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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Perfeitos - Raízes e Números Quadrados Perfeitos - 513

Número perfeito é um número cuja soma dos seus divisores, excluindo o próprio número, tem como resultado esse mesmo número.

Números Perfeitos - Raízes e Números Quadrados Perfeitos

Relação dos 10 primeiros números perfeitos:

1) 6

2) 28

3) 496

4) 8128

5) 33.550.336

6) 8.589.869.056

7) 137.438.691.328

8) 2.305.843.008.139.952.128

9) 2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176

10) 191.561.942. 608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216

O presente estudo demonstra novas propriedades numéricas relacionadas a números perfeitos e seus divisores com raízes quadradas e números quadrados perfeitos, bem como, com números quase-perfeitos.

Números Perfeitos e quantidade de divisores

No livro digital Números Perfeitos e Sequências numéricas é apresentado a seguinte propriedade:

"Os divisores dos números perfeitos apresentam regularidades em suas quantidades; metade são potências de base 2; e a outra metade o dobro, do dobro, do dobro, ... de números primos.

Os dois termos centrais dos divisores são fatores que determinam um número perfeito, isto é, o produto de uma potência de base 2 por um número primo."

Números Perfeitos
e quantidades de divisores
   
número perfeito 6
2 divisores 2 divisores
1, 2, 3, 6
   
número perfeito 28
3 divisores 3 divisores
1, 2, 4, 7, 14, 28
   
número perfeito 496
5 divisores 5 divisores
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496
   
número perfeito 8128
7 divisores 7 divisores
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128
   
   
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Raízes Quadradas e Quadrados Perfeitos

Número perfeito 6

21 (22 - 1)

2 x 3 = 6

 

3 x 4 = 12 (produto de 2 consecutivos)

12 : 2 = 6

 

4 são os divisores de 6.

2 divisores são potências de base 2.

2 divisores são múltiplos do primo 3.

D(6): {1, 2, 3, 6}

 

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 3.

1 + 2 = 3

 

Soma dos múltiplos de 3 é o quadrado da soma das potências de base 2.

3 + 6 = 9

√9 = 3

Observação: a soma de 2 múltiplos de 3 tem como resultado o seu quadrado.

 

O quadrado 9 mais a sua raiz 3 é o dobro do número perfeito 6.

 

Número perfeito 28

22 .(23 - 1)

4 x 7 = 28

 

7 x 8 = 56 (produto de 2 consecutivos)

56 : 2 = 28

 

6 são os divisores de 28.

3 divisores são potências de base 2.

3 divisores são múltiplos do primo 7.

D(28): {1, 2, 4, 7, 14, 28}

 

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 7.

1 + 2 + 4 = 7

 

Soma dos múltiplos de 7 é o quadrado da soma das potências de base 2.

7 + 14 + 28 = 49

√49 = 7

Observação: a soma de 3 múltiplos de 7 tem como resultado o seu quadrado.

 

O quadrado 49 mais a sua raiz 7 é o dobro do número perfeito 28.

49 + 7 = 56

Número não perfeito 120

23 . (24 - 1)

8 x 15 = 120

 

15 x 16 = 240 (produto de 2 consecutivos)

240 : 2 = 120

 

16 são os divisores de 120.

4 divisores são potências de base 2.

4 divisores são múltiplos do primo 3.

8 divisores são múltiplos do primo 5.

D(120): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

A quantidade de divisores de 120 é o quádruplo do expoente de 24.

 

A soma de potências de base 2 não é a raiz quadrada de 120.

1 + 2 + 4 + 8 = 15

120 não é um quadrado perfeito.

√120 = 10,954...

A soma da primeira metade dos divisores de 120 é 39 e não é a raiz quadrada de 120.

A soma da segunda metade dos divisores de 120 é 321 e não é o quadrado de 120.

A metade dos divisores de 120 não são potências de base 2.

Interessante observar que somando-se os dobros (múltiplos) de 15 conforme o expoente de 24, obtem-se o seu quadrado:

15 + 30 + 60 + 120 = 225

√225 =15

 

Número perfeito 496

24 .(25 - 1)

16 x 31 = 496

 

31 x 32 = 992 (produto de 2 consecutivos)

992 : 2 = 496

 

10 são os divisores de 496.

5 divisores são potências de base 2.

