Número Quadrado Perfeito é um número inteiro que é produto de um número multiplicado por ele mesmo e quando extraída a sua raiz quadrada, o resultado é também um número inteiro.
Números quadrados perfeitos terminam em 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
Não há números quadrados perfeitos terminados em 2, 3, 7 ou 8.
O presente estudo demonstra importantes propriedades numéricas de números terminados em 5 e seus respectivos números quadrados perfeitos para se gerarem números quadrados perfeitos, bem como, propriedades de números terminados em 0 (zero).
O estudo também cita o artigo do Professor Glewbber Spíndola Saraiva de Moura: Método alternativo para calcular o quadrado de um número através da adição e subtração.
Números retangulares são números que são produtos de 2 números consecutivos.
Exemplos:
a) 1 x 2 = 3
b) 2 x 3 = 6
c) 3 x 4 = 12
Números retangulares divididos por 2 têm como resultados números triangulares.
Exemplos:
a) ( 1 x 2 ) / 2 = 1
b) ( 2 x 3 ) / 2 = 3
c) ( 3 x 4 ) / 2 = 6
Números terminados em 5 apresentam uma interessante propriedade numérica quando elevados ao quadrado.
Números quadrados perfeitos terminados em 5 têm os dois últimos algarismos formando o número 25 e os algarismos iniciais formando números retangulares.
| Números Quadrados Perfeitos | ||||
| terminados em 5 | ||||
| ordem / | múltiplo de | quadrado | número | |
| posição | 5 | perfeito | retangular | |
| 1 | 5 | 25 | 25 | |
| 2 | 15 | 225 | 2 | 25 |
| 3 | 25 | 625 | 6 | 25 |
| 4 | 35 | 1225 | 12 | 25 |
| 5 | 45 | 2025 | 20 | 25 |
| 6 | 55 | 3025 | 30 | 25 |
| 7 | 65 | 4225 | 42 | 25 |
| 8 | 75 | 5625 | 56 | 25 |
| 9 | 85 | 7225 | 72 | 25 |
| 10 | 95 | 9025 | 90 | 25 |
| 11 | 105 | 11025 | 110 | 25 |
| 12 | 115 | 13225 | 132 | 25 |
| 13 | 125 | 15625 | 156 | 25 |
| 14 | 135 | 18225 | 182 | 25 |
| 15 | 145 | 21025 | 210 | 25 |
| 16 | 155 | 24025 | 240 | 25 |
| 17 | 165 | 27225 | 272 | 25 |
| 18 | 175 | 30625 | 306 | 25 |
| 19 | 185 | 34225 | 342 | 25 |
| 20 | 195 | 38025 | 380 | 25 |
| 21 | 205 | 42025 | 420 | 25 |
| 22 | 215 | 46225 | 462 | 25 |
| 23 | 225 | 50625 | 506 | 25 |
| 24 | 235 | 55225 | 552 | 25 |
| 25 | 245 | 60025 | 600 | 25 |
| 26 | 255 | 65025 | 650 | 25 |
| 27 | 265 | 70225 | 702 | 25 |
| 28 | 275 | 75625 | 756 | 25 |
| 29 | 285 | 81225 | 812 | 25 |
| 30 | 295 | 87025 | 870 | 25 |
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Separa-se o 1 do 5
Multiplica-se o 1 pelo seu consecutivo 2
1 x 2 = 2
Junta-se 2 com 25
225
Interessante observar que a soma dos números consecutivos 1 + 2 = 3
3 é um dos fatores da multiplicação 3 x 5 = 15
15 é a raiz quadrada de 225
Separa-se o 2 do 5
Multiplica-se o 2 pelo seu consecutivo 3
2 x 3 = 6
Junta-se 6 com 25
625
Interessante observar que a soma dos números consecutivos 2 + 3 = 5
5 é um dos fatores da multiplicação 5 x 5 = 25
25 é a raiz quadrada de 625
Separa-se o 3 do 5
Multiplica-se o 3 pelo seu consecutivo 4
3 x 4 = 12
Junta-se 12 com 25
1225
