Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Perfeitos - Raízes e Números Quadrados Perfeitos - 513

Número perfeito é um número cuja soma dos seus divisores, excluindo o próprio número, tem como resultado esse mesmo número.

Relação dos 10 primeiros números perfeitos:

1) 6

2) 28

3) 496

4) 8128

5) 33.550.336

6) 8.589.869.056

7) 137.438.691.328

8) 2.305.843.008.139.952.128

9) 2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176

10) 191.561.942. 608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216

O presente estudo demonstra novas propriedades numéricas relacionadas a números perfeitos e seus divisores com raízes quadradas e números quadrados perfeitos, bem como, com números quase-perfeitos.

Números Perfeitos e quantidade de divisores

No livro digital Números Perfeitos e Sequências numéricas é apresentado a seguinte propriedade:

"Os divisores dos números perfeitos apresentam regularidades em suas quantidades; metade são potências de base 2; e a outra metade o dobro, do dobro, do dobro, ... de números primos.

Os dois termos centrais dos divisores são fatores que determinam um número perfeito, isto é, o produto de uma potência de base 2 por um número primo."

Raízes Quadradas e Quadrados Perfeitos

Número perfeito 6

2¹ (2² - 1)

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12 (produto de 2 consecutivos)

12 : 2 = 6

4 são os divisores de 6.

2 divisores são potências de base 2.

2 divisores são múltiplos do primo 3.

D(6): {1, 2, 3, 6}

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 3.

1 + 2 = 3

Soma dos múltiplos de 3 é o quadrado da soma das potências de base 2.

3 + 6 = 9

√9 = 3

Observação: a soma de 2 múltiplos de 3 tem como resultado o seu quadrado.

O quadrado 9 mais a sua raiz 3 é o dobro do número perfeito 6.

Número perfeito 28

2² .(2³ - 1)

4 x 7 = 28

7 x 8 = 56 (produto de 2 consecutivos)

56 : 2 = 28

6 são os divisores de 28.

3 divisores são potências de base 2.

3 divisores são múltiplos do primo 7.

D(28): {1, 2, 4, 7, 14, 28}

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 7.

1 + 2 + 4 = 7

Soma dos múltiplos de 7 é o quadrado da soma das potências de base 2.

7 + 14 + 28 = 49

√49 = 7

Observação: a soma de 3 múltiplos de 7 tem como resultado o seu quadrado.

O quadrado 49 mais a sua raiz 7 é o dobro do número perfeito 28.

49 + 7 = 56

Número não perfeito 120

2³ . (2⁴ - 1)

8 x 15 = 120

15 x 16 = 240 (produto de 2 consecutivos)

240 : 2 = 120

16 são os divisores de 120.

4 divisores são potências de base 2.

4 divisores são múltiplos do primo 3.

8 divisores são múltiplos do primo 5.

D(120): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

A quantidade de divisores de 120 é o quádruplo do expoente de 2⁴.

A soma de potências de base 2 não é a raiz quadrada de 120.

1 + 2 + 4 + 8 = 15

120 não é um quadrado perfeito.

√120 = 10,954...

A soma da primeira metade dos divisores de 120 é 39 e não é a raiz quadrada de 120.

A soma da segunda metade dos divisores de 120 é 321 e não é o quadrado de 120.

A metade dos divisores de 120 não são potências de base 2.

Interessante observar que somando-se os dobros (múltiplos) de 15 conforme o expoente de 2⁴, obtem-se o seu quadrado:

15 + 30 + 60 + 120 = 225

√225 =15

Número perfeito 496

2⁴ .(2⁵ - 1)

16 x 31 = 496

31 x 32 = 992 (produto de 2 consecutivos)

992 : 2 = 496

10 são os divisores de 496.

5 divisores são potências de base 2.

5 divisores são múltiplos do primo 31.

D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 31.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

Soma dos múltiplos de 31 é o quadrado da soma das potências de base 2.

31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 961

√961 = 31

Observação: a soma de 5 múltiplos de 31 tem como resultado o seu quadrado.

O quadrado 961 mais a sua raiz 31 é o dobro do número perfeito 496.

961 + 31 = 992

Número perfeito 8128

2⁶ .(2⁷ - 1)

64 x 127 = 8.128

127 x 128 = 16.256 (produto de 2 consecutivos)

16.256 : 2 = 8.128

14 são os divisores de 8128.

7 divisores são potências de base 2.

7 divisores são múltiplos do primo 127.

D(8128): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128}

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 127.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

Soma dos múltiplos de 127 é o quadrado da soma das potências de base 2.

127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 + 8128 = 16.129

√16.129 = 127

Observação: a soma de 7 múltiplos de 127 tem como resultado o seu quadrado.

O quadrado 16.129 mais a sua raiz 127 é o dobro do número perfeito 8.128.

16.129 + 127 = 16.256

Número perfeito 33.550.336

2¹² .(2¹³ - 1)

4.906 x 8.191 = 33.550.336

8.191 x 8.192 = 67.100.672 (produto de 2 consecutivos)

67.100.672 : 2 = 33.550.336

26 são os divisores de 496.

13 divisores são potências de base 2.

13 divisores são múltiplos do primo 8191

.

D(33.550.336): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 65528, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168, 33550336}

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 8191.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 = 8191

Soma dos múltiplos de 8191 é o quadrado da soma das potências de base 2.
8191 + 16382 + 32764 + 65528 + 131056 + 262112 + 524224 + 1048448 + 2096896 + 4193792 + 8387584 + 16775168 + 33550336 = 67092481

√67.092.481 = 8.191

Observação: a soma de 13 múltiplos de 8.191 tem como resultado o seu quadrado.