5 divisores são múltiplos do primo 31.

D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

 

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 31.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

 

Soma dos múltiplos de 31 é o quadrado da soma das potências de base 2.

 

31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 961

√961 = 31

Observação: a soma de 5 múltiplos de 31 tem como resultado o seu quadrado.

 

O quadrado 961 mais a sua raiz 31 é o dobro do número perfeito 496.

961 + 31 = 992

 

Número perfeito 8128

26 .(27 - 1)

64 x 127 = 8.128

 

127 x 128 = 16.256 (produto de 2 consecutivos)

16.256 : 2 = 8.128

 

14 são os divisores de 8128.

7 divisores são potências de base 2.

7 divisores são múltiplos do primo 127.

D(8128): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128}

 

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 127.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

 

Soma dos múltiplos de 127 é o quadrado da soma das potências de base 2.

127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 + 8128 = 16.129

√16.129 = 127

Observação: a soma de 7 múltiplos de 127 tem como resultado o seu quadrado.

 

O quadrado 16.129 mais a sua raiz 127 é o dobro do número perfeito 8.128.

16.129 + 127 = 16.256

 

Número perfeito 33.550.336

212 .(213 - 1)

4.906 x 8.191 = 33.550.336

 

8.191 x 8.192 = 67.100.672 (produto de 2 consecutivos)

67.100.672 : 2 = 33.550.336

 

26 são os divisores de 496.

13 divisores são potências de base 2.

13 divisores são múltiplos do primo 8191

.

D(33.550.336): {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 65528, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168, 33550336}

 

Soma das potências de base 2 é raíz quadrada da soma dos múltiplos de 8191.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 = 8191

 

Soma dos múltiplos de 8191 é o quadrado da soma das potências de base 2.
8191 + 16382 + 32764 + 65528 + 131056 + 262112 + 524224 + 1048448 + 2096896 + 4193792 + 8387584 + 16775168 + 33550336 = 67092481

√67.092.481 = 8.191

Observação: a soma de 13 múltiplos de 8.191 tem como resultado o seu quadrado.

 

O quadrado 67.092.481 mais a sua raiz 8.191 é o dobro do número perfeito 33.550.336.

67.092.481 + 8.191 = 67.100.672

Números não perfeitos

Número não perfeito 2.096.128

210 .(211 - 1)

1024 x 2047 = 2.096.128

 

2047 x 2048 = 4.192.256 (produto de 2 consecutivos)

4192256 : 2 = 2.096.128

 

A soma 6255 da primeira metade dos divisores de 2.096.128 não é a raiz quadrada da soma da segunda metade dos divisores, pois:

√4415265 = 2101,253...

 

A soma 4415265 da segunda metade dos divisores de 2.096.128 não é o quadrado da soma da primeira metade dos divisores, pois:

62552 = 9.125.025

 

44 são os divisores de 2.096.128, o quádruplo do expoente de 211, diferentemente dos exemplos demonstrados anteriormente.

 

A primeira metade dos divisores de 2.096.128 não apresenta as potências de base 2 consecutivamente, há intervalos entre as potências.(células laranjas)

 

Interessante observar que:

(211 - 1) = 2047 é um número composto.

D(2047): {1, 23, 89, 2047}

Somando-se consecutivamente 11 vezes os seus dobros, o resultado é o seu quadrado 4.190.209. (células verdes).

20472 = 4.190.209

4.190.209 + 2047 = 4.192.256

Número 2.096.128 *
soma de divisores
   
   
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 23
7 32
8 46
9 64
10 89
11 92
12 128
13 178
14 184
15 256
16 356
17 368
18 512
19 712
20 736
21 1024
22 1424
 
soma 6255
   
23 1472
24 2047
25 2848
26 2944
27 4094
28 5696
29 5888
30 8188
31 11392
32 11776
33 16376
34 22784
35 23552
36 32752
37 45568
38 65504
39 91136
40 131008
41 262016
42 524032
43 1048064
44 2096128
 
soma 4415265
 
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

*Lista de Divisores obtida em:

014-013-calculadora-divisores-numero-natural-on-line

Número não perfeito 35. 184. 367. 894. 528*

222 .(223 - 1) = 4.194.304 x 8.388.607 = 35.184.367.894.528

 

8.388.607 x 8.388.608 = 70.368. 735.789.056 (produto de 2 consecutivos)

 

70.368.735.789.056 : 2 = 35. 184.367.894.528

 

35.184.367.894.528 = 2 * 2 * 2 * 13 * 47 * 191 * 211 * 178481

O número 35.184.367.894.528 possui 128 divisores e, entre eles, somente 3 fatores primos 2.

