Número quadrado perfeito é um número que multiplicado por ele mesmo tem como resultado um número inteiro e que extraída a sua raiz quadrada o resultado também é um número inteiro.
Neste estudo são apresentadas novas propriedades relacionadas às Potências de Base 2 com números números primos, números compostos, bem como, com números quadrados perfeitos quádruplos.
No estudo:
011-estudos-482-metodos-para-se-reconher-numeros-quadrados-perfeitos
são apresentados 4 métodos de como se reconher um número quadrado perfeito, entre eles:
Números quadrados (que não são potências de base 2) e cuja soma dos algarismos não são múltiplos de 3 e de 9.
Recentemente recebi um e-mail do Sr. Ari Costa (Entusiasta Matemático), onde ele expõe um exemplo, tendo como base o referido estudo acima, dividindo quadrados sucessivamente por 4:
3136 : 4 = 784
784 : 4 = 196
196 : 4 = 49
e conjecturando: "se soubermos a raiz de 49, saberemos a raiz de 3136", pois:
7 x 7 = 49
14 x 14 = 196
28 x 28 = 784
56 x 56 = 3136
Após análises e testes realizado, chegou-se aos seguintes resultados:
Os produtos do número primo 2 por potências de base 2 têm como resultados raízes quadradas de quadrados quádruplos (quadrados 4 vezes o seu antecessor).
As raízes têm valores duplicados e os quadrados quadruplicados.
O números quadrados perfeitos tem números finais 4 e 6.
| Potências de base 2 | ||||
| e o número primo 2 | ||||
| número | potência | produto | quadrado | divisão |
| raiz | base 2 | raiz | por 4 | |
| 2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
| 2 | 2 | 4 | 16 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 64 | 16 |
| 2 | 8 | 16 | 256 | 64 |
| 2 | 16 | 32 | 1024 | 256 |
| 2 | 32 | 64 | 4096 | 1024 |
| 2 | 64 | 128 | 16384 | 4096 |
| 2 | 128 | 256 | 65536 | 16384 |
| 2 | 256 | 512 | 262144 | 65536 |
| 2 | 512 | 1024 | 1048576 | 262144 |
| 2 | 1024 | 2048 | 4194304 | 1048576 |
| 2 | 2048 | 4096 | 16777216 | 4194304 |
| 2 | 4096 | 8192 | 67108864 | 16777216 |
| 2 | 8192 | 16384 | 268435456 | 67108864 |
| 2 | 16384 | 32768 | 1073741824 | 268435456 |
| 2 | 32768 | 65536 | 4294967296 | 1073741824 |
| 2 | 65536 | 458752 | 17179869184 | 4294967296 |
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Os produtos do número primo 3 por potências de base 2 têm como resultados raízes quadradas de quadrados quádruplos (quadrados 4 vezes o seu antecessor).
As raízes têm valores duplicados e os quadrados quadruplicados.
O números quadrados perfeitos tem números finais 4 e 6 a partir da potência 2.
| Potências de base 2 | ||||
| e o número primo 3 | ||||
| número | potência | produto | quadrado | divisão |
| raiz | base 2 | raiz | por 4 | |
| 3 | 1 | 3 | 9 | 2,25 |
| 3 | 2 | 6 | 36 | 9 |
| 3 | 4 | 12 | 144 | 36 |
| 3 | 8 | 24 | 576 | 144 |
| 3 | 16 | 48 | 2304 | 576 |
| 3 | 32 | 96 | 9216 | 2304 |
| 3 | 64 | 192 | 36864 | 9216 |
| 3 | 128 | 384 | 147456 | 36864 |
| 3 | 256 | 768 | 589824 | 147456 |
| 3 | 512 | 1536 | 2359296 | 589824 |
| 3 | 1024 | 3072 | 9437184 | 2359296 |
| 3 | 2048 | 6144 | 37748736 | 9437184 |
| 3 | 4096 | 12288 | 150994944 | 37748736 |
| 3 | 8192 | 24576 | 603979776 | 150994944 |
| 3 | 16384 | 49152 | 2415919104 | 603979776 |
| 3 | 32768 | 98304 | 9663676416 | 2415919104 |
| 3 | 65536 | 196608 | 38654705664 | 9663676416 |
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Os produtos do número primo 5 por potências de base 2 têm como resultados raízes quadradas de quadrados quádruplos (quadrados 4 vezes o seu antecessor).
As raízes têm valores duplicados e os quadrados quadruplicados.
