Número Natural multiplicado por ele mesmo têm como resultado um número quadrado perfeito.
Todo número quadrado perfeito termina em: 1, 4, 5, 6, 9, ou 0, mas nem todo número natural que termina em: 1, 4, 5, 6, 9, ou 0 é um número quadrado perfeito.
Não há números quadrados perfeitos que terminem em 2, 3, 7 ou 8.
O presente estudo demonstra novos métodos para se reconhecer se determinado número é ou não um número quadrado perfeito, muito antes de se saber primeiro a sua raiz quadrada.
Podemos gerar número quadrado perfeito, por meio:
a) do produto de um número por ele mesmo;
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
b) de potênciação;
1² = 1
2² = 4
3² = 9
como também, por diversos outros métodos publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos.
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Subtraindo-se 1 unidade de um número ímpar igual ou maior que 9 terminado em 1, 5 ou 9 e cuja diferença também seja um número divisível por 4 e por 8, então, esse número ímpar é um número quadrado perfeito.
A diferença dividida por 4 tem como quociente um número retangular.
A diferença dividida por 8 tem como quociente um número triangular.
Exemplos:
a) número quadrado perfeito 9;
9 - 1 = 8
8 : 4 = 2 (número retangular)
8 : 8 = 1 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 2 é o dobro do triangular 1.
b) número quadrado perfeito 25;
25 - 1 = 24
24 : 4 = 6 (número retangular)
24 : 8 = 3 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 6 é o dobro do triangular 3.
c) número quadrado perfeito 49;
49 - 1 = 48
48 : 4 = 12 (número retangular)
48 : 8 = 6 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 12 é o dobro do triangular 6.
d) número quadrado perfeito 81;
81 - 1 = 80
80 : 4 = 20 (número retangular)
80 : 8 = 10 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 20 é o dobro do triangular 10.
e) número quadrado perfeito 121;
121 - 1 = 120
120 : 4 = 30 (número retangular)
120 : 8 = 15 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 30 é o dobro do triangular 15.
Efetuando-se divisões de um número quadrado perfeito ímpar igual ou maior que 9 por 4 e 8, os quocientes são números decimais exatos, e suas partes inteiras correspondem aos próprios números retângulares e triângulares.
Interessante observar que na divisão por 4, nos números decimais após a vígula é sempre 25 e na divisão por 8, após a vígula é sempre 125.
| Números Quadrados Perfeitos ìmpares | |||
| e | |||
| divisões por 4 e 8 | |||
| raiz | quadrado | divisão | divisão |
| 4 | 8 | ||
| 1 | 1 | 0,25 | 0,125 |
| 3 | 9 | 2,25 | 1,125 |
| 5 | 25 | 6,25 | 3,125 |
| 7 | 49 | 12,25 | 6,125 |
| 9 | 81 | 20,25 | 10,125 |
| 11 | 121 | 30,25 | 15,125 |
| 13 | 169 | 42,25 | 21,125 |
| 15 | 225 | 56,25 | 28,125 |
| 17 | 289 | 72,25 | 36,125 |
| 19 | 361 | 90,25 | 45,125 |
| 21 | 441 | 110,25 | 55,125 |
| 23 | 529 | 132,25 | 66,125 |
| 25 | 625 | 156,25 | 78,125 |
| 27 | 729 | 182,25 | 91,125 |
| 29 | 841 | 210,25 | 105,125 |
| 31 | 961 | 240,25 | 120,125 |
| 33 | 1089 | 272,25 | 136,125 |
| 35 | 1225 | 306,25 | 153,125 |
| 37 | 1369 | 342,25 | 171,125 |
| 39 | 1521 | 380,25 | 190,125 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Exemplo 1) Quadrado 9 dividido por 4 e 8
| raiz | quadrado | divisão | divisão |
| 4 | 8 | ||
| 3 | 9 | 2,25 | 1,125 |
A parte inteira (2) do número decimal 2,25 é um número retangular.
A parte inteira (1) do número decimal 1,125 é um número triangular.
Exemplo 2) Quadrado 25 dividido por 4 e 8
| raiz | quadrado | divisão | divisão |
| 4 | 8 | ||
| 5 | 25 | 6,25 | 3,125 |
A parte inteira (6) do número decimal 6,25 é um número retangular.
A parte inteira (3) do número decimal 3,125 é um número triangular.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas !
Número par cuja soma dos algarismos seja um número divisível por 3 e por 9 e também se esse número par for divisível por 4, então, é um número quadrado perfeito.
