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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números de Mersenne e Raízes e Quadrados Perfeitos - 515

Os antigos estudiosos gregos descobriram diversas propriedades geométricas e matemáticas relacionadas aos números.

Descobriram que juntando-se certas quantidades pedrinhas, umas formavam linhas e outras figuras de triângulos, retângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc., dando origem a números como:

a) triangulares;

b) retangulares;

c) quadrados

d) pentagonais, etc...

Descobriram também que determinados números possuiam quantidades de divisores que os diferenciavam uns dos outros, dando origem a números como:

a) Números Primos;

b) Números Compostos;

c) Números Perfeitos;

d) Números Quase Perfeitos;

e) Números Deficientes;

f) Números Abundantes, etc.

Números de Mersenne e Raízes e Quadrados Perfeitos

O presente estudo demonstra que os divisores de Números Perfeitos são formados por duas sequências numéricas distintas: uma formada por potências de base 2 e outra formada por progressão geométrica de Números de Mersenne, de tal forma, que a soma da primeira progressão geométrica é raiz quadrada da soma da segunda progressão geométrica.

Números Perfeitos

Número Perfeito é um número cuja soma dos seus divisores próprios, exceto o próprio número, tem como resultado esse mesmo número.

Número Perfeito 6

D(6): {1, 2, 3, 6}

soma dos divisores próprios de 6

1 + 2 + 3 = 6

Número Perfeito 28

D(28): {1, 2, 4, 7, 14, 28}

soma dos divisores próprios de 28

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Número Perfeito 496

D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

soma dos divisores próprios de 496

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Número perfeito 8128

D(8128): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128}

soma dos divisores próprios de 8.128

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8.128

Soma de números naturais consecutivos

A soma de números naturais consecutivos, inciando-se a partir de 1, têm como resultados números triangulares e, entre eles, números perfeitos.

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...+ 16 + … + 31 = 496

d) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 64 + … + 127 = 8.128

Interessante observar que em cada sequência:

a) o termo central é uma potência de base 2;

b) o termo final é um número primo (Número de Mersenne / Número Quase-Potência de Base 2).

c) o produto do termo central pelo termo final têm como resultado a soma de cada sequência;

d) a soma de cada sequência é mútiplo dos termos central e final.

As somas de números naturais consecutivos formam Progressões Aritméticas cujo primeiro termo e razão é igual a 1.

Fórmula da Soma de Progressão Aritmética

Por meio da fórmula a seguir, pode-se determinar a soma de n termos de uma Progressão Aritmética (PA).

    (a1 + an)    
Sn = _____________ x n
    2    

onde:

a1 - primeiro termo

an - último termo

n - quantidade de termos

Sn - soma do termos

Soma de potências de base 2

A soma de potências de base 2 consecutivas têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos.

Sendo a soma de potências de base 2 consecutivas um número primo, e este multiplicado pelo último termo, o produto é um número perfeito.

a) 1

 

b) 1 + 2 = 3

3 x 2 = 6

 

c) 1 + 2 + 4 = 7

7 x 4 = 28

 

d) 1 + 2 + 4 + 8 = 15

 

e) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

31 x 16 = 496

 

f) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

 

g) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

127 x 64 = 8.128

Fórmula dos Números Perfeitos

Os exemplos acima podem ser verificados por meio da seguinte Fórmula:

2 n - 1 . (2 n - 1)

deduzidas da proposição 36 do livro IX de Os Elementos de Euclides de Alexandria:

Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.

Números de Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648) foi um padre mínimo, teólogo, matemático, teórico musical, e filósofo francês. Ficou conhecido sobretudo pelo seu estudo dos chamados primos de Mersenne, números na forma de:

2p - 1

onde o expoente é um número primo.

Em 1644, Mersenne publicou o trabalho Cogita physico-mathematica, onde afirmou que estes números eram primos para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257 e compostos para p>257

Posteriormente com Computadores e Softwares Matemáticos foi possível verificar que M61 é primo, M67 é composto, M89 é primo, M107 é primo e M257 é composto.

O produto de um número primo de Mersenne por seu sucessor (potência de base 2) dividido por 2 tem como quociente um número perfeito.

Observação: nem todo número de Mersenne é um número primo.

 

a) 22 - 1 = 3

(3 x 4) / 2 = 6

 

b) 23 - 1 = 7

(7 x 8) / 2 = 28

 

c) 25 - 1 = 31

(31 x 32) / 2 = 496

 

d) 27 - 1 = 127

(127 x 128) / 2 = 8128

Projeto GIMPS

George Woltman, estadunidense formado em Ciências da Computação, em 1996, criou um Grupo de Estudo (GIMPS-Great Internet Mersenne Prime Search) que procura por números primos de Mersenne e que foi o responsável pela descoberta dos últimos dezesseis maiores números de Mersenne até o momento, o M51 foi encontrado em dezembro de 2018 e tem mais de 24 milhões de dígitos.

Números Perfeitos e quantidade de divisores

No livro digital Números Perfeitos e Sequências numéricas é apresentado a seguinte propriedade:

"Os divisores dos números perfeitos apresentam regularidades em suas quantidades; metade são potências de base 2; e a outra metade o dobro, do dobro, do dobro, ... de números primos.

Os dois termos centrais dos divisores são fatores que determinam um número perfeito, isto é, o produto de uma potência de base 2 por um número primo."

Números Perfeitos
e quantidades de divisores
   
número perfeito 6
2 divisores 2 divisores
1, 2, 3, 6
   
número perfeito 28
3 divisores 3 divisores
1, 2, 4, 7, 14, 28
   
número perfeito 496
5 divisores 5 divisores
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496
   
número perfeito 8128
7 divisores 7 divisores
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128
   
   
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Números Perfeitos e somas de sequências de divisores

Números perfeitos possuem 2 sequências numéricas entre seus divisores: uma formada por potências de base 2 e outra por múltiplos de Números de Mersenne (números quase-potências de base 2).

