A Fórmula Geral de Resolução da Equação do Segundo, também conhecida por Fórmula de Bháskara (por nós brasileiros) possui o número Delta (Δ), que é chamado de Discriminante da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0 pelo qual podemos saber quantas raízes reais uma equação tem antes de desenvolvê-la.
- b ± √b 2 - 4 . a .c | ||
x | = | _____________ |
2.a |
Δ = b2 - 4 . a . c |
Quando Δ > 0 (maior que 0) , a equação tem duas raízes reais distintas.
Quando Δ = 0 (igual a 0), a equação tem duas raízes reais iguais.
Quando Δ < 0 (menor que 0), a equação não tem raízes reais.
Equação do Segundo Grau em que o Δ < 0 (menor que zero) apresenta raiz quadrada de número negativo.
Raiz quadrada de número negativo não tem solução no Conjunto dos Números Reais.
Resolver uma Equação do Segundo Grau é encontrar dois números cuja soma e o produto são dados.
x2 - 5x + 6 = 0
Aplicando o Delta:
Δ = b2 - 4 . 1. c
Δ = 52 - 4 . 1. (+6)
Δ = 25 - 24
Δ = 1
Δ > 0 (maior que zero), a equação tem duas raízes reais distintas.
- b ± √Δ | ||
x | = | ________ |
2.a |
- (+5) ± √1 | ||
x | = | _________ |
2.1 |
- 5 ± 1 | ||
x | = | _____ |
2 |
Raízes da equação: duas raízes reais distintas.
- 5 - 1 | ||||
x' | = | _____ | = | -3 |
2 |
- 5 + 1 | ||||
x'' | = | _____ | = | -2 |
2 |
Um outro método de se saber as raízes de uma equação do segundo grau é procedendo da seguinte forma:
De quantas adições podemos obter o número 5 ?
1) 1 + 4 = 5
2) 2 + 3 = 5
De quantas multiplicações podemos obter o número 6 ?
1) 1 x 6 = 6
2) 2 x 3 = 6
Os números 2 e 3 aparecem como parcelas na soma e como fatores no produto, portanto são as duas raízes da equação:
x2 - 5x + 6 = 0
A Equação do Segundo Grau: x2 - 14x + 50 = 0 aparece como um dos exercícios no livro Tudo é Matemática, página 59, Nono Ano, do Prof. Luiz Roberto Dante, Editora Ática a qual não tem solução no Conjunto do Números Reais, isto é, o Delta é negativo.
x2 - 14x + 50 = 0
Aplicando o Delta:
Δ = b2 - 4 . 1. c
Δ = 142 - 4 . 1. (+50)
Δ = 196 - 200
Δ = -4
Δ > 0, a equação não tem raíz real.
De quantas adições podemos obter o número 14 ?
1) 1 + 13 = 14
2) 2 + 12 = 14
3) 3 + 11 = 14
4) 4 + 10 = 14
5) 5 + 9 = 14
6) 6 + 8 = 14
7) 7 + 7 = 14
De quantas multiplicações podemos obter o número 50 ?
1) 1 x 50 = 50
2) 2 x 25 = 50
3) 5 x 10 = 50
Não há duplas de números que se repetem tanto nas parcelas da somas quanto nos fatores dos produtos.
Fazer multiplicações para se saber quais são dois fatores de determinado produto não é uma tarefa prática, ainda mais para número grande, para isso podemos utilizar o algorítmo da Decomposição em Fatores Primos, vejamos:
Fatores Primos | Divisores | ||
1 | |||
50 | 2 | 2 | |
25 | 5 | 5 | 10 |
5 | 5 | 25 | 50 |
1 |
50 = 21+1 x 52+1
2 x 3 = 6
O número 50 possui 6 divisores
D(50): 1, 2, 5, 10, 25, 50
Com 6 divisores pode-se obter 3 pares de dois 2 fatores que multiplicados tem como produto 50.
Portanto é possível formar 3 Equações do Segundo Grau com pares de divisores do número 50.
1 | x | 50 | = | 50 |
2 | x | 25 | = | 50 |
5 | x | 10 | = | 50 |
Nenhum dos pares (fatores) são raízes da equação:
x2 - 14x + 50 = 0
Interessante observar que invertendo as operações de soma por multiplicações e posteriormente permutando os produtos pelo termo independente "c" na equação, os valores do Delta têm como resultados números quadrados perfeitos.
1) 1 x 13 = 13
2) 2 x 12 = 24
3) 3 x 11 = 33
4) 4 x 10 = 40
5) 5 x 9 = 45
6) 6 x 8 = 48
7) 7 x 7 = 49
Permutando o termo independente "c", os valores do Delta apresentam como resultados números quadrados perfeitos pares em ordem decrescente.
1) x2 - 14x + 13 = 0
Δ = 144
2) x2 - 14x + 24 = 0
Δ = 100
3) x2 - 14x + 33 = 0
Δ = 64
4) x2 - 14x + 40 = 0
Δ = 36
5) x2 - 14x + 48 = 0
Δ = 16
6) x2 - 14x + 49 = 0
Δ = 0
Permutando o termo "c" com números maiores que 50, o Delta fica negativo.
