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Equação do Segundo Grau e raízes quadradas negativas- 026

A Fórmula Geral de Resolução da Equação do Segundo, também conhecida por Fórmula de Bháskara (por nós brasileiros) possui o número Delta (Δ), que é chamado de Discriminante da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0 pelo qual podemos saber quantas raízes reais uma equação tem antes de desenvolvê-la.

Fórmula Geral de Resolução de Equação do Segundo Grau

    - b ± √b 2 - 4 . a .c
x = _____________
    2.a

Discriminante da Equação do Segundo Grau

Δ = b2 - 4 . 1. c

Quando Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.

Quando Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.

Quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais.

Equação do Segundo Grau em que o Δ < 0 (menor que zero) apresenta raiz quadrada de número negativo.

Raiz quadrada de número negativo não tem solução no Conjunto dos Números Reais.

Resolver uma Equação do Segundo Grau é encontrar dois números cuja soma e o produto são dados.

Equação do Segundo Grau: x2 - 5x + 6 = 0

x2 - 5x + 6 = 0

Aplicando o Delta:

Δ = b2 - 4 . 1. c

Δ = 52 - 4 . 1. (+6)

Δ = 25 - 24

Δ = 1

Δ > 0 (maior que zero), a equação tem duas raízes reais distintas.

Aplicando a Fórmula de Bháskara

    - b ± √Δ
x = ________
    2.a
    - (+5) ± √1
x = _________
    2.1
    - 5 ± 1
x = _____
    2

Raízes da equação: duas raízes reais distintas.

    - 5 - 1    
x' = _____ = -3
    2    
    - 5 + 1    
x'' = _____ = -2
    2    

Equação: x2 - 5x + 6 = 0 (por meio da soma e produto dados)

Um outro método de se saber as raízes de uma equação do segundo grau é procedendo da seguinte forma:

De quantas adições podemos obter o número 5 ?

1) 1 + 4 = 5

2) 2 + 3 = 5

De quantas multiplicações podemos obter o número 6 ?

1) 1 x 6 = 6

2) 2 x 3 = 6

Os números 2 e 3 aparecerem como parcelas na soma e como fatores no produto, portanto são as duas raízes da equação:

x2 - 5x + 6 = 0

Equação do Segundo Grau: x2 - 14x + 50 = 0

A Equação do Segundo Grau: x2 - 14x + 50 = 0 aparece como um dos exercícios no livro Tudo é Matemática, página 59, Nono Ano, do Prof. Luiz Roberto Dante, Editora Ática a qual não tem solução no Conjunto do Números Reais, isto é, o Delta é negativo.

x2 - 14x + 50 = 0

Aplicando o Delta:

Δ = b2 - 4 . 1. c

Δ = 142 - 4 . 1. (+50)

Δ = 196 - 200

Δ = -4

Δ > 0, a equação não tem raíz real.

Equação: x2 - 14x + 50 = 0 (por meio da soma e produto dados)

De quantas adições podemos obter o número 14 ?

1) 1 + 13 = 14

2) 2 + 12 = 14

3) 3 + 11 = 14

4) 4 + 10 = 14

5) 5 + 9 = 14

6) 6 + 8 = 14

7) 7 + 7 = 14

De quantas multiplicações podemos obter o número 50 ?

1) 1 x 50 = 50

2) 2 x 25 = 50

3) 5 x 10 = 50

Não há duplas de números que se repetem tanto nas parcelas da soma quanto nos fatores dos produtos.

Decomposição em fatores primos do número 50

Fazer multiplicações para se saber quais são dois fatores de determinado produto não é uma tarefa prática, ainda mais para número grande, para isso podemos utilizar o algorítmo da Decomposição em Fatores Primos, vejamos:

  Fatores Primos Divisores  
    1  
50 2 2  
25 5 5 10
5 5 25 50
1      

50 = 21+1 x 52+1

2 x 3 = 6

O número 50 possui 6 divisores

D(50): 1, 2, 5, 10, 25, 50

Com 6 divisores pode-se fazer 3 pares (2 fatores que multiplicados tem como produto 50)

Portanto é possível formar 3 Equações do Segundo Grau com pares de divisores do número 50.

1 2 5   10 25 50    
1     x     50 = 50
  2   x   25   = 50
    5 x 10     = 50

Nenhum dos pares (fatores) são raízes da equação:

x2 - 14x + 50 = 0

Equação: x2 - 14x + 50 = 0 (permutando o temo independente "c")

Interessante observar que invertendo as operações de soma por multiplicações e posteriormente permutando os produtos pelo termo independente "c" na equação, os valores do Delta têm como resultados números quadrados perfeitos.

