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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potências de base 2 e somas de progressões geométricas - 306

Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo anterior multiplicado por um número constante denominado de razão.

O presente estudo demonstra regularidades numéricas relacionadas às potências de base 2 com as somas de outras progressões geométricas cujos primeiros termos são números naturais maior que 1 e suas razões 2.

Potências de base 2

Obtêm-se potências de base 2 elevando o número 2 a expoentes com números naturais ou através da multiplicação cujos fatores é o próprio número 2.

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 2 x 2 = 4

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Potências de base 2 e soma se seus termos

As somas de potências de base 2 consecutivas têm como resultado números ímpares de 1 unidade menor de uma potência de base 2.

Observação importante: potências de base 2 também são denominadas de números quases perfeitos, por apresentarem uma característica especial, de que as somas dos divisores próprios serem 1 unidade menor que cada umas de suas potências.

Nos estudos aqui publicados bem como no livro digital Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de soma de PAs e PGs, as somas dos divisores próprios de potências de base 2 são denominados de Números Quase Potências de base 2.

1 + 2 = 3

1 + 2 + 4 = 7

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023

Potências de base 2 e progressão geométrica - primeiro termo 2 e razão 2

Progressão Geométrica cujo primeiro termo é 2 e razão 2.

Progressão Geométrica
primeiro termo 2
razão 2

ordem/	Termos
posição

1º	2

2º	4

3º	8

4º	16

5º	32

6º	64

7º	128

8º	256

9º	512

10º	1024

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As somas de termos consecutivos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e razão 2 divididas pelo primeiro termo têm como resultados somas de potências de base 2.

Soma de termos consecutivos
da progressão geométrica
primeiro termo 2 - razão 2
			soma
			potências
n		soma	base 2

1	2	2 : 2	1

2	2 + 4	6 : 2	3

3	2 + 4 + 8	14 : 2	7

4	2 + 4 + 8 + 16	30 : 2	15

5	2 + 4 + 8 + 16 + 32	62 : 2	31

6	2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64	126 : 2	63

7	2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128	254 : 2	127

8	2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256	510 : 2	255


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Fórmula da soma de uma Progressão Geométrica Finita

Deseja se saber a soma dos 8 primeiros termos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e razão 2, para isso pode ser utilizada a seguinte fórmula algébrica.

				1 - qⁿ
Sn	=	a1	x	______
				1 - q

				1 - 2⁸
S₈	=	2	x	______
				1 - 2

				1 - 256
S₈	=	2	x	______
				1 - 2

				255
S₈	=	2	x	______
				1


S₈	=	2	x	255


S₈	=	510

A soma dos termos da progressão geométrica é 510.

	Progessão geométrica
	primeiro termo 2
	razão 2

	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

soma dos		6	14	30	62	126	254	510	1022	2046
termos

Potências de base 2 e progressão geométrica - primeiro termo 3 e razão 2

Progressão Geométrica cujo primeiro termo é 3 e razão 2.

Progressão Geométrica
primeiro termo 3
razão 2

ordem/	Termos
posição

1º	3

2º	6

3º	12

4º	24

5º	48

6º	96

7º	192

8º	384

9º	768

10º	1536

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As somas de termos consecutivos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 3 e razão 2 divididas pelo primeiro termo têm como resultados somas de potências de base 2.

Soma de termos consecutivos
da progressão geométrica
primeiro termo 3 - razão 2
			soma
			potências
n		soma	base 2

1	3	3 : 3	1

2	3 + 6	9 : 3	3

3	3 + 6 + 12	21 : 3	7

4	3 + 6 + 12 + 24	45 : 3	15

5	3 + 6 + 12 + 24 + 48	93 : 3	31

6	3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96	189 : 3	63

7	3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192	381 : 3	127

8	3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384	765 : 3	255


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	Progessão geométrica
	primeiro termo 3
	razão 2

	3	6	12	24	48	96	192	384	768	1536

soma dos		9	21	45	93	189	381	765	1533
termos

Tabuada de somas de progressões geométricas

A Tabuada de Somas de Progressões Geométricas demonstra de forma sintética as somas de progressões geométricas cujos primeiros termos são dos números 2 a 10.

Querendo se saber por exemplo as somas de cada uma das sub-sequências dos dobros de 2 (múltiplos de 2 ) cujas quantidades de termos são de 1 a 10, veja a intersecção entre o número 2 e um número cuja soma é de potência de base 2, istó e, o produto de 2 por um número quase potência de base 2.

Tabuada de somas
de progressões geométricas

	quantidade de termos
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	quase potência de base 2
	1	3	7	15	31	63	127	255	511
números
naturais
2	2	6	14	30	62	126	254	510	1022

3	3	9	21	45	93	189	381	765	1533

4	4	12	28	60	124	252	508	1020	2044

5	5	15	35	75	155	315	635	1275	2555

6	6	18	42	90	186	378	762	1530	3066

7	7	21	49	105	217	441	889	1785	3577

8	8	24	56	120	248	504	1016	2040	4088

9	9	27	63	135	279	567	1143	2295	4599

10	10	30	70	150	310	630	1270	2550	5110

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Novas fórmulas de soma de n termos de Progressão Geométrica

No livro digital Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs são apresentadas novos métodos e fórmulas exclusivas para saber a soma de n termos de Progressões Geométricas.

Autor: Ricardo Silva - novembro/2020