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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números triangulares e o número 4 - 280

Produtos cujos fatores são o número 4 e números triangulares apresentam relações numéricas com a soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos.

O número 4 multiplicado por um número triangular tem como produto um número de 1 (unidade) menor da soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos.

A tabela a seguir apresenta os primeiros 50 produtos do número 4 por um número triangular e a soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos.

As somas de dois números quadrados consecutivos tem como resultados números ímpares e, entre eles, números primos cujos algarismos das unidades tem o seguinte padrão: 5, 3, 5, 1 e 1.

Entre as primeiras 50 somas de dois números quadrados perfeitos, 22 somas são números primos e em se tratando de números primos é uma resultado considerável.

Outro padrão que pode ser exprimimida da soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos é que somente determinados números terminados em 5, 3, 5, 1 e 1 são a soma de dois números quadrados perfeitos consetuvos, isto é, não há números terminados em 2, 4, 6, 7, 8 ou 9.

Produto do número 4
por um triangular
                 
                soma
                2
ordem     triangular   produto     quadrados
                 
1 4 x 1 = 4 + 1 5
2 4 x 3 = 12 + 1 13
3 4 x 6 = 24 + 1 25
4 4 x 10 = 40 + 1 41
5 4 x 15 = 60 + 1 61
6 4 x 21 = 84 + 1 85
7 4 x 28 = 112 + 1 113
8 4 x 36 = 144 + 1 145
9 4 x 45 = 180 + 1 181
10 4 x 55 = 220 + 1 221
11 4 x 66 = 264 + 1 265
12 4 x 78 = 312 + 1 313
13 4 x 91 = 364 + 1 365
14 4 x 105 = 420 + 1 421
15 4 x 120 = 480 + 1 481
16 4 x 136 = 544 + 1 545
17 4 x 153 = 612 + 1 613
18 4 x 171 = 684 + 1 685
19 4 x 190 = 760 + 1 761
20 4 x 210 = 840 + 1 841
21 4 x 231 = 924 + 1 925
22 4 x 253 = 1012 + 1 1013
23 4 x 276 = 1104 + 1 1105
24 4 x 300 = 1200 + 1 1201
25 4 x 325 = 1300 + 1 1301
26 4 x 351 = 1404 + 1 1405
27 4 x 378 = 1512 + 1 1513
28 4 x 406 = 1624 + 1 1625
29 4 x 435 = 1740 + 1 1741
30 4 x 465 = 1860 + 1 1861
31 4 x 496 = 1984 + 1 1985
32 4 x 528 = 2112 + 1 2113
33 4 x 561 = 2244 + 1 2245
34 4 x 595 = 2380 + 1 2381
35 4 x 630 = 2520 + 1 2521
36 4 x 666 = 2664 + 1 2665
37 4 x 703 = 2812 + 1 2813
38 4 x 741 = 2964 + 1 2965
39 4 x 780 = 3120 + 1 3121
40 4 x 820 = 3280 + 1 3281
41 4 x 861 = 3444 + 1 3445
42 4 x 903 = 3612 + 1 3613
43 4 x 946 = 3784 + 1 3785
44 4 x 990 = 3960 + 1 3961
45 4 x 1.035 = 4140 + 1 4141
46 4 x 1.081 = 4324 + 1 4325
47 4 x 1.128 = 4512 + 1 4513
48 4 x 1.176 = 4704 + 1 4705
49 4 x 1.225 = 4900 + 1 4901
50 4 x 1.275 = 5100 + 1 5101
                 
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Soma de dois quadrados terminados em 1

Números cujos algarismos das unidades terminam em 1 e que são a soma de dois números quadrados perfeitos possuem as seguintes características entre as razões de seus termos, isto é, a diferença entre seus termos:

a) entre dois números próximos, a razão é um múltiplo de 20: 20, 40, 60, 80, 100,...;

b) a cada dois pares de números, a razão inicia-se em 120, aumentando 80 unidades a cada etapa; 120, 200, 280, 360, 440, 520, 600,...