O números quadrados perfeitos tem números finais 0 a partir da potência 2.
| Potências de base 2 | ||||
| e o número primo 5 | ||||
| número | potência | raiz | quadrado | divisão |
| raiz | base 2 | por 4 | ||
| 5 | 1 | 5 | 25 | 6,25 |
| 5 | 2 | 10 | 100 | 25 |
| 5 | 4 | 20 | 400 | 100 |
| 5 | 8 | 40 | 1600 | 400 |
| 5 | 16 | 80 | 6400 | 1600 |
| 5 | 32 | 160 | 25600 | 6400 |
| 5 | 64 | 320 | 102400 | 25600 |
| 5 | 128 | 640 | 409600 | 102400 |
| 5 | 256 | 1280 | 1638400 | 409600 |
| 5 | 512 | 2560 | 6553600 | 1638400 |
| 5 | 1024 | 5120 | 26214400 | 6553600 |
| 5 | 2048 | 10240 | 104857600 | 26214400 |
| 5 | 4096 | 20480 | 419430400 | 104857600 |
| 5 | 8192 | 40960 | 1677721600 | 419430400 |
| 5 | 16384 | 81920 | 6710886400 | 1677721600 |
| 5 | 32768 | 163840 | 26843545600 | 6710886400 |
| 5 | 65536 | 327680 | 1,07374E+11 | 26843545600 |
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Os produtos do número primo 7 por potências de base 2 têm como resultados raízes quadradas de quadrados quádruplos (quadrados 4 vezes o seu antecessor).
As raízes têm valores duplicados e os quadrados quadruplicados.
O números quadrados perfeitos tem números finais 4 e 6 a partir da potência 2.
| Potências de base 2 | ||||
| e o número primo 7 | ||||
| número | potência | produto | quadrado | divisão |
| raiz | base 2 | raiz | por 4 | |
| 7 | 1 | 7 | 49 | 12,25 |
| 7 | 2 | 14 | 196 | 49 |
| 7 | 4 | 28 | 784 | 196 |
| 7 | 8 | 56 | 3136 | 784 |
| 7 | 16 | 112 | 12544 | 3136 |
| 7 | 32 | 224 | 50176 | 12544 |
| 7 | 64 | 448 | 200704 | 50176 |
| 7 | 128 | 896 | 802816 | 200704 |
| 7 | 256 | 1792 | 3211264 | 802816 |
| 7 | 512 | 3584 | 12845056 | 3211264 |
| 7 | 1024 | 7168 | 51380224 | 12845056 |
| 7 | 2048 | 14336 | 205520896 | 51380224 |
| 7 | 4096 | 28672 | 822083584 | 205520896 |
| 7 | 8192 | 57344 | 3288334336 | 822083584 |
| 7 | 16384 | 114688 | 13153337344 | 3288334336 |
| 7 | 32768 | 229376 | 52613349376 | 13153337344 |
| 7 | 65536 | 458752 | 2,10453E+11 | 52613349376 |
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Os produtos do número primo 997 por potências de base 2 têm como resultados raízes quadradas de quadrados quádruplos (quadrados 4 vezes o seu antecessor).
As raízes têm valores duplicados e os quadrados quadruplicados.
O números quadrados perfeitos tem números finais 4 e 6 a partir da potência 2.
| Potências de base 2 | ||||
| e o número primo 997 | ||||
| número | potência | produto | quadrado | divisão |
| raiz | base 2 | raiz | por 4 | |
| 997 | 1 | 997 | 994009 | 248502,25 |
| 997 | 2 | 1994 | 3976036 | 994009 |
| 997 | 4 | 3988 | 15904144 | 3976036 |
| 997 | 8 | 7976 | 63616576 | 15904144 |
| 997 | 16 | 15952 | 254466304 | 63616576 |
| 997 | 32 | 31904 | 1017865216 | 254466304 |
| 997 | 64 | 63808 | 4071460864 | 1017865216 |
| 997 | 128 | 127616 | 16285843456 | 4071460864 |
| 997 | 256 | 255232 | 65143373824 | 16285843456 |
| 997 | 512 | 510464 | 2,60573E+11 | 65143373824 |
| 997 | 1024 | 1020928 | 1,04229E+12 | 2,60573E+11 |
| 997 | 2048 | 2041856 | 4,16918E+12 | 1,04229E+12 |
| 997 | 4096 | 4083712 | 1,66767E+13 | 4,16918E+12 |
| 997 | 8192 | 8167424 | 6,67068E+13 | 1,66767E+13 |
| 997 | 16384 | 16334848 | 2,66827E+14 | 6,67068E+13 |
| 997 | 32768 | 32669696 | 1,06731E+15 | 2,66827E+14 |
| 997 | 65536 | 65339392 | 4,26924E+15 | 1,06731E+15 |
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Os produtos do número composto 333 por potências de base 2 têm como resultados raízes quadradas de quadrados quádruplos (quadrados 4 vezes o seu antecessor).