1) x2 - 14x + 51 = 0
Δ = - 8
2) x2 - 14x + 52 = 0
Δ = - 12
3) x2 - 14x + 53 = 0
Δ = - 16
No livro Realidade Matemática, página 68, Nono Ano, dos Professores: Iezzi, Dolce e Machado, Editora Atual consta o seguinte exercício:
20) Determine se existirem, os dois números reais que têm:
a)...
b)...
c)...
d) soma 10 e produto 30. (Resposta: Não existem.)
Aplicando a Fórmula de Bháskara Digital, constata-se que o Delta é negativo.
Veja que podemos com os números 10 e 30 desenhar figuras geométricas de retângulos: com altura 10 e base 30 ou com base 10 e altura 30, mas não podemos formar uma equação do segundo grau.
Elaborando somas e produtos como os números 10 e 30 temos:
De quantas adições podemos obter o número 10 ?
1) 1 + 9 = 10
2) 2 + 8 = 10
3) 3 + 7 = 10
4) 4 + 6 = 10
5) 5 + 5 = 10
De quantas multiplicações podemos obter o número 30 ?
1) 1 x 30 = 30
2) 2 x 15 = 30
3) 3 x 10 = 30
4) 5 x 6 = 30
Não há duplas de números que se repetem tanto nas parcelas das somas quanto nos fatores dos produtos.
A partir dos números 10 e 30 podemos formar uma equação do segundo grau:
Soma dos dois números dados:
10 + 30 = 40
Produtos dos dois números dados:
10 x 30 = 300
Montando a equação:
x2 - 40x + 300 = 0
Aplicando o Delta:
Δ = b2 - 4 . 1. c
Δ = 402 - 4 . 1. (+300)
Δ = 1600 - 1200
Δ = 400
Δ > 0, a equação têm duas raízes reais distintas.
Aplicando a Fórmula de Bháskara Digital, constata-se que o Delta é positivo.
Fazendo a verificação por meio da soma e produto a partir dos números 40 e 300 comprova-se também que as raízes da equação:
x2 - 40x + 300 = 0
são o números 10 e 30.
De quantas adições podemos obter o número 40 ?
a) 1 + 39 = 40
b) 2 + 38 = 40
c) 3 + 37 = 40
d) 4 + 36 = 40
e) 5 + 35 = 40
f) 6 + 34 = 40
g) 7 + 33 = 40
h) 8 + 32 = 40
i) 9 + 31 = 40
j) 10 + 30 = 40 (par de parcelas) |
k) 11 + 29 = 40
l) 12 + 28 = 40
m) 13 + 27 = 40
n) 14 + 26 = 40
o) 15 + 25 = 40
p) 16 + 24 = 40
q) 17 + 23 = 40
r) 18 + 22 = 40
s) 19 + 21 = 40
t) 20 + 20 = 40
De quantas multiplicações podemos obter o número 300 ?
a) 1 x 300 = 300
b) 2 x 150 = 300
c) 3 x 100 = 300
d) 4 x 75 = 300
e) 5 x 60 = 300
f) 6 x 50 = 300
g) 10 x 30 = 300 (par de fatores) |
h) 12 x 25 = 300
i) 15 x 25 = 300
Os números 10 e 30 aparecem com parcelas na adição e como fatores na multiplicação, portanto são as raízes da equação:
x2 - 40x + 300 = 0
Fazer multiplicações para se saber quais são dois fatores de determinado produto não é uma tarefa prática, ainda mais para número grande, para isso podemos utilizar o algorítmo da Decomposição em Fatores Primos, vejamos:
Fatores Primos | Divisores | |||||||
1 | ||||||||
300 | 2 | 2 | ||||||
150 | 2 | 4 | ||||||
75 | 3 | 3 | 6 | 12 | ||||
25 | 5 | 5 | 10 | 20 | 15 | 30 | 60 | |
5 | 5 | 25 | 50 | 100 | 75 | 150 | 300 | |
1 |
300 = 22+1 x 31+1 x 52+1
3 x 2 x 3 = 18
O número 300 possui 18 divisores
D(300): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300
Com 18 divisores pode-se fazer 9 pares (2 fatores que multiplicados tem como produto 300).
Portanto é possível formar 9 Equações do Segundo Grau com pares de divisores do número 300.
Os pares (fatores 10 e 30) são as raízes da equação.
x2 - 40x + 300 = 0
1 | x | 300 | = | 300 |
2 | x | 150 | = | 300 |
3 | x | 100 | = | 300 |
4 | x | 75 | = | 300 |
5 | x | 60 | = | 300 |
6 | x | 50 | = | 300 |
10 | x | 30 | = | 300 |
12 | x | 25 | = | 300 |
15 | x | 20 | = | 300 |
Autor: Ricardo Silva- maio/2020
ANDRADE, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000
DANTE, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009
IEZZI, Gelson. Matêmática e realidade: 90 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo: Atual, 2009
VALE, Alberton Fagno Albino do. As diferentes Estratégias de Resolução da Equação do Segundo Grau. Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiárido – Ufersa, Mossoró, 2013
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