 

Soma de dois quadrados
terminados em algarismo 1
     
       
    soma dois terminados
ordem quadrados quadrados em 1 razão
1 1 5
2 4 13
3 9 25
4 16 41 41 20
5 25 61 61
6 36 85
7 49 113 120
8 64 145
9 81 181 181 40
10 100 221 221
11 121 265
12 144 313 200
13 169 365
14 196 421 421 60
15 225 481 481
16 256 545
17 289 613 280
18 324 685
19 361 761 761 80
20 400 841 841
21 441 925
22 484 1013 360
23 529 1105
24 576 1201 1201 100
25 625 1301 1301
26 676 1405
27 729 1513 440
28 784 1625
29 841 1741 1741 120
30 900 1861 1861
31 961 1985
32 1024 2113 520
33 1089 2245
34 1156 2381 2381 140
35 1225 2521 2521
36 1296 2665
37 1369 2813 600
38 1444 2965
39 1521 3121 3121 160
40 1600 3281 3281
41 1681 3445
42 1764 3613 680
43 1849 3785
44 1936 3961 3961 180
45 2025 4141 4141
46 2116 4325
47 2209 4513 760
48 2304 4705
49 2401 4901 4901 200
50 2500 5101 5101

Soma de dois quadrados terminados em 3

Números cujos algarismos das unidades terminam em 3 e que são a soma de dois números quadrados perfeitos possuem a seguinte característica entre seus termos, isto é, a diferença entre seus termos:

a) entre dois números próximos, a razão é um múltiplo de 100: 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000,...

Soma de dois quadrados
terminados em algarismo 3
     
    soma dois terminados
ordem quadrados quadrados em 3 razão
     
1 1 5
2 4 13 13
3 9 25
4 16 41 100
5 25 61
6 36 85
7 49 113 113
8 64 145
9 81 181 200
10 100 221
11 121 265
12 144 313 313
13 169 365
14 196 421 300
15 225 481
16 256 545
17 289 613 613
18 324 685
19 361 761 400
20 400 841
21 441 925
22 484 1013 1013
23 529 1105
24 576 1201 500
25 625 1301
26 676 1405
27 729 1513 1513
28 784 1625
29 841 1741 600
30 900 1861
31 961 1985
32 1024 2113 2113
33 1089 2245
34 1156 2381 700
35 1225 2521
36 1296 2665
37 1369 2813 2813
38 1444 2965
39 1521 3121 800
40 1600 3281
41 1681 3445
42 1764 3613 3613
43 1849 3785
44 1936 3961 900
45 2025 4141
46 2116 4325
47 2209 4513 4513
48 2304 4705
49 2401 4901 1000
50 2500 5101

Soma de dois quadrados terminados em 5

Números cujos algarismos das unidades terminam em 5 e que são a soma de dois números quadrados perfeitos possuem a seguintes características entre seus termos, isto é, a diferença entre seus termos::

a) entre dois números próximos, a razão é um múltiplo de 20: 60, 100, 140, 140, 220,...

b) a cada dois pares de números, a razão inicia-se em 60, aumentando 60 unidades a cada etapa; 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540,...

 

Soma de dois quadrados
terminados em algarismo 5
       
    soma dois terminados
ordem quadrados quadrados em 5 razão
       
1 1 5 5
2 4 13 20
3 9 25 25
4 16 41 60
5 25 61
6 36 85 85
7 49 113 60
8 64 145 145
9 81 181 120
10 100 221
11 121 265 265
12 144 313 100
13 169 365 365
14 196 421 180
15 225 481
16 256 545 545
17 289 613 140
18 324 685 685
19 361 761 240
20 400 841
21 441 925 925
22 484 1013 180
23 529 1105 1105
24 576 1201 300
25 625 1301
26 676 1405 1405
27 729 1513 220
28 784 1625 1625
29 841 1741 360
30 900 1861
31 961 1985 1985
32 1024 2113 260
33 1089 2245 2245
34 1156 2381 420
35 1225 2521
36 1296 2665 2665
37 1369 2813 300
38 1444 2965 2965
39 1521 3121 480
40 1600 3281
41 1681 3445 3445
42 1764 3613 340
43 1849 3785 3785
44 1936 3961 540
45 2025 4141
46 2116 4325 4325
47 2209 4513 380
48 2304 4705 4705
49 2401 4901 600
50 2500 5101

 

Autor: Ricardo Silva - setembro / 2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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