Exemplos:
a) número quadrado perfeito 36;
soma dos algarismos: 3 + 6 = 9
36 : 3 = 12
36 : 9 = 4 (número quadrado)
36 também é divisível por 4
36 : 4 = 9 (número quadrado)
√36 = 6
b) número quadrado perfeito 144;
soma dos algarismos: 1 + 4 + 4 = 9
144 : 3 = 48
144 : 9 = 16 (número quadrado)
144 também é divisível por 4
144 : 4 = 36 (número quadrado)
√144 = 12
c) número quadrado perfeito 324
soma dos algarismos: 3 + 2 + 4 = 9
324 : 3 = 108
324 : 9 = 36 (número quadrado)
324 também é divisível por 4
324 : 4 = 81 (número quadrado)
√324 = 18
d) número quadrado perfeito 576
soma dos algarismos: 5 + 7 + 6 = 18
576 : 3 = 192
576 : 9 = 64 (número quadrado)
576 também é divisível por 4
576 : 4 = 144 (número quadrado)
√144 = 12
Observação importante: nas divisões por 9 e 4, os quocientes são números quadrados perfeitos.
Interessante observar que as raízes quadradas são múltiplos de 6 e formam uma progressão aritmética (P.A):
√36 = 6
√144 = 12
√324 = 18
√576 = 24
√900 = 30
√1296 = 36
Números pares cujas somas dos algarismos não são divisíveis por 3 e por 9, mas atende o critério de divisibilidade por 4, são números de 2 tipos e com as seguintes características:
Potências de base 2 são números divisíveis por 2.
Potências de base 2 são números divisíveis por 4 a partir da potência 4.
1 unidade subtraída de uma potência de base 2 têm como resultado número quase potência de base 2, ou também, números denominados de Números de Mesenne.
Na prática os números quase potências de base 2 são as somas dos divisores próprios de uma potência de base 2.
Para mais informações, veja abaixo, matérias relacionadas!
Exemplos:
a) 2 - 1 = 1
b) 4 - 1 = 3
c) 8 - 1 = 7
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255,... são números quase potências de base 2 / Números de Mersenne / somas de divisores próprios de potências de base 2.
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255,... são números de 1 unidade menor de uma potência de base 2.
Exemplos:
a) número quadrado perfeito 196
a soma dos algarismos: 1 + 9 + 6 = 16, não é divisível por 3 e nem por 9, mas 196 é divisível por 4.
196 : 4 = 49
Interessante observar que:
7 x 7 = 49 (quadrado perfeito)
7 é primo.
14 x 14 = 196 (quadrado perfeito)
b) número quadrado perfeito 484
a soma dos algarismos: 4 + 8 + 4 = 16, não é divisível por 3 e nem por 9, mas 484 é divisível por 4.
484 : 4 = 121
Interessante observar que:
11 x 11 = 121 (quadrado perfeito)
11 é primo.
22 x 22 = 484 (quadrado perfeito)
c) número quadrado perfeito 676
a soma dos algarismos: 6 + 7 + 6 = 19, não é divisível por 3 e nem por 9, mas 676 é divisível por 4.
676 : 4 = 169
Interessante observar que:
13 x 13 = 169 (quadrado perfeito)
13 é primo.
26 x 26 = 676 (quadrado perfeito)
d) número quadrado perfeito 784
a soma dos algarismos: 7 + 8 + 4 = 19, não é divisível por 3 e nem por 9, mas 784 é divisível por 4.
784 : 4 = 196
Interessante observar que:
14 x 14 = 196 (quadrado perfeito)
28 x 28 = 676 (quadrado perfeito)
e) número quadrado perfeito 1156
a soma dos algarismos: 1 + 1 + 5 + 6 = 13, não é divisível por 3 e nem por 9, mas 1156 é divisível por 4.
1156 : 4 = 289
Interessante observar que:
17 x 17 = 289 (quadrado perfeito)
17 é primo.
34 x 34 = 1156 (quadrado perfeito)
f) número quadrado perfeito 1444
a soma dos algarismos: 1 + 4 + 4 + 4 = 13, não é divisível por 3 e nem por 9, mas 1444 é divisível por 4.
1444 : 4 = 361
Interessante observar que:
19 x 19 = 361 (quadrado perfeito)
19 é primo.
38 x 38 = 1444 (quadrado perfeito)
Querendo-se saber se determinado número é ou não um número quadrado perfeito, pelos exemplos demonstrados, não há a necessidade de se utilizar o algoritmo Decomposição em Fatores Primos ou quaisquer outros.
Querendo-se saber a raiz quadrada de determinado número, há sim, a necessidade de se utilizar algoritmos específicos para esse fim.
Os métodos aqui apresentados para se reconhecer números quadrados perfeitos, apresentam etapas que auxiliam no raciocínio lógico e matemático, bem como, ajudam a entender diversos outros conceitos matemáticos como também a conhecer relações entre sequências numéricas famosas.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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