Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao anterior multiplicado por um número constante chamado de razão.
O estudo demonstra a Tabuada de Somas de Progressões Geométricas com a qual podemos obter somas de n termos consecutivos de uma progressão geométrica por apresentar padrões e regularidades numéricas entre a sequência de números naturais com as somas consecutivas de potências de base 2.
Observação importante: potências de base 2 também são demominadas de Números Quase Perfeitos, isto porque, a soma dos divisores próprios de cada potência de base 2 é 1 unidade menor que uma potência de base 2.
Neste estudo e o livro digital Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs, as somas dos divisores próprios de potências de base 2 são denominados de Números Quase Potências de base 2.
O produto de um número natural por um Número Quase Potência de base 2 tem como resultado a soma de n termos da progessão geométrica desse número natural.
Por meio da Potênciação cuja a base é 2 e variando os expoentes, obtem-se potências de base 2.
20 = 1
21 = 2
22 = 2 x 2 = 4
23 = 2 x 2 x 2 = 8
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512
210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024
As somas de potências de base 2 consecutivas possuem padrões numéricos em seus resultados por apresentarem 1 unidade menor em relação às próprias potências de base 2, estas somas são denominadas de Números Quase Potências de Base 2.
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023
A partir do primeiro termo 2 e multiplicando-o sempre pela razão 2 forma-se a progessão geométrica: 2, 4, 8, 16, 32, 64... e que somando consecutivamente os seus termos obtem-se:
| potências | soma |
| de base 2 | consecutiva |
| 2 | |
| 4 | 6 |
| 8 | 14 |
| 16 | 30 |
| 32 | 62 |
| 64 | 126 |
| 128 | 254 |
| 256 | 510 |
| 512 | 1022 |
| 1024 | 2046 |
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A partir do primeiro termo 3 e multiplicando-o sempre pela razão 2 forma-se a progessão geométrica 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... e que somando consecutivamente os seus termos obtem-se:
| progressão | soma |
| de razão 2 | consecutiva |
| 3 | |
| 6 | 9 |
| 12 | 21 |
| 24 | 45 |
| 48 | 93 |
| 96 | 189 |
| 192 | 381 |
| 384 | 765 |
| 768 | 1533 |
| 1536 | |
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Desejando se saber por exemplo as somas dos 5 primeiros termos da progressão geométrica cujo o primeiro termo 2, basta verificar a intersecção do número 2 com o número 31, o produto é 62.
62 é a soma dos 5 primeiros múltiplos de 2.
Desejando se saber por exemplo as somas dos 9 primeiros termos da progressão geométrica cujo o primeiro termo 3, basta verificar a intersecção do número 3 com o número 511, o produto é 1533.
1533 é a soma dos 9 primeiros múltiplos de 3.
| Tabuada de somas | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| de progressões geométricas | |||||||||
| quantidade de termos | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| soma de potências de base 2 | |||||||||
| 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 | 255 | 511 | |
| números | |||||||||
| naturais | |||||||||
| 2 | 2 | 6 | 14 | 30 | 62 | 126 | 254 | 510 | 1022 |
| 3 | 3 | 9 | 21 | 45 | 93 | 189 | 381 | 765 | 1533 |
| 4 | 4 | 12 | 28 | 60 | 124 | 252 | 508 | 1020 | 2044 |
| 5 | 5 | 15 | 35 | 75 | 155 | 315 | 635 | 1275 | 2555 |
| 6 | 6 | 18 | 42 | 90 | 186 | 378 | 762 | 1530 | 3066 |
| 7 | 7 | 21 | 49 | 105 | 217 | 441 | 889 | 1785 | 3577 |
| 8 | 8 | 24 | 56 | 120 | 248 | 504 | 1016 | 2040 | 4088 |
| 9 | 9 | 27 | 63 | 135 | 279 | 567 | 1143 | 2295 | 4599 |
| 10 | 10 | 30 | 70 | 150 | 310 | 630 | 1270 | 2550 | 5110 |
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No livro digital Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de soma de PAs e PGs são apresentadas novas fórmulas exclusivas para saber a soma de n termos de Progressões Aritmétricas e Geométricas.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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