1) 1 x 13 = 13

2) 2 x 12 = 24

3) 3 x 11 = 33

4) 4 x 10 = 40

5) 5 x 9 = 45

6) 6 x 8 = 48

7) 7 x 7 = 49

Permutando o termo independente "c", os valores do Delta apresentam como resultados números quadrados perfeitos pares em ordem decrescente.

a) x2 - 14x + 13 = 0

Δ = 144

b) x2 - 14x + 24 = 0

Δ = 100

c) x2 - 14x + 33 = 0

Δ = 64

d) x2 - 14x + 40 = 0

Δ = 36

e) x2 - 14x + 48 = 0

Δ = 16

f) x2 - 14x + 49 = 0

Δ = 0

Permutando o termo "c" com números maiores que 50, o Delta fica negativo.

a) x2 - 14x + 51 = 0

Δ = - 8

b) x2 - 14x + 52 = 0

Δ = - 12

c) x2 - 14x + 52 = 0

Δ = - 16

Soma 10 e produto 30

No livro Realidade Matemática, página 68, Nono Ano, dos Professores: Iezzi, Dolce e Machado, Editora Atual consta o seguinte exercício:

20) Determine se existirem, os dois números reais que têm:

a)...

b)...

c)...

d) soma 10 e produto 30. (Resposta: Não existem.)

Aplicando a Fórmula de Bháskara Digital, constata-se que o Delta é negativo.

equaçao do segundo grau e raiz quadrada negativa

Veja que podemos com os números 10 e 30 desenhar figuras geométricas de retângulos: com altura 10 e base 30 ou com base 10 e altura 30, mas não podemos formar uma equação do segundo grau.

Elaborando somas e produtos como os números 10 e 30 temos:

De quantas adições podemos obter o número 10 ?

a) 1 + 9 = 10

b) 2 + 8 = 10

d) 3 + 7 = 10

e) 4 + 6 = 10

f) 5 + 5 = 10

De quantas multiplicações podemos obter o número 30 ?

a) 1 x 30 = 30

b) 2 x 15 = 30

d) 3 x 10 = 30

e) 5 x 6 = 30

Não há duplas de números que se repetem tanto nas parcelas das somas quanto nos fatores dos produtos.

A partir dos números 10 e 30 podemos formar uma equação do segundo grau:

Soma dos dois números dados:

10 + 30 = 40

Produtos dos dois números dados:

10 x 30 = 300

Montando a equação:

x2 - 40x + 300 = 0

Aplicando o Delta:

Δ = b2 - 4 . 1. c

Δ = 402 - 4 . 1. (+300)

Δ = 1600 - 1200

Δ = 400

Δ > 0, a equação têm duas raízes reais distintas.

Aplicando a Fórmula de Bháskara Digital, constata-se que o Delta é positivo.

equacaço do segundo grau - raiz quadrada positiva

Fazendo a verificação por meio da soma e produto a partir dos números 40 e 300 comprova-se também que as raízes da equação:

x2 - 40x + 300 = 0

são o números 10 e 30.

De quantas adições podemos obter o número 40 ?

a) 1 + 39 = 40

b) 2 + 38 = 40

c) 3 + 37 = 40

d) 4 + 36 = 40

e) 5 + 35 = 40

f) 6 + 34 = 40

g) 7 + 33 = 40

h) 8 + 32 = 40

i) 9 + 31 = 40

j) 10 + 30 = 40 (par de parcelas)

k) 11 + 29 = 40

l) 12 + 28 = 40

m) 13 + 27 = 40

n) 14 + 26 = 40

o) 15 + 25 = 40

p) 16 + 24 = 40

q) 17 + 23 = 40

r) 18 + 22 = 40

s) 19 + 21 = 40

t) 20 + 20 = 40

De quantas multiplicações podemos obter o número 300 ?

a) 1 x 300 = 300

b) 2 x 150 = 300

c) 3 x 100 = 300

d) 4 x 75 = 300

e) 5 x 60 = 300

f) 6 x 50 = 300

g) 10 x 30 = 300 (par de fatores)

h) 12 x 25 = 300

i) 15 x 25 = 300

Os números 10 e 30 aparecem com parcelas na adição e como fatores na multiplicação, portanto são as raízes da equação:

x2 - 40x + 300 = 0

Decomposição em fatores primos do número 300

Fazer multiplicações para se saber quais são dois fatores de determinado produto não é uma tarefa prática, ainda mais para número grande, para isso podemos utilizar o algorítmo da Decomposição em Fatores Primos, vejamos:

  Fatores Primos Divisores
    1            
300 2 2            
150 2 4            
75 3 3 6 12        
25 5 5 10 20 15 30 60  
5 5 25 50 100 75 150 300  
1                

300 = 22+1 x 31+1 x 52+1

3 x 2 x 3 = 18

O número 300 possui 18 divisores

D(300): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300

Com 18 divisores pode-se fazer 9 pares (2 fatores que multiplicados tem como produto 300).

Portanto é possível formar 9 Equações do Segundo Grau com pares de divisores do número 300.

Os pares (fatores 10 e 30) são as raízes da equação

x2 - 40x + 300 = 0

1 2 3 4 5 6 10 12 15   20 25 30 50 60 75 100 150 300    
                                         
1                 x                 300 = 300
  2               x               150   = 300
    3             x             100     = 300
      4           x           75       = 300
        5         x         60         = 300
          6       x       50           = 300
            10     x     30             = 300
              12   x   25               = 300
                15 x 20                 = 300
                                         

 

Autor: Ricardo Silva- maio/2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Iezzi, Gelson. Matêmática e realidade: 90 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo: Atual, 2009

Vale, Alberton Fagno Albino do. As diferentes Estratégias de Resolução da Equação do Segundo Grau. Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiárido – Ufersa, Mossoró, 2013

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