Várias são as estórias que se contam sobre Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quando criança cujo professor solicitou a ele e aos colegas de classe que somassem a sequência dos números de 1 a 100.
O Sr. Brian Hayes (com muita ajuda de seus amigos) tem publicado no seguinte link:
http://bit-player.org/wp-content
uma coletânea com mais de 140 estórias do pequeno grande Gauss e entre elas a que está publicada no livro A Música do Números Primos do Professor Marcus Du Satoy, pag. 33 - edição brasileira:
"...Em vez de enfrentar o problema de frente, Gauss pensou lateralmente. Ele argumentou que a melhor maneira de descobrir quantos grãos havia em um triângulo com 100 linhas era pegar um segundo triângulo semelhante de grãos que poderia ser colocado de cabeça para baixo no topo do primeiro triângulo. Agora Gauss tinha um retângulo com 101 linhas, cada uma contendo 100 grãos. Calcular o número total de grãos neste retângulo construído com os dois triângulos foi fácil: há um total de 101 × 100 = 10,100 grãos. Portanto, um triângulo deve conter metade desse número, a saber, 1/2 × 101 × 100 = 5.050. Não há nada de especial aqui sobre 100. Substitua por N e você terá a fórmula 1/2 × (N + 1) × N."
O presente estudo demonstra novas propriedades matemáticas relacionadas a números triangulares e as somas de sequências de múltiplos consecutivos de números naturais:
1) números triangulares são divisores de somas de sequências de múltiplos consecutivos de números naturais;
2) o produto de um número natural por um número triângular têm como resultado a soma de sequências de múltiplos consecutivos desse número natural.
3) As somas de sequências de múltiplos consecutivos de números naturais são múltiplos de números triangulares.
A soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66
O livro digital Números Triangulares e Sequências Numéricas aborda através de vários exemplos com ilustrações e tabelas estudos de como gerar números triangulares e a sua relação com números quadrados perfeitos, números cúbicos e vice-versa, utilizando como base figuras geométricas de triângulos, quadrados, hexágonos, etc.
Por meio da fórmula a seguir, pode-se determinar a soma de todos os termos de uma Progressão Aritmética (PA).
Substituindo os termos da sequência (1, 2, 3, ..., 98, 99, 100) de números naturais, onde:
a1 - primeiro termo = 1
an - último termo = 100
n - quantidade de termos = 100
Sn - soma do termos = ?
| (a1 + an) | ||||
| Sn | = | _____________ | x | n |
| 2 |
| (1 + 100) | ||||
| S100 | = | _________ | x | 100 |
| 2 |
| 101 | ||||
| S100 | = | ____ | x | 100 |
| 2 |
| 10100 | ||||
| S100 | = | ______ | ||
| 2 |
| S100 | = | 5050 |
A soma de todos os termos de 1 a 100 = 5050.
Multiplicando o número 2 pela sequência de números naturais obtêm-se múltiplos de 2 e consequentemente sequência de números pares.
| naturais | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| 2 | x | |||||||||||
| múltiplos de 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
A soma de múltiplos de 2 consecutivos têm como resultado o dobro de um número triangular.
| Soma de múltiplos de 2 consecutivos | |||
|---|---|---|---|
| n | soma | triangular | |
| 1 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 2+4 | 6 | 3 |
| 3 | 2+4+6 | 12 | 6 |
| 4 | 2+4+6+8 | 20 | 10 |
| 5 | 2+4+6+8+10 | 30 | 15 |
| 6 | 2+4+6+8+10+12 | 42 | 21 |
| 7 | 2+4+6+8+10+12+14 | 56 | 28 |
| 8 | 2+4+6+8+10+12+14+16 | 72 | 36 |
| 9 | 2+4+6+8+10+12+14+16+18 | 90 | 45 |
| 10 | 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 | 110 | 55 |
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O produto de 2 pelo triangular 3 é igual a 6.
6 é a soma dos múltiplos 2 e 4.
6 é o dobro do triangular 3.
3 é o segundo número triangular.
As parcelas 2 e 4 se encontram na segunda linha da tabela.
O produto de 2 pelo triangular 6 é igual a 12.
12 é a soma dos múltiplos 2, 4 e 6.
12 é dobro do triangular 6.
6 é o terceiro número triangular.
As parcelas 2, 4 e 6 se encontram na terceira linha da tabela.
O produto de 2 pelo triangular 10 é igual a 20.
20 é a soma dos múltiplos 2, 4, 6 e 8.
20 é dobro do triangular 10.
10 é o quarto número triangular.
As parcelas 2, 4, 6 e 8 se encontram na quarta linha da tabela.
Querendo-se saber a soma dos 10 primeiros múltiplos de 2, procede-se da seguinte forma:
10 x 11 (consecutivo) = 110
110 : 2 = 55
2 x 55 = 110
110 é a soma dos 10 primeiros múltiplos de 2
Multiplicando o número 3 pela sequência de números naturais obtêm-se sequência de múltiplos de 3.
| naturais | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| 3 | x | |||||||||||
| múltiplos de 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
A soma de múltiplos de 3 consecutivos têm como resultado o triplo de um número triangular.
| Soma de múltiplos de 3 consecutivos | |||
|---|---|---|---|
| n | soma | triangular | |
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 3+6 | 9 | 3 |
| 3 | 3+6+9 | 18 | 6 |
| 4 | 3+6+9+12 | 30 | 10 |
| 5 | 3+6+9+12+15 | 45 | 15 |
| 6 | 3+6+9+12+15+18 | 63 | 21 |
| 7 | 3+6+9+12+15+18+21 | 84 | 28 |
| 8 | 3+6+9+12+15+18+21+24 | 108 | 36 |
| 9 | 3+6+9+12+15+18+21+24+27 | 135 | 45 |
| 10 | 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 | 165 | 55 |
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O produto de 3 pelo triangular 3 é igual a 9.
