capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números triangulares e o número 4 - 280

Produtos cujos fatores são o número 4 e números triangulares apresentam relações numéricas com a soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos.

O número 4 multiplicado por um número triangular tem como produto um número de 1 (unidade) menor da soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos.

A tabela a seguir apresenta os primeiros 50 produtos do número 4 por um número triangular e a soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos.

As somas de dois números quadrados consecutivos tem como resultados números ímpares e, entre eles, números primos cujos algarismos das unidades tem o seguinte padrão: 5, 3, 5, 1 e 1.

Entre as primeiras 50 somas de dois números quadrados perfeitos, 22 somas são números primos e em se tratando de números primos é uma resultado considerável.

Outro padrão que pode ser observado na soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos é que somente determinados números terminados em 5, 3, 5, 1 e 1 são a soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos, isto é, não há números terminados em 2, 4, 6, 7, 8 ou 9.

Produto do número 4
por um triangular

								soma
								2
ordem			triangular		produto			quadrados

1	4	x	1	=	4	+	1	5
2	4	x	3	=	12	+	1	13
3	4	x	6	=	24	+	1	25
4	4	x	10	=	40	+	1	41
5	4	x	15	=	60	+	1	61
6	4	x	21	=	84	+	1	85
7	4	x	28	=	112	+	1	113
8	4	x	36	=	144	+	1	145
9	4	x	45	=	180	+	1	181
10	4	x	55	=	220	+	1	221
11	4	x	66	=	264	+	1	265
12	4	x	78	=	312	+	1	313
13	4	x	91	=	364	+	1	365
14	4	x	105	=	420	+	1	421
15	4	x	120	=	480	+	1	481
16	4	x	136	=	544	+	1	545
17	4	x	153	=	612	+	1	613
18	4	x	171	=	684	+	1	685
19	4	x	190	=	760	+	1	761
20	4	x	210	=	840	+	1	841
21	4	x	231	=	924	+	1	925
22	4	x	253	=	1012	+	1	1013
23	4	x	276	=	1104	+	1	1105
24	4	x	300	=	1200	+	1	1201
25	4	x	325	=	1300	+	1	1301
26	4	x	351	=	1404	+	1	1405
27	4	x	378	=	1512	+	1	1513
28	4	x	406	=	1624	+	1	1625
29	4	x	435	=	1740	+	1	1741
30	4	x	465	=	1860	+	1	1861
31	4	x	496	=	1984	+	1	1985
32	4	x	528	=	2112	+	1	2113
33	4	x	561	=	2244	+	1	2245
34	4	x	595	=	2380	+	1	2381
35	4	x	630	=	2520	+	1	2521
36	4	x	666	=	2664	+	1	2665
37	4	x	703	=	2812	+	1	2813
38	4	x	741	=	2964	+	1	2965
39	4	x	780	=	3120	+	1	3121
40	4	x	820	=	3280	+	1	3281
41	4	x	861	=	3444	+	1	3445
42	4	x	903	=	3612	+	1	3613
43	4	x	946	=	3784	+	1	3785
44	4	x	990	=	3960	+	1	3961
45	4	x	1.035	=	4140	+	1	4141
46	4	x	1.081	=	4324	+	1	4325
47	4	x	1.128	=	4512	+	1	4513
48	4	x	1.176	=	4704	+	1	4705
49	4	x	1.225	=	4900	+	1	4901
50	4	x	1.275	=	5100	+	1	5101

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Soma de dois quadrados terminados em 1

Números cujos algarismos das unidades terminam em 1 e que são a soma de dois números quadrados perfeitos possuem as seguintes características entre as razões de seus termos, isto é, a diferença entre seus termos:

a) entre dois números próximos, a razão é um múltiplo de 20: 20, 40, 60, 80, 100,...;

b) a cada dois pares de números, a razão inicia-se em 120, aumentando 80 unidades a cada etapa; 120, 200, 280, 360, 440, 520, 600,...