As raízes têm valores duplicados e os quadrados quadruplicados.
O números quadrados perfeitos tem números finais 4 e 6 a partir da potência 2.
| Potências de base 2 | ||||
| e o número composto 333 | ||||
| número | potência | produto | quadrado | divisão |
| raiz | base 2 | raiz | por 4 | |
| 333 | 1 | 333 | 110889 | 27722,25 |
| 333 | 2 | 666 | 443556 | 110889 |
| 333 | 4 | 1332 | 1774224 | 443556 |
| 333 | 8 | 2664 | 7096896 | 1774224 |
| 333 | 16 | 5328 | 28387584 | 7096896 |
| 333 | 32 | 10656 | 113550336 | 28387584 |
| 333 | 64 | 21312 | 454201344 | 113550336 |
| 333 | 128 | 42624 | 1816805376 | 454201344 |
| 333 | 256 | 85248 | 7267221504 | 1816805376 |
| 333 | 512 | 170496 | 29068886016 | 7267221504 |
| 333 | 1024 | 340992 | 1,16276E+11 | 29068886016 |
| 333 | 2048 | 681984 | 4,65102E+11 | 1,16276E+11 |
| 333 | 4096 | 1363968 | 1,86041E+12 | 4,65102E+11 |
| 333 | 8192 | 2727936 | 7,44163E+12 | 1,86041E+12 |
| 333 | 16384 | 5455872 | 2,97665E+13 | 7,44163E+12 |
| 333 | 32768 | 10911744 | 1,19066E+14 | 2,97665E+13 |
| 333 | 65536 | 21823488 | 4,76265E+14 | 1,19066E+14 |
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Efetuando-se divisões de um número quadrado perfeito ímpar igual ou maior que 9 por 4 e 8, os quocientes são números decimais exatos, e suas partes inteiras correspondem aos próprios números retangulares e triangulares.
Interessante observar que na divisão por 4, nos números decimais após a vígula é sempre 25 e na divisão por 8, após a vígula é sempre 125.
| Números Quadrados Perfeitos ìmpares | |||
| e | |||
| divisões por 4 e 8 | |||
| raiz | quadrado | divisão | divisão |
| 4 | 8 | ||
| 1 | 1 | 0,25 | 0,125 |
| 3 | 9 | 2,25 | 1,125 |
| 5 | 25 | 6,25 | 3,125 |
| 7 | 49 | 12,25 | 6,125 |
| 9 | 81 | 20,25 | 10,125 |
| 11 | 121 | 30,25 | 15,125 |
| 13 | 169 | 42,25 | 21,125 |
| 15 | 225 | 56,25 | 28,125 |
| 17 | 289 | 72,25 | 36,125 |
| 19 | 361 | 90,25 | 45,125 |
| 21 | 441 | 110,25 | 55,125 |
| 23 | 529 | 132,25 | 66,125 |
| 25 | 625 | 156,25 | 78,125 |
| 27 | 729 | 182,25 | 91,125 |
| 29 | 841 | 210,25 | 105,125 |
| 31 | 961 | 240,25 | 120,125 |
| 33 | 1089 | 272,25 | 136,125 |
| 35 | 1225 | 306,25 | 153,125 |
| 37 | 1369 | 342,25 | 171,125 |
| 39 | 1521 | 380,25 | 190,125 |
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Exemplo 1) Quadrado 9 dividido por 4 e 8
| raiz | quadrado | divisão | divisão |
| 4 | 8 | ||
| 1 | 1 | 0,25 | 0,125 |
| 3 | 9 | 2,25 | 1,125 |
A parte inteira (2) do número decimal 2,25 é um número retangular.
A parte inteira (1) do número decimal 1,125 é um número triangular.
Exemplo 2) Quadrado 25 dividido por 4 e 8
| raiz | quadrado | divisão | divisão |
| 4 | 8 | ||
| 5 | 25 | 6,25 | 3,125 |
A parte inteira (6) do número decimal 6,25 é um número retangular.
A parte inteira (3) do número decimal 3,125 é um número triangular.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas !
Números quadrados perfeitos pares terminados em 0, 4 ou 6 podem ser divididos sucessivamente por 4.
Não sendo mais possível a divisão inteira ou (a unidade, no caso das Potências de Base 2), então esse último dividendo, ou é um quadrado perfeito de número primo ou de um número composto.
Para se saber a raiz quadrada de um número, pode se utilizar o Método de Decomposição em Fatores Primos.
Para mais informações veja o estudo:
011-estudos-494-potencias-base-2-e-numeros-quadrados-perfeitos
Autores: Ricardo Silva e Ari Costa - junho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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