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Equação do Segundo Grau e a soma de dois quadrados - 028

A soma de dois números quadrados perfeitos revelam interessantes conexões matemáticas com os próprios números quadrados perfeitos, bem como, com números primos, números triangulares, o número 4 e ternos pitagóricos primitivos.

Através da soma de dois números quadrados perfeitos é possível de se gerar uma outra sequência de Ternos Pitagóricos Primitivos que são os Ternos Pitágoricos Primitivos Raros.

Veja matéria relacionadas (abaixo).

Várias são as situações e aplicações em que se utiliza Equação do Segundo Grau ou Equação Quadrática, conhecida por nós brasileiros como Fórmula de Bháskara.

Vários conceitos matemáticos e algébricos são utilizados como: números inteiros, números positivos, números negativos, números racionais, números irracionais, radiciação, coeficientes positivos, coeficientes negativos, etc. quando se resolve Equação do Segundo Grau.

Neste estudo são apresentados exemplos de Equações do Segundo relacionadas a soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos e números primos.

Soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos

A seguinte tabela apresenta as 20 primeiras somas de dois números quadrados perfeitos consecutivos com os quais se podem extrairem as seguintes regularidades numéricas:

a) os algarismos finais das somas possuem o seguinte padrão: 5, 3, 5, 1, 1;

b) 5, é o único número primo terminado em 5;

c) as somas têm como resultados números ímpares, e entre eles, números primos (cor amarelo);

d) das 20 somas, 10 são números primos (50%); resultado bastente interessante, em se tratando de números primos;

e) determinados números primos não podem ser gerados por meio da soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos, como: 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31, etc...

 

Soma de dois
números quadrados
consecutivos
 
     
Número Quadrado soma de
    dois quadrados
     
1 1 5
2 4 13
3 9 25
4 16 41
5 25 61
6 36 85
7 49 113
8 64 145
9 81 181
10 100 221
11 121 265
12 144 313
13 169 365
14 196 421
15 225 481
16 256 545
17 289 613
18 324 685
19 361 761
20 400 841
     
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A soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos é 61.

A soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos é 61. Determine os dois números?

Este problema aparece publicado na página 35, Sequência 6, exercício g, no Livro Nos Domínios da Matemática - autores: José Rui Giovanni e J. Timoni - Editora Ática, 1985.

É um problema bastante interessante, vejamos, da mesma forma que podemos somar dois números quadrados perfeitos e ter a resposta de tal número, com a Equação do Segundo Grau, temos a tal soma, e precisamos saber quais são as duas raízes geradoras dos números quadrados.

A pergunta que não quer calar, qual é a chance de se escolher aleatoriamente um número ímpar, que é primo, e ao mesmo tempo ser a soma de dois números quadrados perfeitos?

Resolução da equação com a Fórmula de Bháskara

x2 + (x + 1)2 = 61

x2 + x2 + 2. x .1 + 12 = 61

2x2 + 2 x + 12 = 61

2x2 + 2 x + 1 - 61 = 0

2x2 + 2 x - 60 = 0 (dividindo por 2)

1x2 + 1 x - 30 = 0

Coeficientes:

a =1,

b = +1,

c = -30

    - b ± √b 2 - 4 . a .c
x = _____________
    2.a

Delta (Discriminante da equação)

Δ = b2 - 4 . a . c

i)

Δ = 12 - 4 . 1 . (-30)

ii)

Δ = 1 + 120

iii)

O Delta é positivo e maior que 0 (zero), portanto há duas soluções para a equação.

Δ = 121

iv)

    -(+1) ± √121
x = _____________
    2

v)

Raízes da equação

    -1 + 11    
x' = _____ = 5
    2    
    -1 - 11    
x" = _____ = - 6
    2    

vi)

verificando a soma de 2 quadrados consecutivos

5 2 = 25

(-6)2 = 36

25 + 36 = 61

Portanto o número 61 que é primo pode ser gerado pela soma de dois números quadrados perfeitos.

A soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos pode ser 11 ?

