | |
| 3 divisores | 3 divisores |
| 1, 3, 9, | 13, 39, 117 |
| número 1080 | |
| 32 divisores | |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 27, 3036, 40, 45, 54, 60, 72, 90, 108, 120, 135, 180, 216, 270, 360, 540, 1080 | |
| número 9801 | |
| 15 divisores | |
| 1, 3, 9, 11, 27, 33, 81, 99, 121, 297, 363, 891, 1089, 3267,9801 | |
| número 88452 | |
| 72 divisores | |
| número 796797 | |
| 7 divisores | 7 divisores |
| 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 | 1093, 3279, 9837, 29511, 88533, 265599, 796797 |
| número 423644039001 | |
| 13 divisores | 13 divisores |
| 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561,19683, 59049, 177147, 531441 | 797161, 2391483, 7174449, 21523347, 64570041, 193710123, 581130369, 1743391107, 5230173321, 15690519963, 47071559889, 141214679667, 423644039001 |
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Os produtos (117, 796797 e 423644039001) cujos fatores são números primos e potências de base 3 possuem quantidades de divisores cujas metades são potências de base 3 e múltiplos de números primos.
13 (primo) x 9 (potência de 3) = 117
D(117): {1, 3, 9, 13, 39, 117}
6 são os divisores de 117.
3 divisores são potências de base 3.
3 divisores são múltiplos do primo 13.
A soma das 3 primeiras potências de base 3 é a raiz quadrada da soma de 3 múltiplos de 13.
1 + 3 + 9 = 13
A soma de 3 multiplos de 13 é o quadrado perfeito da soma das 3 primeiras potências de base 3.
13 + 39 + 117 = 169
Observação: os múltiplos de 13 formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 13 e razão 3.
1093 (primo) x 729 (potência de 3) = 796.797
D(796797): {1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 1093, 3279, 9837, 29511, 88533, 265599, 796797}
14 são os divisores de 796797.
7 divisores são potências de base 3.
7 divisores são múltiplos do primo 1093.
A soma das 7 primeiras potências de base 3 é a raiz quadrada da soma dos 7 múltiplos de 1093.
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093
A soma dos múltiplos do primo 1093 é o quadrado perfeito da soma das 7 primeiras potências de base 3.
1093 + 3279 + 9837 + 29511 + 88533 + 265599 + 796797 = 1.194.649
Observação: os múltiplos de 1093 formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 1093 e razão 3.
797161 (primo) x 531441 (potência de 3) = 423.644.039.001
D(423644039001): {1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561,19683, 59049, 177147, 531441, 797161, 2391483, 7174449, 21523347, 64570041, 193710123, 581130369, 1743391107, 5230173321, 15690519963, 47071559889, 141214679667, 423644039001}
26 são os divisores de 423644039001.
13 divisores são potências de base 3.
13 divisores são múltiplos do primo 797161.
A soma das 13 primeiras potências de base 3 é a raiz quadrada da soma dos 13 múltiplos de 797161.
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 + 6561 + 19683 + 59049 + 177147 + 531441 = 797.161
A soma dos múltiplos do primo 797161 é o quadrado perfeito da soma das 13 primeiras potências de base 3.
797161 + 2391483 + 7174449 + 21523347 + 64570041, 193710123 + 581130369 + 1743391107 + 5230173321, 15690519963 + 47071559889 + 141214679667, 423644039001 = 635.465.659.921
Observação: os múltiplos de 797161 formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 797161 e razão 3.
Potências de base 5
As 11 primeiras potências de base 5:
50 = 1
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
55 = 3.125
56 = 15.625
57 = 78.125
58 = 390.625
59 = 1.953.125
510 = 9.765.625
A soma de potências de base 5 consecutivas têm como resultados números pares e ímpares e, entre eles, números primos.
1 + 5 = 6
1 + 5 + 25 = 31 (primo)
1 + 5 + 25 + 125 = 156
1 + 5 + 25 + 125 + 625 = 781
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 = 3.906
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 = 19.531 (primo)
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 + 78.125 = 97.656
31 (primo) x 25 (potência de 5) = 775
D(775): {1, 5, 25, 31, 155, 775}
6 são os divisores de 775.
3 divisores são potências de base 5.
3 divisores são múltiplos do primo 31.
A soma das 3 primeiras potências de base 5 é a raiz quadrada da soma de múltiplos de 31.
1 + 5 + 25 = 31
A soma dos múltiplos de 31 é o quadrado perfeito da soma das 3 primeiras potências de base 5.
31 + 155 + 775 = 961
Observação: os múltiplos de 31 formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 31 e razão 5.
19.531 (primo) x 15.625 (potência de 5) = 305.171.875
D(305171875): {1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 19531, 97655, 488275, 2441375, 12206875, 61034375, 305171875}
14 são os divisores de 305171875.
7 divisores são potências de base 5.
7 divisores são múltiplos do primo 19.531.
A soma das 7 primeiras potências de base 5 é a raiz quadrada da soma de múltiplos de 19.531.
1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 = 19.531
A soma dos múltiplos de 19531 é o quadrado perfeito da soma das 7 primeiras potências de base 5.
19531 + 97655 + 488275 + 2441375 + 12206875, 61034375 + 305171875 = 381.459.961
Observação: os múltiplos de 19531 formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 19531 e razão 5.
Potências de base 7
As 11 primeiras potências de base 7
70 = 1
71 = 7
72 = 49
73 = 343
74 = 2401
75 = 16807
76 = 117649
77 = 823543
78 = 5764801
79 = 40353607
710 = 282475249
A soma de potências de base 7 consecutivas têm como resultados números pares e ímpares e, entre eles, números primos.
1 + 7 = 8
1 + 7 + 49 = 57
1 + 7 + 49 + 343 = 400
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801 (primo)
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19608
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 + 117649 = 137257
2801 (primo) x 2401 (potência de 7) = 6.725.201
D(6725201): {1, 7, 49, 343, 2401, 2801, 19607, 137249, 960743, 6725201}
10 são os divisores de 6725201.
5 divisores são potências de base 7.
5 divisores são múltiplos do primo 2801.
A soma das 5 primeiras potências de base 7 é a raiz quadrada da soma de múltiplos de 2801.
1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801
A soma dos múltiplos de 2801 é o quadrado perfeito da soma das 7 primeiras potências de base 7.
2801 + 19607 + 137249 + 960743 + 6725201 = 7845601
Observação: os múltiplos de 2801 formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 2801 e razão 7.
A soma de potências consecutivas de um número natural sendo um número primo e, este múltiplicado pela última parcela da soma, tem como resultado um produto cuja quantidade de divisores são formadas por 2 conjuntos de divisores: uma metade por potências desse número natural e a outra metade por múltiplos desse número primo.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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