Soma de dois quadrados
terminados em algarismo 1


		soma dois	terminados
ordem	quadrados	quadrados	em 1	razão
1	1	5
2	4	13
3	9	25
4	16	41	41	20
5	25	61	61
6	36	85
7	49	113		120
8	64	145
9	81	181	181	40
10	100	221	221
11	121	265
12	144	313		200
13	169	365
14	196	421	421	60
15	225	481	481
16	256	545
17	289	613		280
18	324	685
19	361	761	761	80
20	400	841	841
21	441	925
22	484	1013		360
23	529	1105
24	576	1201	1201	100
25	625	1301	1301
26	676	1405
27	729	1513		440
28	784	1625
29	841	1741	1741	120
30	900	1861	1861
31	961	1985
32	1024	2113		520
33	1089	2245
34	1156	2381	2381	140
35	1225	2521	2521
36	1296	2665
37	1369	2813		600
38	1444	2965
39	1521	3121	3121	160
40	1600	3281	3281
41	1681	3445
42	1764	3613		680
43	1849	3785
44	1936	3961	3961	180
45	2025	4141	4141
46	2116	4325
47	2209	4513		760
48	2304	4705
49	2401	4901	4901	200
50	2500	5101	5101

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Soma de dois quadrados terminados em 3

Números cujos algarismos das unidades terminam em 3 e que são a soma de dois números quadrados perfeitos possuem a seguinte característica entre seus termos, isto é, a diferença entre seus termos:

a) entre dois números próximos, a razão é um múltiplo de 100: 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000,...

Soma de dois quadrados
terminados em algarismo 3

		soma dois	terminados
ordem	quadrados	quadrados	em 3	razão

1	1	5
2	4	13	13
3	9	25
4	16	41		100
5	25	61
6	36	85
7	49	113	113
8	64	145
9	81	181		200
10	100	221
11	121	265
12	144	313	313
13	169	365
14	196	421		300
15	225	481
16	256	545
17	289	613	613
18	324	685
19	361	761		400
20	400	841
21	441	925
22	484	1013	1013
23	529	1105
24	576	1201		500
25	625	1301
26	676	1405
27	729	1513	1513
28	784	1625
29	841	1741		600
30	900	1861
31	961	1985
32	1024	2113	2113
33	1089	2245
34	1156	2381		700
35	1225	2521
36	1296	2665
37	1369	2813	2813
38	1444	2965
39	1521	3121		800
40	1600	3281
41	1681	3445
42	1764	3613	3613
43	1849	3785
44	1936	3961		900
45	2025	4141
46	2116	4325
47	2209	4513	4513
48	2304	4705
49	2401	4901		1000
50	2500	5101

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Soma de dois quadrados terminados em 5

Números cujos algarismos das unidades terminam em 5 e que são a soma de dois números quadrados perfeitos possuem a seguintes características entre seus termos, isto é, a diferença entre seus termos::

a) entre dois números próximos, a razão é um múltiplo de 20: 60, 100, 140, 140, 220,...

b) a cada dois pares de números, a razão inicia-se em 60, aumentando 60 unidades a cada etapa; 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540,...

Soma de dois quadrados
terminados em algarismo 5

		soma dois	terminados
ordem	quadrados	quadrados	em 5	razão

1	1	5	5
2	4	13		20
3	9	25	25
4	16	41			60
5	25	61
6	36	85	85
7	49	113		60
8	64	145	145
9	81	181			120
10	100	221
11	121	265	265
12	144	313		100
13	169	365	365
14	196	421			180
15	225	481
16	256	545	545
17	289	613		140
18	324	685	685
19	361	761			240
20	400	841
21	441	925	925
22	484	1013		180
23	529	1105	1105
24	576	1201			300
25	625	1301
26	676	1405	1405
27	729	1513		220
28	784	1625	1625
29	841	1741			360
30	900	1861
31	961	1985	1985
32	1024	2113		260
33	1089	2245	2245
34	1156	2381			420
35	1225	2521
36	1296	2665	2665
37	1369	2813		300
38	1444	2965	2965
39	1521	3121			480
40	1600	3281
41	1681	3445	3445
42	1764	3613		340
43	1849	3785	3785
44	1936	3961			540
45	2025	4141
46	2116	4325	4325
47	2209	4513		380
48	2304	4705	4705
49	2401	4901			600
50	2500	5101

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