Façamos de conta que escolhemos aleatoriamente o número ímpar 11, é desejamos saber se ele é a soma de dois números quadrados consecutivos:

x2 + (x + 1)2 = 11

x2 + x2 + 2. x .1 + 12 =11

2x2 + 2 x + 12 = 11

2x2 + 2 x + 1 - 11 = 0

2x2 + 2 x - 10 = 0 (dividindo por 2)

1x2 + 1 x - 5 = 0

Coeficientes:

a =1,

b = +1,

c = -5

    - b ± √b 2 - 4 . a .c
x = _____________
    2.a

Delta (Discriminante da equação)

Δ = b2 - 4 . a . c

i)

Δ = 12 - 4 . 1 . (-5)

ii)

Δ = 1 + 20

iii)

Δ = 21

O Delta é positivo e maior que 0 (zero), portanto há duas soluções para a equação.

O Delta não é um número quadrado perfeito.

iv)

    - (+1) ± √21
x = _____________
    2

v)

    - 1 ± √21
x = _____________
    2

Mesmo o Delta não sendo um quadrado perfeito, a solução da equação possui raízes de números irracionais, sendo uma positiva e outra negativa, neste caso, podemos deixar os radicais indicados...

vi)

    - 1 + √21
x' = _____________
    2

vii)

    - 1 - √21
x'' = _____________
    2

... ou verificar quais são as duas raízes irracionais em números decimais.

viii)

    - 1 + 4,582    
x' = _____________ = 1,791
    2    

ix)

    - 1 - 4,582    
x' = _____________ = 2,791
    2    

1,7912 = 3,207681...

2,7912 = 7,789681...

3,207681 + 7,789681 = 10,997362...

Portanto o número 11, não pode ser gerado pela soma de dois números quadrados perfeitos.

Equação do Segundo Grau - Método de Completar Quadrados

a) Resolução da equação x2 + x - 5 = 0

x2 + (x + 1)2 = 11

x2 + x2 + 2. x .1 + 12 =11

2x2 + 2 x + 12 = 11

2x2 + 2 x + 1 - 11 = 0

2x2 + 2 x - 10 = 0 (dividindo por 2)

1x2 + 1 x - 5 = 0

i)

desloca-se o termo independente "c" 2 para o segundo membro.

x2 + x - 5 = 0

x2 + x = 5

ii)

dividi-se o coeficiente 1 do termo "bx" por 2 e eleve-o ao quadrado, (1/2)2 somando-o ao primeiro e segundo membro.

        1         1
x2 + x + ____ =   5 + ___
        4         4

iii)

efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...

x2   x   1     5   1
____ + ____ + ____ =   ____ + ___
4   4   4     4   4

iv)

... e consequentemente também uma equação equivalente.

4x2 + 4x + 1 = 20 + 1

v)

fatora-se o primeiro membro...

4x2 - 4x + 1 = 21

vi)

... obtendo um quadrado da soma (Produto Notável)

(2x + 1)2 = 21

vii)

extrai-se a raiz quadrada

2x + 1 = ± √21

viii)

    - 1 + √21   4,582    
x' = ______ = ___ = 1,791
    2   2    

ix)

    - 1 - √21   5,582    
x' = ______ = ___ = 2,791
    2   2    

Portanto o número 11, não pode ser gerado pela soma de dois números quadrados perfeitos.

Conclusão:

Com os exemplos apresentados, foi possível demonstrar que há números que podem ser a soma de dois quadrados perfeitos e outros não.

O grande desafio é saber se um número que é soma de dois quadrados é um número primo ou não, especialmente números grandes, com muitos algarismos, pois tem-se a etapa de decomposição em fatores primos de um número e que demanda tempo, seja feita de forma manual com lápis e papel ou mesmo utilizando computadores com programas específicos para cálculos matemáticos.

Reparar também que a tabela da soma de dois números quadrados perfeitos, funciona como um filtro, pois os resultados das somas só há números terminados em 5, 3, 5, 1 e 1; retirando-se os de finais 5, ficam os terminados em 1 e 3, aumentando-se a possibilidade de se encontrar número primo.

Autor: Ricardo Silva - setembro /2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Iezzi, Gelson. Matêmática e realidade: 90 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo: Atual, 2009

Vale, Alberton Fagno Albino do. As diferentes Estratégias de Resolução da Equação do Segundo Grau. Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiárido – Ufersa, Mossoró, 2013

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