Interessante observar que a soma dos números consecutivos 3 + 4 = 7
7 é um dos fatores da multiplicação 5 x 7 = 35
35 é a raiz quadrada de 1225
Dado um número quadrado perfeito terminado em 25 é possível de se saber os números consecutivos que geraram o retangular que o acompanha na formação do quadrado, vejamos:
Número quadrado perfeito 87025
Separa-se 870 do 25
Monta-se a equação do segundo grau (Método de Completar Quadrados)
i) x . ( x + 1 ) = 870
ii) x2 + x + ( 1 / 2 )2 = 870 + ( 1 / 2 )2
iii) x2 + x + ( 1 / 4 ) = 870 + ( 1 / 4 )
iv) 4x2 + 4x + 1 = 3480 + 1
v) 4x2 + 4x + 1 = 3481
vi) ( 2x + 1 )2 = 3481
vii) 2x + 1 = ±√3481
viii) 2x + 1 = ± 59
ix) x' = ( + 59 - 1 ) / 2
x) x' = 29
xi) x'' = ( - 59 - 1 ) / 2
xii) x'' = - 30
1) o quádruplo de um número retangular somado 1 unidade tem como resultado um número quadrado perfeito;
i) (4 x 870) + 1 = 3481
ii) √3481 = 59
iii) ( 59 + 1 ) / 2 = 30
iv) ( 59 - 1 ) / 2 = 29
v) 29 x 30 = 870
2) extrai-se a raiz quadrada do número retangular e pega-se a parte inteira, no exemplo, o número 29 e multiplica-o pelo seu consecutivo;
i) √870 = 29,495
ii) 29 x 30 = 870
Observação: um número retangular é 1/2 unidade menor que a média aritmética entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.
29 x 29 = 841
30 x 30 = 900
( 841 + 900 ) / 2 = 870,5
As diferenças entre dois números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultado a sequência de números ímpares a partir de 3 ( 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...)
Exemplos:
a) 4 - 1 = 3
b) 9 - 4 = 5
c) 16 - 9 = 7
Números Quadrados Perfeitos 9 e 16
16 - 9 = 7
raiz de 9 = 3
raiz de 16 = 4
3 + 4 = 7
Número Quadrado Perfeito mais sua raiz quadrada e o consecutivo da raiz quadrada tem como resultado um quadrado perfeito.
9 + 3 + 4 = 16
Número Quadrado Perfeito menos sua raiz quadrada e o antecessor da raiz quadrada tem como resultado um quadrado perfeito.
16 - 4 - 3 = 9
No V CONEDU - Congresso Nacional de Educação, o Professor Glewbber Spíndola Saraiva de Moura apresentou o seguinte artigo: Método alternativo para calcular o quadrado de um número através da adição e subtração o qual foi originado da preparação de resumo para uma aula de matemática para uma turma da 7a série do ensino fundamental II, atual 80 do Ensino Fundamental no ano de 2002.
O Professor Glewbber, observando a tabela com os 10 primeiros números inteiros e seus respectivos quadrados...
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| n2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
..., constatou que a partir da primeira linha e do segundo valor e efetuando os seguintes cálculos:
12 = 1 + 0 + 02 = 1
22 = 2 + 1 + 12 = 4
32 = 3 + 2 + 22 = 9
42 = 4 + 3 + 32 = 16
...
102 = 10 + 9 + 92 = 100
geravam-se números quadrados perfeitos.
Para facilitar cálculos com números quadrados maiores, verificou que números terminados em 0 (zero) ao quadrado, tem quantidade de 0 (zero) em dobro:
102 = 100
202 = 400
302 = 900
402 = 1.600
502 = 2.500
...
