Potências de Base 2 apresentam diversas propriedades numéricas relacionadas a elas próprias como também com outras sequências numéricas, tais como: números quase-potências de base 2, números perfeitos, números quase-perfeitos, Números de Mersenne, etc.
O presente estudo demonstra outras propriedades relacionadas a grupos de produtos de 2 números consecutivos em que um dos fatores é uma potência de base 2.
A soma de divisores próprios de uma potência de base 2 tem como resultado um número quase-potência de base 2, também denominado Número de Mersenne, isto porquê, esta soma é 1 unidade menor que a própria potência de base 2.
Divisores próprios são os divisores de um número, excluindo esse mesmo número.
Exemplos:
D(2):{1, 2}
1 é o divisor próprio de 2
D(4):{1, 2, 4}
1 e 2 são os divisores próprios de 4
1 + 2 = 3
D(8):{1, 2, 4, 8}
1, 2 e 4 são os divisores próprios de 8
1 + 2 + 4 = 7
D(16):{1, 2, 4, 8, 16}
1, 2, 4 e 8 são os divisores próprios de 16
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1, 3, 7, 15, 31, ... são números quase-potência de base 2, também denominados de Números de Mersenne.
A tabela a seguir apresenta os 36 primeiros produtos de potências de base 2 com números quase-potências de base / Números de Mersenne, bem como, números retangulares, números triangulares e números perfeitos.
O produto de 2 números consecutivos têm como resultado número retangular / oblongo.
Potência de base 2 e número quase-potência de base 2 / Números de Mersenne são números consecutivos.
Números retangulares / oblongos divididos por 2 têm como quocientes números triangulares e, entre eles, números perfeitos.
Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é número perfeito.
6, 28, 496, 8.128, 33.550.336 são números perfeitos (células laranjas).
Potência de base 2 menos 1 unidade pode gerar um Número Primo de Mersenne (número quase-potência de base 2).
Interessante observar que quando a ordem dos números são múltiplos de 4 (células azuis), os números triangulares tem o último algarismo terminado em 0 (zero).
| Potências de base 2 e | ||||
| Números Retangulares e Triangulares | ||||
| Potências | Números | Números | Números | |
| base | Quase | Retângulares / | Triangulares | |
| 2 | Potência | Oblongos | ||
| Base | Números | |||
| 2 | Perfeitos | |||
| ordem | ||||
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 | 12 | 6 |
| 3 | 8 | 7 | 56 | 28 |
| 4 | 16 | 15 | 240 | 120 |
| 5 | 32 | 31 | 992 | 496 |
| 6 | 64 | 63 | 4032 | 2016 |
| 7 | 128 | 127 | 16256 | 8128 |
| 8 | 256 | 255 | 65280 | 32640 |
| 9 | 512 | 511 | 261632 | 130816 |
| 10 | 1024 | 1023 | 1047552 | 523776 |
| 11 | 2048 | 2047 | 4192256 | 2096128 |
| 12 | 4096 | 4095 | 16773120 | 8386560 |
| 13 | 8192 | 8191 | 67100672 | 33550336 |
| 14 | 16384 | 16383 | 268419072 | 134209536 |
| 15 | 32768 | 32767 | 1073709056 | 536854528 |
| 16 | 65536 | 65535 | 4294901760 | 2147450880 |
| 17 | 131072 | 131071 | 17179738112 | 8589869056 |
| 18 | 262144 | 262143 | 68719214592 | 34359607296 |
| 19 | 524288 | 524287 | 274877382656 | 137438691328 |
| 20 | 1048576 | 1048575 | 1099510579200 | 549755289600 |
| 21 | 2097152 | 2097151 | 4398044413952 | 2199022206976 |
| 22 | 4194304 | 4194303 | 17592181850112 | 8796090925056 |
| 23 | 8388608 | 8388607 | 70368735789056 | 35184367894528 |
| 24 | 16777216 | 16777215 | 281474959933440 | 140737479966720 |
| 25 | 33554432 | 33554431 | 1125899873288192 | 562949936644096 |
| 26 | 67108864 | 67108863 | 4503599560261632 | 2251799780130816 |
| 27 | 134217728 | 134217727 | 18014398375264256 | 9007199187632128 |
| 28 | 268435456 | 268435455 | 72057593769492480 | 36028796884746240 |
| 29 | 536870912 | 536870911 | 288230375614840832 | 144115187807420416 |
| 30 | 1073741824 | 1073741823 | 1152921503533105152 | 576460751766552576 |
| 31 | 2147483648 | 2147483647 | 4611686016279904256 | 2305843008139952128 |
| 32 | 4294967296 | 4294967295 | 18446744069414584320 | 9223372034707292160 |
| 33 | 8589934592 | 8589934591 | 73786976286248271872 | 36893488143124135936 |
| 34 | 17179869184 | 17179869183 | 295147905162172956672 | 147573952581086478336 |
| 35 | 34359738368 | 34359738367 | 1180591620683051565056 | 590295810341525782528 |
| 36 | 68719476736 | 68719476735 | 4722366482800925736960 | 2361183241400462868480 |
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O produto de 2 números consecutivos têm como resultados números retangulares.
O produto de pares de 2 números consecutivos em que um dos fatores é uma potência de base 2 apresentam relações numéricas com as próprias potências de base 2 e com números retangulares.
a) produtos de pares de consecutivos
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
b) soma dos produtos gera uma potência de base 2
2 + 6 = 8
c) diferença entre os produtos gera um potência de base 2
6 - 2 = 4
d) o produto dos produtos gera um número retangular
2 x 6 = 12
e) o quociente entre os produtos gera um número triangular
6 : 2 = 3
a) produtos de pares de consecutivos
3 x 4 = 12
4 x 5 = 20
b) soma dos produtos gera uma potência de base 2
12 + 20 = 32
c) diferença entre os produtos gera uma potência de base 2
20 - 12 = 8
d) o produto dos produtos gera um número retangular
12 x 20 = 240
e) o quociente entre os produtos gera um número decimal
20 : 12 = 1,666...
a) produtos de pares de consecutivos
7 x 8 = 56
8 x 9 = 72
b) soma dos produtos gera uma potência de base 2
56 + 72 = 128
c) diferença entre os produtos gera uma potência de base 2
72 - 56 = 16
d) o produto dos produtos gera um número retangular
56 x 72 = 4032
e) o quociente entre os produtos gera um número decimal
72 : 56 = 1,285...
a) produtos de pares de consecutivos
15 x 16 = 240
16 x 17 = 272
b) soma dos produtos gera uma potência de base 2
240 + 272 = 512
c) diferença entre os produtos gera uma potência de base 2
272 - 240 = 32
d) o produto dos produtos gera um número retangular
240 x 272 = 65280
e) o quociente entre os produtos gera um número decimal
272 : 240 = 1,133...
Autor: Ricardo Silva - agosto/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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