* Decomposição em fatores primos obtida em:

https://www.omnicalculator.com/math/prime-factorization

Número não perfeito 144.115.187.807.420.416

228 .(229 - 1) = 268. 435.456 x 536.870.911 = 144.115.187.807.420.416

 

536.870.911 x 536.870.912 = 288. 230.375.614.840.832 (produto de 2 consecutivos)

 

288. 230.375.614.840.832 : 2 = 144.115.187.807.420.416

Número não perfeito 9.444. 732. 965. 670. 570. 950. 656

236 .(237 - 1) = 68. 719.476.736 x 137.438.953. 471 = 9.444.732.965.670.570.950.656

 

137. 438.953.471 x 137.438.953.472 = 18.889.465.931.341.141.901. 312 (produto de 2 consecutivos)

 

18. 889.465.931.341.141.901.312 : 2 = 9.444.732.965.670.570.950.656

Número não perfeito

240 .(241 - 1)

Número não perfeito

242 .(243 - 1)

Número não perfeito

246 (247 - 1)

Número não perfeito

252 .(253 - 1)

Número não perfeito

258 .(259 - 1)

Número não perfeito

266 .(267 - 1)

Número não perfeito

266 (267 - 1)

Número não perfeito

270 (271 - 1)

Número não perfeito

272 (273 - 1)

Número não perfeito

278 (279 - 1)

Número não perfeito

282 (283 - 1)

Potências de base 2 e quadrados de Números de Mersenne

Potências de base 2 menos 1 unidade têm como resultados números que são 1 unidade menor que as próprias potências de base 2, números estes, denominados de:

a) números quase-potências de base 2;

b) Números de Mersenne.

Dobrando-se um Número de Mersenne (quase-potência de base 2) conforme o expoente da potência de base 2 e posteriormente somando-se esses dobros, o resultado é um número quadrado perfeito (células laranjas) desse mesmo Número de Mersenne.

Números Perfeitos (células azuis).

Potências de base 2
e quadrados de
Números de Mersenne
(Números Quase-Potências de Base 2)
 
 
(22-1) (23-1) (24-1) (25-1) (26-1) (27-1) (213-1)
 
  3 7 15 31 63 127 8191
ordem
1 3 7 15 31 63 127 8191
2 6 14 30 62 126 254 16382
3 28 60 124 252 508 32764
4 9 120 248 504 1016 65528
5 49 496 1008 2032 131056
6 225 2016 4064 262112
7 961 8128 524224
8 3969 1048448
9 16129 2096896
10 4193792
11 8387584
12 16775168
13 33550336
14
15 67092481
 
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Soma de 2 números triangulares consecutivos

A soma de 2 números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.

Exemplos:

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

Outra propriedade relacionada a números de Mersenne que pode-se extrair da tabela acima é que subtraindo o número perfeito / triangular do quadrado perfeito da respectiva coluna, a diferença é também um número triangular e este dividido pelo respectivo número de Mersenne, o quociente é também um número de Mersenne antecessor.

Exemplos:

a)

49 - 28 = 21 (número triangular)

21 : 7 = 3 (número de Mersenne)

b)

225 - 120 = 105 (número triangular)

105 : 15 = 7 (número de Mersenne)

c)

961 - 496 = 465 (número triangular)

465 : 31 = 15 (número de Mersenne)

Conclusão

Números perfeitos analisados neste estudo apresentam outra propriedade em relações a soma de seus divisores: a soma de potências de base 2 é a raiz quadrada da soma dos múltiplos de números primos e a soma dos múltiplos de números primos é o quadrado da soma de potências de base 2.

Propriedade esta que talvez possa ser utilizada para se confirmar se um número é ou não perfeito, pois, os números que não são perfeitos, as quantidades de divisores excedem o dobro do expoente da expressão (2n-1).

Autor: Ricardo Silva - agosto/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

www.mersenne.org/primes/

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