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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Obtendo números quadrados perfeitos - 118

Quadrado perfeito é um número inteiro positivo que pode ser expresso como um quadrado de outro número inteiro positivo.

Todo número natural é a raiz de um quadrado perfeito, mas nem todo número natural é um número quadrado perfeito, não há quadrados perfeitos terminados em 2, 3, 7 ou 8.

Podem-se obter um quadrado perfeito das seguintes formas:

Multiplicando um número por ele mesmo

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

4 x 4 = 16

5 x 5 = 25

6 x 6 = 36

7 x 7 = 49

8 x 8 = 64

9 x 9 = 81

10 x 10 = 100

e assim sucessivamente...

Números quadrados perfeitos tem as seguintes terminações: 0, 1, 4, 5, 6, ou 9.

Não há números quadrados perfeitos terminados em 2, 3, 7 ou 8.

Elevando-se um número ao expoente 2 (ao quadrado)

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

e assim sucessivamente...

Somando-se números ímpares consecutivos

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

e assim sucessivamente...

Somando-se 2 números triangulares consecutivos

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

15 + 21 = 36

e assim sucessivamente...

Produtos notáveis (quadrado da soma)

Exemplo 1)

15² = 225

Por meio deste algorítmo da multiplicação, obtemos o produto de 15 por 15.

    1 5
    1 5
x    
    7 5
  1 5  
 
  2 2 5

Por meio do produto notável: o quadrado da soma, efetuando a seguinte expressão onde separamos em classes: unidades, dezenas, centenas, etc.. o número que se queira saber o seu quadrado.

exemplo 2)

15² = (10+5)²

= 10² + 2 x 10 x 5 + 5²

= 100 + 100 + 25

= 225

O quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo 3)

34² = 1156

Por meio deste algorítmo da multiplicação, obtemos o produto de 34 por 34.

3
4
    3 4
       
x
1
3
6
1
0
2
       
1
1
5
6

Por meio do produto notável quadrado da soma, efetuando a seguinte expressão onde decompomos em classes: unidades, dezenas, centenas, etc.. o número que se queira saber o seu quadrado.

34² = (30+4)²

= 30² + 2 x 30 x 4 + 4²

= 900 + 240 + 16

= 1156

O quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Produtos notáveis (quadrado da diferença)

Exemplo 1)

15² = 225

Por meio deste algorítmo da multiplicação, obtemos o produto de 15 por 15.

    1 5
    1 5
x    
    7 5
  1 5  
 
  2 2 5

Por meio do produto notável quadrado da diferença, efetuando a seguinte expressão onde separamos em classes: unidades, dezenas, centenas, etc., o número que se queira saber o seu quadrado, neste exemplo escolhemos um número terminado em 0 depois de 15 e a diferença entre 15 e o número terminado em 0.

15² = (20-5)²

= 20² - 2 x 20 x 5 + 5²

= 400 - 200 + 25

= 200 + 25

= 225

O quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo 2)

34² = 1156

Por meio deste algorítmo da multiplicação, obtemos o produto de 34 por 34.

3
4
3
4
x
1
3
6
1
0
2
1
1
5
6

Por meio do produto notável quadrado da diferença, efetuando a seguinte expressão onde separamos em classes: unidades, dezenas, centenas, etc., o número que se queira saber o seu quadrado, neste exemplo escolhemos um número terminado em 0 depois de 34 e a diferença entre 34 e o número terminado em 0.

34² = (40-6)²

= 40² - 2 x 40 x 6 + 4²

= 1600 - 480 + 36

= 1120 + 36

= 1156

O quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Outros métodos de obterem números quadrados perfeitos estão no livro digital OS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS, onde há um estudo inédito de sequências númericas embutidas na Tabuada de Pitágoras.

Autor: Ricardo Silva - maio/2016

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