A soma de potências de base 2 tem como resultado a raiz quadrada da soma dos múltiplos de Números de Mersenne.

A soma de múltiplos de Números de Mersenne tem como resultado o quadrado da soma de potências de base 2.

Número Perfeito 6

D(6): {1, 2, 3, 6}

1 + 2 = 3

 

3 + 6 = 9

 

√9 = 3

Número Perfeito 28

D(28): {1, 2, 4, 7, 14, 28}

 

1 + 2 + 4 = 7

 

7 + 14 + 28 = 49

 

√49 = 7

Número Perfeito 496

D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

 

31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 961

 

√961 = 31

Número perfeito 8128

D(8128): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128}

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

 

127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 + 8128 = 16.129

 

√16129 = 127

Soma de múltiplos de Números de Mersenne

Potências de base 2 menos 1 unidade têm como resultados números que são 1 unidade menor que as próprias potências de base 2, números estes, denominados de:

a) Números de Mersenne.

b) Números Quase-Potências de Base 2;

Dobrando-se um Número de Mersenne (número quase-potência de base 2) conforme o expoente da potência de base 2 e posteriormente somando-se esses dobros, o resultado é um número quadrado perfeito (células laranjas) desse mesmo Número de Mersenne.

Números Perfeitos (células azuis).

Potências de base 2
e quadrados de
Números de Mersenne/
Números Quase-Perfeitos
 
(22-1) (23-1) (24-1) (25-1) (26-1) (27-1) (213-1)
 
  3 7 15 31 63 127 8191
ordem
1 3 7 15 31 63 127 8191
2 6 14 30 62 126 254 16382
3 28 60 124 252 508 32764
4 9 120 248 504 1016 65528
5 49 496 1008 2032 131056
6 225 2016 4064 262112
7 961 8128 524224
8 3969 1048448
9 16129 2096896
10 4193792
11 8387584
12 16775168
13 33550336
14
15 67092481
 
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Soma de 2 números triangulares consecutivos

A soma de 2 números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.

Exemplos:

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

Outra propriedade relacionada a números de Mersenne que pode-se extrair da tabela acima é que subtraindo o número perfeito / triangular do quadrado perfeito da respectiva coluna, a diferença é também um número triangular e este dividido pelo respectivo número de Mersenne, o quociente é também um número de Mersenne antecessor.

Exemplos:

a)

49 - 28 = 21 (número triangular)

21 : 7 = 3 (número de Mersenne)

b)

225 - 120 = 105 (número triangular)

105 : 15 = 7 (número de Mersenne)

c)

961 - 496 = 465 (número triangular)

465 : 31 = 15 (número de Mersenne)

Potências de base 2 e Números Mersenne

A tabela a seguir apresenta os 36 primeiros produtos de potências de base 2 com Números de Mersenne / números quase-potências de base 2, bem como, números retangulares, números triangulares e números perfeitos.

O produto de 2 números consecutivos têm como resultado número retangular / oblongo.

Número de Mersenne e Potência de base 2 são números consecutivos.

Números retangulares / oblongos divididos por 2 têm como quocientes números triangulares e, entre eles, números perfeitos.

Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é número perfeito.

6, 28, 496, 8.128, 33.550.336 são números perfeitos (células laranjas).

Potência de base 2 menos 1 unidade pode gerar um Número Primo de Mersenne (número quase-potência de base 2).

Interessante observar que quando a ordem dos números são múltiplos de 4 (células azuis), os números triangulares tem o último algarismo terminado em 0 (zero).

Potências de base 2 e
Números Retangulares e Triangulares
       
       
  Potências Números Números Números
  base Quase Retângulares / Triangulares
  2 Potência Oblongos
    Base   Números
    2   Perfeitos
ordem      
0 1 0 0
1 2 1 2 1
2 4 3 12 6
3 8 7 56 28
4 16 15 240 120
5 32 31 992 496
6 64 63 4032 2016
7 128 127 16256 8128
8 256 255 65280 32640
9 512 511 261632 130816
10 1024 1023 1047552 523776
11 2048 2047 4192256 2096128
12 4096 4095 16773120 8386560
13 8192 8191 67100672 33550336
14 16384 16383 268419072 134209536
15 32768 32767 1073709056 536854528
16 65536 65535 4294901760 2147450880
17 131072 131071 17179738112 8589869056
18 262144 262143 68719214592 34359607296
19 524288 524287 274877382656 137438691328
20 1048576 1048575 1099510579200 549755289600
21 2097152 2097151 4398044413952 2199022206976
22 4194304 4194303 17592181850112 8796090925056
23 8388608 8388607 70368735789056 35184367894528
24 16777216 16777215 281474959933440 140737479966720
25 33554432 33554431 1125899873288192 562949936644096
26 67108864 67108863 4503599560261632 2251799780130816
27 134217728 134217727 18014398375264256 9007199187632128
28 268435456 268435455 72057593769492480 36028796884746240
29 536870912 536870911 288230375614840832 144115187807420416
30 1073741824 1073741823 1152921503533105152 576460751766552576
31 2147483648 2147483647 4611686016279904256 2305843008139952128
32 4294967296 4294967295 18446744069414584320 9223372034707292160
33 8589934592 8589934591 73786976286248271872 36893488143124135936
34 17179869184 17179869183 295147905162172956672 147573952581086478336
35 34359738368 34359738367 1180591620683051565056 590295810341525782528
36 68719476736 68719476735 4722366482800925736960 2361183241400462868480
         
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Autor: Ricardo Silva - agosto/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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