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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potências de Base 2 e Produtos de 2 Números Consecutivos - 514

Potências de Base 2 apresentam diversas propriedades numéricas relacionadas a elas próprias como também com outras sequências numéricas, tais como: números quase-potências de base 2, números perfeitos, números quase-perfeitos, Números de Mersenne, etc.

O presente estudo demonstra outras propriedades relacionadas a grupos de produtos de 2 números consecutivos em que um dos fatores é uma potência de base 2.

Potências de Base 2 e Produtos de 2 Números Consecutivos

Números quase-potências de base 2

A soma de divisores próprios de uma potência de base 2 tem como resultado um número quase-potência de base 2, também denominado Número de Mersenne, isto porquê, esta soma é 1 unidade menor que a própria potência de base 2.

Divisores próprios são os divisores de um número, excluindo esse mesmo número.

Exemplos:

D(2):{1, 2}

1 é o divisor próprio de 2

D(4):{1, 2, 4}

1 e 2 são os divisores próprios de 4

1 + 2 = 3

D(8):{1, 2, 4, 8}

1, 2 e 4 são os divisores próprios de 8

1 + 2 + 4 = 7

D(16):{1, 2, 4, 8, 16}

1, 2, 4 e 8 são os divisores próprios de 16

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1, 3, 7, 15, 31, ... são números quase-potência de base 2, também denominados de Números de Mersenne.

Potências de base 2 e números retangulares e triangulares

A tabela a seguir apresenta os 36 primeiros produtos de potências de base 2 com números quase-potências de base / Números de Mersenne, bem como, números retangulares, números triangulares e números perfeitos.

O produto de 2 números consecutivos têm como resultado número retangular / oblongo.

Potência de base 2 e número quase-potência de base 2 / Números de Mersenne são números consecutivos.

Números retangulares / oblongos divididos por 2 têm como quocientes números triangulares e, entre eles, números perfeitos.

Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é número perfeito.

6, 28, 496, 8.128, 33.550.336 são números perfeitos (células laranjas).

Potência de base 2 menos 1 unidade pode gerar um Número Primo de Mersenne (número quase-potência de base 2).

Interessante observar que quando a ordem dos números são múltiplos de 4 (células azuis), os números triangulares tem o último algarismo terminado em 0 (zero).

Potências de base 2 e
Números Retangulares e Triangulares
       
       
  Potências Números Números Números
  base Quase Retângulares / Triangulares
  2 Potência Oblongos
    Base   Números
    2   Perfeitos
ordem      
0 1 0 0
1 2 1 2 1
2 4 3 12 6
3 8 7 56 28
4 16 15 240 120
5 32 31 992 496
6 64 63 4032 2016
7 128 127 16256 8128
8 256 255 65280 32640
9 512 511 261632 130816
10 1024 1023 1047552 523776
11 2048 2047 4192256 2096128
12 4096 4095 16773120 8386560
13 8192 8191 67100672 33550336
14 16384 16383 268419072 134209536
15 32768 32767 1073709056 536854528
16 65536 65535 4294901760 2147450880
17 131072 131071 17179738112 8589869056
18 262144 262143 68719214592 34359607296
19 524288 524287 274877382656 137438691328
20 1048576 1048575 1099510579200 549755289600
21 2097152 2097151 4398044413952 2199022206976
22 4194304 4194303 17592181850112 8796090925056
23 8388608 8388607 70368735789056 35184367894528
24 16777216 16777215 281474959933440 140737479966720
25 33554432 33554431 1125899873288192 562949936644096
26 67108864 67108863 4503599560261632 2251799780130816
27 134217728 134217727 18014398375264256 9007199187632128
28 268435456 268435455 72057593769492480 36028796884746240
29 536870912 536870911 288230375614840832 144115187807420416
30 1073741824 1073741823 1152921503533105152 576460751766552576
31 2147483648 2147483647 4611686016279904256 2305843008139952128
32 4294967296 4294967295 18446744069414584320 9223372034707292160
33 8589934592 8589934591 73786976286248271872 36893488143124135936
34 17179869184 17179869183 295147905162172956672 147573952581086478336
35 34359738368 34359738367 1180591620683051565056 590295810341525782528
36 68719476736 68719476735 4722366482800925736960 2361183241400462868480
         
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Produtos de 2 números consecutivos

O produto de 2 números consecutivos têm como resultados números retangulares.

O produto de pares de 2 números consecutivos em que um dos fatores é uma potência de base 2 apresentam relações numéricas com as próprias potências de base 2 e com números retangulares.

Potência 2

a) produtos de pares de consecutivos

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

b) soma dos produtos gera uma potência de base 2

2 + 6 = 8

c) diferença entre os produtos gera um potência de base 2

6 - 2 = 4

d) o produto dos produtos gera um número retangular

2 x 6 = 12

e) o quociente entre os produtos gera um número triangular

6 : 2 = 3

Potência 4

a) produtos de pares de consecutivos

3 x 4 = 12

4 x 5 = 20

b) soma dos produtos gera uma potência de base 2

12 + 20 = 32

c) diferença entre os produtos gera uma potência de base 2

20 - 12 = 8

d) o produto dos produtos gera um número retangular

12 x 20 = 240

e) o quociente entre os produtos gera um número decimal

20 : 12 = 1,666...

Potência 8

a) produtos de pares de consecutivos

7 x 8 = 56

8 x 9 = 72

b) soma dos produtos gera uma potência de base 2

56 + 72 = 128

c) diferença entre os produtos gera uma potência de base 2

72 - 56 = 16

d) o produto dos produtos gera um número retangular

56 x 72 = 4032

e) o quociente entre os produtos gera um número decimal

72 : 56 = 1,285...

Potência 16

a) produtos de pares de consecutivos

15 x 16 = 240

16 x 17 = 272

b) soma dos produtos gera uma potência de base 2

240 + 272 = 512

c) diferença entre os produtos gera uma potência de base 2

272 - 240 = 32

d) o produto dos produtos gera um número retangular

240 x 272 = 65280

e) o quociente entre os produtos gera um número decimal

272 : 240 = 1,133...

 

Autor: Ricardo Silva - agosto/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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