Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números de Mersenne e Raízes e Quadrados Perfeitos - 515

Os antigos estudiosos gregos descobriram diversas propriedades geométricas e matemáticas relacionadas aos números.

Descobriram que juntando-se certas quantidades pedrinhas, umas formavam linhas e outras figuras de triângulos, retângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc., dando origem a números como:

a) triangulares;

b) retangulares;

c) quadrados

d) pentagonais, etc...

Descobriram também que determinados números possuiam quantidades de divisores que os diferenciavam uns dos outros, dando origem a números como:

a) Números Primos;

b) Números Compostos;

c) Números Perfeitos;

d) Números Quase Perfeitos;

e) Números Deficientes;

f) Números Abundantes, etc.

O presente estudo demonstra que os divisores de Números Perfeitos são formados por duas sequências numéricas distintas: uma formada por potências de base 2 e outra formada por progressão geométrica de Números de Mersenne, de tal forma, que a soma da primeira progressão geométrica é raiz quadrada da soma da segunda progressão geométrica.

Números Perfeitos

Número Perfeito é um número cuja soma dos seus divisores próprios, exceto o próprio número, tem como resultado esse mesmo número.

Número Perfeito 6

D(6): {1, 2, 3, 6}

soma dos divisores próprios de 6

1 + 2 + 3 = 6

Número Perfeito 28

D(28): {1, 2, 4, 7, 14, 28}

soma dos divisores próprios de 28

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Número Perfeito 496

D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

soma dos divisores próprios de 496

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Número perfeito 8128

D(8128): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128}

soma dos divisores próprios de 8.128

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8.128

Soma de números naturais consecutivos

A soma de números naturais consecutivos, inciando-se a partir de 1, têm como resultados números triangulares e, entre eles, números perfeitos.

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...+ 16 + … + 31 = 496

d) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 64 + … + 127 = 8.128

Interessante observar que em cada sequência:

a) o termo central é uma potência de base 2;

b) o termo final é um número primo (Número de Mersenne / Número Quase-Potência de Base 2).

c) o produto do termo central pelo termo final têm como resultado a soma de cada sequência;

d) a soma de cada sequência é mútiplo dos termos central e final.

As somas de números naturais consecutivos formam Progressões Aritméticas cujo primeiro termo e razão é igual a 1.

Fórmula da Soma de Progressão Aritmética

Por meio da fórmula a seguir, pode-se determinar a soma de n termos de uma Progressão Aritmética (PA).

onde:

a1 - primeiro termo

an - último termo

n - quantidade de termos

Sn - soma do termos

Soma de potências de base 2

A soma de potências de base 2 consecutivas têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos.

Sendo a soma de potências de base 2 consecutivas um número primo, e este multiplicado pelo último termo, o produto é um número perfeito.

a) 1

b) 1 + 2 = 3

3 x 2 = 6

c) 1 + 2 + 4 = 7

7 x 4 = 28

d) 1 + 2 + 4 + 8 = 15

e) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

31 x 16 = 496

f) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

g) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

127 x 64 = 8.128

Fórmula dos Números Perfeitos

Os exemplos acima podem ser verificados por meio da seguinte Fórmula:

deduzidas da proposição 36 do livro IX de Os Elementos de Euclides de Alexandria:

“Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.

Números de Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648) foi um padre mínimo, teólogo, matemático, teórico musical, e filósofo francês. Ficou conhecido sobretudo pelo seu estudo dos chamados primos de Mersenne, números na forma de:

onde o expoente é um número primo.

Em 1644, Mersenne publicou o trabalho Cogita physico-mathematica, onde afirmou que estes números eram primos para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257 e compostos para p>257

Posteriormente com Computadores e Softwares Matemáticos foi possível verificar que M61 é primo, M67 é composto, M89 é primo, M107 é primo e M257 é composto.

O produto de um número primo de Mersenne por seu sucessor (potência de base 2) dividido por 2 tem como quociente um número perfeito.

