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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma de potências e regularidades numéricas - 307

Potenciação é a operação matemática que indica uma multiplicação de fatores iguais:

3 x 3 = 3² = 9

3 x 3 x 3 = 3³ = 27

Os termos de uma potenciação são:

3³ = 27

3: base

3: expoente

27: potência

O presente estudo demonstra regularidades numéricas relacionadas às somas de potências consecutivas cujas bases são números naturais.

Escolhendo-se determinada potência, subtraindo 1 unidade e dividindo por um número de 1 unidade menor que essa base é possível determinar somas de potências consecutivas de números naturais.

Potências de base 2

20 = 1

21 = 2

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Soma de potências de base 2

A soma de potências consecutivas de base 2 têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 2 apresenta o mesmo resultado da soma de divisores próprios de cada potência de base 2.

Observação importante: potências de base 2 também são denominadas de números quase-perfeitos, por apresentarem uma caracteristica especial, de que as somas dos divisores próprios serem 1 unidade menor que cada umas de suas potências.

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 4 = 7

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1.023

A soma das 3 primeiras potências de base 2

1 + 2 + 4 = 7

Podemos também obter a soma 7 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade.

23 - 1
8 - 1
7

Potências de base 3

30 = 1 

31 = 3

32 = 9

33 = 27

34 = 81 

35 = 243

36 = 729

37 = 2.187

38  = 6.561

39  = 19.683

310  = 59.049

Somas de potências de base 3

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 9 = 13

1 + 3 + 9 + 27 = 40

1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1.093

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 = 3.280

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 + 6.561 = 9.841

A soma de potências consecutivas de base 3 têm como resultados números ímpares e pares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 3 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 2.

A soma das 3 primeiras potências de base 3

1 + 3 + 9 = 13

Podemos também obter a soma 13 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por 2.

33 - 1
_____
2
27 - 1
_____
2
26
_____
2
13

Potências de base 4

40 = 1 

41 = 4

42 = 16

43 = 64

44 = 256 

45 = 1.024

46 = 4.096

47 = 16.384

48  = 65.536

49  = 262.144

410  = 1.048.576

Somas de potências de base 4

1

1 + 4 = 5

1 + 4 + 16 = 21

1 + 4 + 16 + 64 = 85

1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341

1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1.024= 1.365

1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1.024 + 4.096 = 5.461

1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1.024 + 4.096 + 16.384 = 21.845

A soma de potências consecutivas de base 4 têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 4 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 3.

A soma das 3 primeiras potências de base 4

1 + 4 + 16 = 21

Podemos também obter a soma 21 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por 3.

43 - 1
_____
3
64 - 1
_____
3
63
_____
3
21

Potências de base 5

50 = 1 

51 = 5

52 = 25

53 = 125

54 = 625 

55 = 3.125

56 = 15.625

57 = 78.125

58  = 390.625

59  = 1.953.125

510  = 9.765.625

Somas de potências de base 5

1

1 + 5 = 6

1 + 5 + 25 = 31

1 + 5 + 25 + 125 = 156

1 + 5 + 25 + 125 + 625 = 781

1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 = 3.906

1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 = 19.531

1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 + 78.125 = 97.656

A soma de potências consecutivas de base 5 têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 5 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 4.

A soma das 3 primeiras potências de base 5

1 + 5 + 25 = 31

Podemos também obter a soma 31 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por 4.

53 - 1
_____
4
125 - 1
_____
4
124
_____
4
31

Potências de base 6

60 = 1 

61 = 6

62 = 36

63 = 216

64 = 1.296 

65 = 7.776

66 = 46.656

67 = 279.936

68  = 1.679.616

69  = 10.077.696

610  = 60.466.176

Somas de potências de base 6

1

1 + 6 = 7

1 + 6 + 36 = 43

1 + 6 + 36 + 216 = 259

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 = 1.555

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + 7776 = 9.331

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + 7776 + 46656 = 55.987

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + 7776 + 46656 + 279936 = 335.923

A soma de potências consecutivas de base 6 têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 6 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 5.

A soma das 3 primeiras potências de base 6

1 + 6 + 36 = 43

Podemos também obter a soma 43 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por 5.

63 - 1
_____
5
216 - 1
_____
5
215
_____
5
43

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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