1002 = 10.000
2002 = 40.000
3002 = 90.000
Por exemplo, para se calcular o quadrado do número 23, constrói-se uma tabela a partir do número 20 e seu respectivo quadrado...
| n | 20 | 21 | 22 | 23 |
| n2 | 400 | 441 | 484 | 529 |
202 = 400
212 = 21 + 20 + 400 = 441
222 = 22 + 21 + 441 = 484
232 = 23 + 22 + 484 = 529
O Professor Glewbber constatou que seria exaustivo gerar quadrados que estivessem afastados de números terminados em 0 (zero).
Utilizando-se das propriedades de números terminados em 5 e de seus respectivos quadrados descritos acima...
| n | 25 | 26 | 27 |
| n2 | 625 | 676 | 729 |
252 = 625
262 = 26 + 25 + 625 = 676
272 = 27 + 26 + 676 = 729
é possível gerar quadrados próximo a um quadrado perfeito terminado em 5 por meio de adições e gerar quadrados próximo a número quadrado perfeito terminado em 0 (zero) por meio de subtrações:
| n | 30 | 29 | 28 | 27 |
| n2 | 900 | 841 | 784 | 729 |
302 = 900
292 = 900 - 30 - 29 = 841
282 = 841 - 29 - 28 = 784
272 = 784 - 28 - 27 = 729
Interessante observar que no artigo do Professor Glewbber Spíndola Saraiva de Moura, em nenhum momento ele faz menção a diferença de quadrados / diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.
As regularidades numéricas que se seguem foram enviadas pelo Sr. David Dias Marques, Entusiasta Matemático e Colaborador do WebSite Os Fantásticos Números Primos, vejamos:
52 = 025
152 = 225
252 = 625
352 = 1225
452 = 2025
552 = 3025
652 = 4225
752 = 5625
852 = 7225
952 = 9025
1052 = 11025
...
...
...
Dissecando a relação, obtemos:
a) observe os seguintes produtos notáveis dos primeiros múltiplos de 5, em sucessão:
5 pode ser entendido como 5 + 0, logo:
( 5 + 0 )2 = ( 5 + 0 x 5 )2
15 pode ser entendido como 5 + 10. Observe que 10 é 5 × 2, logo:
( 5 + 10 )2 = ( 5 + 2 x 5 )2
25 pode ser entendido como 5 + 20, ou melhor, 5 + 5 × 4. Logo:
( 5 + 20 )2 = ( 5 + 4 x 5 )2
35 é 5 + 30, ou ainda, 5 + 5 × 6. Logo:
( 5 + 30 )2 = ( 5 + 6 x 5 )2
45 é percebido como 5 + 40, ou então,
5 + 8 × 5. Portanto:
( 5 + 40 )2= ( 5 + 8 x 5 )2
...
...
...
Desse modo podemos interpretar os padrões como sendo igual a:
( 5 + 2 x n x 5 )2
Simplificando:
( 5 x ( 1 + 2 x n ) )2
Distribuindo o expoente ao logo do produto, conseguimos:
52 x ( 2 x n + 1 )2
Ou ainda:
25 x ( 2 x n + 1 )2
Resolvendo o produto notável e multiplicando em seguida por 25, obteremos:
25 x ( 4 x n² + 4 x n + 1 )
E por fim:
100 x n2 + 100 x n + 25
Observação: os números constituídos por uma parte oblonga e terminação 25, são obtidos pelo produto de 25 pelo quadrado de um certo número ímpar. Sendo n (ene) um número inteiro maior igual a zero.
Com os exemplos expostos neste estudo, constata-se que número quadrado perfeito terminado com número 25 é uma concatenação de um número retangular com o próprio número 25.
Os números consecutivos cujos produtos são números retangulares e que acompanham quadrados terminados em 25, quando somados são um dos fatores que multiplicados por 5, é a raiz quadrada desse mesmo quadrado perfeito terminado em 25.
Autor: Ricardo Silva - março/2025
DANTE, Luiz Roberto, Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante.--3. ed -- São Paulo: Ática, 2009
MOURA, Glewbber Spíndola Saraiva de. Método alternativo para calcular o quadrado de um número através da adição e subtração. Anais V CONEDU... Campina Grande: Rea lize Editora, 2018. Disponível em:
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
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