Observação: nem todo número de Mersenne é um número primo.

a) 2² - 1 = 3

(3 x 4) / 2 = 6

b) 2³ - 1 = 7

(7 x 8) / 2 = 28

c) 2⁵ - 1 = 31

(31 x 32) / 2 = 496

d) 2⁷ - 1 = 127

(127 x 128) / 2 = 8128

Projeto GIMPS

George Woltman, estadunidense formado em Ciências da Computação, em 1996, criou um Grupo de Estudo (GIMPS-Great Internet Mersenne Prime Search) que procura por números primos de Mersenne e que foi o responsável pela descoberta dos últimos dezesseis maiores números de Mersenne até o momento, o M51 foi encontrado em dezembro de 2018 e tem mais de 24 milhões de dígitos.

Números Perfeitos e quantidade de divisores

No livro digital Números Perfeitos e Sequências numéricas é apresentado a seguinte propriedade:

"Os divisores dos números perfeitos apresentam regularidades em suas quantidades; metade são potências de base 2; e a outra metade o dobro, do dobro, do dobro, ... de números primos.

Os dois termos centrais dos divisores são fatores que determinam um número perfeito, isto é, o produto de uma potência de base 2 por um número primo."

Números Perfeitos e somas de sequências de divisores

Números perfeitos possuem 2 sequências numéricas entre seus divisores: uma formada por potências de base 2 e outra por múltiplos de Números de Mersenne (números quase-potências de base 2).

A soma de potências de base 2 tem como resultado a raiz quadrada da soma dos múltiplos de Números de Mersenne.

A soma de múltiplos de Números de Mersenne tem como resultado o quadrado da soma de potências de base 2.

Número Perfeito 6

D(6): {1, 2, 3, 6}

1 + 2 = 3

3 + 6 = 9

√9 = 3

Número Perfeito 28

D(28): {1, 2, 4, 7, 14, 28}

1 + 2 + 4 = 7

7 + 14 + 28 = 49

√49 = 7

Número Perfeito 496

D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 961

√961 = 31

Número perfeito 8128

D(8128): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128}

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 + 8128 = 16.129

√16129 = 127

Soma de múltiplos de Números de Mersenne

Potências de base 2 menos 1 unidade têm como resultados números que são 1 unidade menor que as próprias potências de base 2, números estes, denominados de:

a) Números de Mersenne.

b) Números Quase-Potências de Base 2;

Dobrando-se um Número de Mersenne (número quase-potência de base 2) conforme o expoente da potência de base 2 e posteriormente somando-se esses dobros, o resultado é um número quadrado perfeito (células laranjas) desse mesmo Número de Mersenne.

Números Perfeitos (células azuis).

Soma de 2 números triangulares consecutivos

A soma de 2 números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.

Exemplos:

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

Outra propriedade relacionada a números de Mersenne que pode-se extrair da tabela acima é que subtraindo o número perfeito / triangular do quadrado perfeito da respectiva coluna, a diferença é também um número triangular e este dividido pelo respectivo número de Mersenne, o quociente é também um número de Mersenne antecessor.

Exemplos:

a)

49 - 28 = 21 (número triangular)

21 : 7 = 3 (número de Mersenne)

b)

225 - 120 = 105 (número triangular)

105 : 15 = 7 (número de Mersenne)

c)

961 - 496 = 465 (número triangular)

465 : 31 = 15 (número de Mersenne)

Potências de base 2 e Números Mersenne

A tabela a seguir apresenta os 36 primeiros produtos de potências de base 2 com Números de Mersenne / números quase-potências de base 2, bem como, números retangulares, números triangulares e números perfeitos.

O produto de 2 números consecutivos têm como resultado número retangular / oblongo.

Número de Mersenne e Potência de base 2 são números consecutivos.

Números retangulares / oblongos divididos por 2 têm como quocientes números triangulares e, entre eles, números perfeitos.

Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é número perfeito.

6, 28, 496, 8.128, 33.550.336 são números perfeitos (células laranjas).

Potência de base 2 menos 1 unidade pode gerar um Número Primo de Mersenne (número quase-potência de base 2).

Interessante observar que quando a ordem dos números são múltiplos de 4 (células azuis), os números triangulares tem o último algarismo terminado em 0 (zero).

Autor: Ricardo Silva - agosto/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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