O quadrado 67.092.481 mais a sua raiz 8.191 é o dobro do número perfeito 33.550.336.

67.092.481 + 8.191 = 67.100.672

Números não perfeitos

Número não perfeito 2.096.128

2¹⁰ .(2¹¹ - 1)

1024 x 2047 = 2.096.128

2047 x 2048 = 4.192.256 (produto de 2 consecutivos)

4192256 : 2 = 2.096.128

A soma 6255 da primeira metade dos divisores de 2.096.128 não é a raiz quadrada da soma da segunda metade dos divisores, pois:

√4415265 = 2101,253...

A soma 4415265 da segunda metade dos divisores de 2.096.128 não é o quadrado da soma da primeira metade dos divisores, pois:

6255² = 9.125.025

44 são os divisores de 2.096.128, o quádruplo do expoente de 2¹¹, diferentemente dos exemplos demonstrados anteriormente.

A primeira metade dos divisores de 2.096.128 não apresenta as potências de base 2 consecutivamente, há intervalos entre as potências.(células laranjas)

Interessante observar que:

(2¹¹ - 1) = 2047 é um número composto.

D(2047): {1, 23, 89, 2047}

Somando-se consecutivamente 11 vezes os seus dobros, o resultado é o seu quadrado 4.190.209. (células verdes).

2047² = 4.190.209

4.190.209 + 2047 = 4.192.256

*Lista de Divisores obtida em:

014-013-calculadora-divisores-numero-natural-on-line

Número não perfeito 35. 184. 367. 894. 528*

2²² .(2²³ - 1) = 4.194.304 x 8.388.607 = 35.184.367.894.528

8.388.607 x 8.388.608 = 70.368. 735.789.056 (produto de 2 consecutivos)

70.368.735.789.056 : 2 = 35. 184.367.894.528

35.184.367.894.528 = 2 * 2 * 2 * 13 * 47 * 191 * 211 * 178481

O número 35.184.367.894.528 possui 128 divisores e, entre eles, somente 3 fatores primos 2.

* Decomposição em fatores primos obtida em:

https://www.omnicalculator.com/math/prime-factorization

Número não perfeito 144.115.187.807.420.416

2²⁸ .(2²⁹ - 1) = 268. 435.456 x 536.870.911 = 144.115.187.807.420.416

536.870.911 x 536.870.912 = 288. 230.375.614.840.832 (produto de 2 consecutivos)

288. 230.375.614.840.832 : 2 = 144.115.187.807.420.416

Número não perfeito 9.444. 732. 965. 670. 570. 950. 656

2³⁶ .(2³⁷ - 1) = 68. 719.476.736 x 137.438.953. 471 = 9.444.732.965.670.570.950.656

137. 438.953.471 x 137.438.953.472 = 18.889.465.931.341.141.901. 312 (produto de 2 consecutivos)

18. 889.465.931.341.141.901.312 : 2 = 9.444.732.965.670.570.950.656

Número não perfeito

2⁴⁰ .(2⁴¹ - 1)

Número não perfeito

2⁴² .(2⁴³ - 1)

Número não perfeito

2⁴⁶ (2⁴⁷ - 1)

Número não perfeito

2⁵² .(2⁵³ - 1)

Número não perfeito

2⁵⁸ .(2⁵⁹ - 1)

Número não perfeito

2⁶⁶ .(2⁶⁷ - 1)

Número não perfeito

2⁶⁶ (2⁶⁷ - 1)

Número não perfeito

2⁷⁰ (2⁷¹ - 1)

Número não perfeito

2⁷² (2⁷³ - 1)

Número não perfeito

2⁷⁸ (2⁷⁹ - 1)

Número não perfeito

2⁸² (2⁸³ - 1)

Potências de base 2 e quadrados de Números de Mersenne

Potências de base 2 menos 1 unidade têm como resultados números que são 1 unidade menor que as próprias potências de base 2, números estes, denominados de:

a) números quase-potências de base 2;

b) Números de Mersenne.

Dobrando-se um Número de Mersenne (quase-potência de base 2) conforme o expoente da potência de base 2 e posteriormente somando-se esses dobros, o resultado é um número quadrado perfeito (células laranjas) desse mesmo Número de Mersenne.

Números Perfeitos (células azuis).

Soma de 2 números triangulares consecutivos

A soma de 2 números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.

Exemplos:

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

Outra propriedade relacionada a números de Mersenne que pode-se extrair da tabela acima é que subtraindo o número perfeito / triangular do quadrado perfeito da respectiva coluna, a diferença é também um número triangular e este dividido pelo respectivo número de Mersenne, o quociente é também um número de Mersenne antecessor.

Exemplos:

a)

49 - 28 = 21 (número triangular)

21 : 7 = 3 (número de Mersenne)

b)

225 - 120 = 105 (número triangular)

105 : 15 = 7 (número de Mersenne)

c)

961 - 496 = 465 (número triangular)

465 : 31 = 15 (número de Mersenne)

Conclusão

Números perfeitos analisados neste estudo apresentam outra propriedade em relações a soma de seus divisores: a soma de potências de base 2 é a raiz quadrada da soma dos múltiplos de números primos e a soma dos múltiplos de números primos é o quadrado da soma de potências de base 2.

Propriedade esta que talvez possa ser utilizada para se confirmar se um número é ou não perfeito, pois, os números que não são perfeitos, as quantidades de divisores excedem o dobro do expoente da expressão (2ⁿ-1).

Autor: Ricardo Silva - agosto/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

www.mersenne.org/primes/

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