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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potências de base 2 e somas de progressões geométricas - 306

Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo anterior multiplicado por um número constante denominado de razão.

O presente estudo demonstra regularidades numéricas relacionadas às potências de base 2 com as somas de outras progressões geométricas cujos primeiros termos são números naturais e suas razões 2.

Potências de base 2

Obtêm-se potências de base 2 elevando o número 2 a expoentes com números naturais ou através da multiplicação cujos fatores é o próprio número 2.

20 = 1

21 = 2

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Potências de base 2 e soma se seus termos

As somas de potências de base 2 consecutivas têm como resultado números ímpares de 1 unidade menor de uma potência de base 2.

Observação importante: potências de base 2 também são denominadas de números quases perfeitos, por apresentarem uma característica especial, de que as somas dos divisores próprios serem 1 unidade menor que cada umas de suas potências.

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 4 = 7

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023

Potências de base 2 e progressão geométrica - primeiro termo 2 e razão 2

Progressão Geométrica cujo primeiro termo é 2 e razão 2.

Progessão geométrica
primeiro termo 2
razão 2
                   
Termos
10º
                   
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

As somas de termos consecutivos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e razão 2 divididas pelo primeiro termo têm como resultados somas de potências de base 2.

Soma de termos consecutivos
da progressão geométrica
primeiro termo 2 - razão 2
      soma
      potências
n   soma base 2
       
1 2 2 : 2 1
       
2 2+4 6 : 2 3
       
3 2+4+8 14 : 2 7
       
4 2+4+8+16 30 : 2 15
       
5 2+4+8+16+32 62 : 2 31
       
6 2+4+8+16+32+64 126 : 2 63
       
7 2+4+8+16+32+64+128 254 : 2 127
       
8 2+4+8+16+32+64+128+256 510 : 2 255
       
       
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Fórmula da soma de uma Progressão Geométrica Finita

Deseja se saber a soma dos 8 primeiros termos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e razão 2, para isso pode ser utilizada a seguinte fórmula algébrica.

        1 - qn
Sn = a1 x ______
        1 - q
        1 - 28
S8 = 2 x ______
        1 - 2
        1 - 256
S8 = 2 x ______
        1 - 2
        255
S8 = 2 x ______
        1
         
S8 = 2 x 255
         
     
S8 = 510
     

A soma dos termos da progressão geométrica é 510

Fórmula simplificada 1 da soma de uma Progressão Geométrica Finita

Com as relações matemáticas entre potências de base 2 e progressões geométricas de razão 2, também pode-se saber as somas de termos de sub-sequências numéricas de progressões geométricas.

Soma da PG (2, 4, 8) - primeiro termo 2 - razão 2

os termos (2, 4, 8) aparecem na terceira linha da tabela.

quantidade de termos: 3

2 x (23 - 1)

2 x ( 8 - 1)

2 x 7 = 14

O produto do primeiro termo 2 por 7 (soma de potências de base 2) tem como resultado 14 que é a soma dos termos da PG (2, 4 e 8).

Soma da PG (2, 4, 8, 16, 32, 64) - primeiro termo 2 - razão 2

os termos (2, 4, 8, 16, 32, 64) aparecem na sexta linha da tabela.

quantidade de termos: 6

2 x (26 - 1)

2 x (64 - 1)

2 x 63 = 126

O produto do primeiro termo 2 por 63 (soma de potências de base 2) tem como resultado 126 que é a soma dos termos da PG (2, 4, 8, 16, 32, 64).

Fórmula simplificada 2 da soma de uma Progressão Geométrica Finita

Outro método para se saber somas de sub-sequências de uma pogressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e razão 2 é verificar que a soma de termos consecutivos são 2 unidades menores que termo posterior.

Exemplos:

2 + 4 = 6

6 é 2 unidades menores que termo posterior 8

2 + 4 + 8 = 14

14 é 2 unidades menores que o termo posterior 16

De onde pode-se extrair a seguinte propriedade: Termos da progressão geométrica cujo o primeiro termo e razão é igual a 2 é 2 unidades maior que a soma dos termos anteriores.

    Progessão geométrica
    primeiro termo 2
    razão 2
                       
    2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
                       
soma dos     6 14 30 62 126 254 510 1022 2046
termos                      

Potências de base 2 e progressão geométrica - primeiro termo 3 e razão 2

Progressão Geométrica cujo primeiro termo é 3 e razão 2.

Progessão geométrica
primeiro termo 3
razão 2
 
Termos
                   
10º
                   
3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536

As somas de termos consecutivos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 3 e razão 2 divididas pelo primeiro termo têm como resultados somas de potências de base 2.

Soma de termos consecutivos
da progressão geométrica
primeiro termo 3 - razão 2
      soma
      potências
n   soma base 2
       
1 3 3 : 3 1
       
2 3+6 9 : 3 3
       
3 3+6+12 21 : 3 7
       
4 3+6+12+24 45 : 3 15
       
5 3+6+12+24+48 93 : 3 31
       
6 3+6+12+24+48+96 189 : 3 63
       
7 3+6+12+24+48+96+192 381 : 3 127
       
8 3+6+12+24+48+96+192+384 765 : 3 255
       
       
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Fórmula simplificada 1

Produto do primeiro termo da PG pela soma de potências de base 2.

Soma da PG (3, 6, 12) - primeiro termo 3 - razão 2

os termos (3, 6, 12) aparecem na terceira linha da tabela.

quantidade de termos: 3

3 x (23 - 1)

3 x (8 - 1)

3 x 7 = 21

O produto do primeiro termo 3 por 7 (soma de potências de base 2) tem como resultado 21 que é a soma dos termos da PG (3, 6 e 12).

Fórmula simplificada 2

Outro método para se saber somas de sub-sequências de uma pogressão geométrica cujo primeiro termo é 3 e razão 2 é verificar que a soma de termos são 3 unidades menores que termo posterior.

Exemplos:

3 + 6 = 9

9 é 3 unidades menores que termo posterior 12

3 + 6 + 12 = 21

21 é 3 unidades menores que o termo posterior 24

De onde pode-se extrair a seguinte propriedade: Termos da progressão geométrica cujo o primeiro termo é 3 e razão 2 é igual a 3 unidades maior que a soma dos termos anteriores.

    Progessão geométrica
    primeiro termo 3
    razão 2
                       
    3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536
                       
soma dos     9 21 45 93 189 381 765 1533  
termos                      

Tabuada de somas de progressões geométricas

A Tabuada de Somas de Progressões Geométricas demonstra de forma sintética as somas de progressões geométricas cujos primeiros termos são de 2 a 10.

Querendo se saber por exemplo as somas de cada uma das sub-sequências dos dobros de 2 cujas quantidades de termos são de 1 a 10, veja a intersecção entre o número 2 e um número cuja soma é de potências de base 2.

Tabuada de somas
de progressões geométricas
                 
quantidade de termos
1 2 3 4 5 6 7 8 9
soma de potências de base 2
1 3 7 15 31 63 127 255 511
números                  
naturais                  
2 2 6 14 30 62 126 254 510 1022
3 3 9 21 45 93 189 381 765 1533
4 4 12 28 60 124 252 508 1020 2044
5 5 15 35 75 155 315 635 1275 2555
6 6 18 42 90 186 378 762 1530 3066
7 7 21 49 105 217 441 889 1785 3577
8 8 24 56 120 248 504 1016 2040 4088
9 9 27 63 135 279 567 1143 2295 4599
10 10 30 70 150 310 630 1270 2550 5110
                   
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Autor: Ricardo Silva - novembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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