9 é a soma dos múltiplos 3 e 6.
9 é o triplo do triangular 3.
3 é o segundo número triangular.
As parcelas 3 e 6 se encontram na segunda linha da tabela.
O produto de 3 pelo triangular 6 é igual a 18.
18 é a soma dos múltiplos 3, 6 e 9.
18 é o triplo do triangular 6.
6 é o terceiro número triangular.
As parcelas 3, 6 e 9 se encontram na terceira linha da tabela.
O produto de 3 pelo triangular 10 é igual a 30.
30 é a soma dos múltiplos 3, 6, 9 e 12.
30 é o triplo do triangular 10.
10 é o quarto número triangular.
As parcelas 3, 6, 9 e 12 se encontram na quarta linha da tabela.
Querendo-se saber a soma dos 10 primeiros múltiplos de 3, procede-se da seguinte forma:
10 x 11 (consecutivo) = 110
110 : 2 = 55
3 x 55 = 165
165 é a soma dos 10 primeiros múltiplos de 3.
Multiplicando o número 4 pela sequência de números naturais obtêm-se sequência de múltiplos de 4.
| naturais | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| 4 | x | |||||||||||
| múltiplos de 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
A soma de múltiplos de 4 consecutivos têm como resultado o quádruplo de um número triangular.
| Soma de múltiplos de 4 consecutivos | |||
|---|---|---|---|
| n | soma | triangular | |
| 1 | 4 | 4 | 1 |
| 2 | 4+8 | 12 | 3 |
| 3 | 4+8+12 | 24 | 6 |
| 4 | 4+8+12+16 | 40 | 10 |
| 5 | 4+8+12+16+20 | 60 | 15 |
| 6 | 4+8+12+16+20+24 | 84 | 21 |
| 7 | 4+8+12+16+20+24+28 | 112 | 28 |
| 8 | 4+8+12+16+20+24+28+32 | 144 | 36 |
| 9 | 4+8+12+16+20+24+28+32+36 | 180 | 45 |
| 10 | 4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 | 220 | 55 |
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O produto de 4 pelo triangular 3 é igual a 12.
12 é a soma dos múltiplos 4 e 8.
12 é o quádruplo do triangular 3.
3 é o segundo número triangular.
As parcelas 4 e 8 se encontram na segunda linha da tabela.
O produto de 4 pelo triangular 6 é igual a 24.
24 é a soma dos múltiplos 4, 8 e 12.
24 é o quádruplo do triangular 6.
6 é o terceiro número triangular.
As parcelas 4, 8 e 12 se encontram na terceira linha da tabela.
O produto de 4 pelo triangular 10 é igual a 40.
40 é a soma dos múltiplos 4, 8, 12 e 16.
40 é o quádruplo do triangular 10.
10 é o quarto número triangular.
As parcelas 4, 8, 12 e 16 se encontram na terceira linha da tabela.
Querendo-se saber a soma dos 10 primeiros múltiplos de 4, procede-se da seguinte forma:
10 x 11 (consecutivo) = 110
110 : 2 = 55
4 x 55 = 220
220 é a soma dos 10 primeiros múltiplos de 4.
A Tabuada de Somas de Progressões Aritméticas demonstra de forma sintética as somas de progressões aritméticas cujos primeiros termos são de 2 a 10.
Querendo se saber por exemplo as somas de cada uma das sub-sequências dos múltiplos de 2 cujas quantidades de termos são de 1 a 10, veja a intersecção entre o número 2 e um número triangular.
| Tabuada de somas | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| de progressões aritméticas | |||||||||||
| quantidade de termos na linha | |||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| números triangulares | |||||||||||
| x | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | |
| números | |||||||||||
| naturais | |||||||||||
| 2 | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | 42 | 56 | 72 | 90 | 110 | |
| 3 | 3 | 9 | 18 | 30 | 45 | 63 | 84 | 108 | 135 | 165 | |
| 4 | 4 | 12 | 24 | 40 | 60 | 84 | 112 | 144 | 180 | 220 | |
| 5 | 5 | 15 | 30 | 50 | 75 | 105 | 140 | 180 | 225 | 275 | |
| 6 | 6 | 18 | 36 | 60 | 90 | 126 | 168 | 216 | 270 | 330 | |
| 7 | 7 | 21 | 42 | 70 | 105 | 147 | 196 | 252 | 315 | 385 | |
| 8 | 8 | 24 | 48 | 80 | 120 | 168 | 224 | 288 | 360 | 440 | |
| 9 | 9 | 27 | 54 | 90 | 135 | 189 | 252 | 324 | 405 | 495 | |
| 10 | 10 | 30 | 60 | 100 | 150 | 210 | 280 | 360 | 450 | 550 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||||||||
Autor: Ricardo Silva - novembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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