capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma de potências e regularidades numéricas - 307

Potenciação é a operação matemática que indica uma multiplicação de fatores iguais:

3 x 3 = 3² = 9

3 x 3 x 3 = 3³ = 27

Os termos de uma potenciação são:

3³ = 27

3: base

³: expoente

27: potência

O presente estudo demonstra regularidades numéricas relacionadas às somas de potências consecutivas cujas bases são números naturais.

Escolhendo-se determinada potência, subtraindo 1 unidade e dividindo por um número de 1 unidade menor que essa base é possível determinar somas de potências consecutivas de números naturais.

Potências de base 2

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 2 x 2 = 4

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Soma de potências de base 2

A soma de potências de base 2 consecutivas têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências de base 2 consecutivas apresenta o mesmo resultado da soma de divisores próprios de cada potência de base 2.

Observação importante: potências de base 2 também são denominadas de números quase-perfeitos, por apresentarem uma caracteristica especial, de que as somas dos divisores próprios serem 1 unidade menor que cada umas de suas potências.

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 4 = 7

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1.023

A soma das 3 primeiras potências de base 2

1 + 2 + 4 = 7

Podemos também obter a soma 7 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 1.

2³ - 1

_____

1

8 - 1

_____

1

7

___

1

7

Potências de base 3

3⁰ = 1

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

3⁶ = 729

3⁷ = 2.187

3⁸ = 6.561

3⁹ = 19.683

3¹⁰ = 59.049

Somas de potências de base 3

1 + 3 = 4

1 + 3 + 9 = 13

1 + 3 + 9 + 27 = 40

1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1.093

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 = 3.280

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2.187 + 6.561 = 9.841

A soma de potências consecutivas de base 3 têm como resultados números ímpares e pares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 3 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 2.

A soma das 3 primeiras potências de base 3

1 + 3 + 9 = 13

Podemos também obter a soma 13 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 2.

3³ - 1

_____

27 - 1

_____

Potências de base 4

4⁰ = 1

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1.024

4⁶ = 4.096

4⁷ = 16.384

4⁸ = 65.536

4⁹ = 262.144

4¹⁰ = 1.048.576

Somas de potências de base 4

1 + 4 = 5

1 + 4 + 16 = 21

1 + 4 + 16 + 64 = 85

1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341

1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1.024= 1.365

1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1.024 + 4.096 = 5.461

1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1.024 + 4.096 + 16.384 = 21.845

A soma de potências consecutivas de base 4 têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 4 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 3.

A soma das 3 primeiras potências de base 4

1 + 4 + 16 = 21

Podemos também obter a soma 21 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 3.

4³ - 1

_____

64 - 1

_____

Potências de base 5

5⁰ = 1

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125

5⁴ = 625

5⁵ = 3.125

5⁶ = 15.625

5⁷ = 78.125

5⁸ = 390.625

5⁹ = 1.953.125

5¹⁰ = 9.765.625

Somas de potências de base 5

1 + 5 = 6

1 + 5 + 25 = 31

1 + 5 + 25 + 125 = 156

1 + 5 + 25 + 125 + 625 = 781

1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 = 3.906

1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 = 19.531

1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3.125 + 15.625 + 78.125 = 97.656

A soma de potências consecutivas de base 5 têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 5 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 4.

A soma das 3 primeiras potências de base 5

1 + 5 + 25 = 31

Podemos também obter a soma 31 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 4.

5³ - 1

_____

125 - 1

_____

124

_____

Potências de base 6

6⁰ = 1

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

6⁴ = 1.296

6⁵ = 7.776

6⁶ = 46.656

6⁷ = 279.936

6⁸ = 1.679.616

6⁹ = 10.077.696

6¹⁰ = 60.466.176

Somas de potências de base 6

1 + 6 = 7

1 + 6 + 36 = 43

1 + 6 + 36 + 216 = 259

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 = 1.555

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + 7776 = 9.331

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + 7776 + 46656 = 55.987

1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + 7776 + 46656 + 279936 = 335.923

A soma de potências consecutivas de base 6 têm como resultados números ímpares e entre eles números primos.

A soma de potências consecutivas de base 6 é igual a uma potência posterior, subtraída de 1 unidade e dividida por 5.

A soma das 3 primeiras potências de base 6

1 + 6 + 36 = 43

Podemos também obter a soma 43 através do seguinte método:

Potência posterior subtraída de 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 5.

6³ - 1

_____

216 - 1

_____

215

_____

Novas fórmulas de soma de n termos de Progressão Geométrica

No livro digital Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs são apresentadas novos métodos e fórmulas exclusivas para saber a soma de n termos de Progressões Geométricas.

Autor: Ricardo Silva - novembro/2020