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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Tabuada de Progressões Aritméticas - 308

Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo antecessor somado com um número constante chamado de razão.

O estudo demonstra a Tabuada de Somas de Progressões Aritméticas a qual apresenta padrões e regularidades numéricas entre as sequências de número naturais com números triangulares.

O produto de um número natural por número triangular tem como resultado a soma dos termos da progessão aritmética desse número natural.

Números Naturais

A sequência dos números naturais é uma progressão aritmética de razão 1.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,...

Somando-se sempre 1 unidade a partir do número 1, obtem-se sempre um número sucessor:

1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

e assim sucessivamente.

Soma de números naturais consecutivos

A soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares.

Números triangulares são números que podem formar figuras de triângulos por meio de arranjos de pontos.

Soma de números naturais consecutivos
   
ordem/ Números Triangulares
posição  
   
1 1
   
2 1 + 2 = 3
   
3 1 + 2 + 3 = 6
   
4 1 + 2 + 3 + 4 = 10
   
5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
   
   
6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
   
7 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
   
8 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
   
9 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
   
10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
   
11 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66
   
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Posição/ordem de números triangulares

O número 1 é o primeiro número triangular.

O número 3 é o segundo número triangular.

O número 6 é o terceiro número triangular.

A posição/ordem de um número triangular é a última parcela nas somas de números naturais consecutivos.

Na soma 1 + 2 = 3

O número 2 é a ordem/posição do triangular 3.

Na soma 1 + 2 + 3 = 6

O número 3 é a ordem/posição do triangular 6.

Na soma 1 + 2 + 3 + 4 = 10

O número 4 é a ordem/posição do triangular 10.

Sequência de números triangulares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ....

Método prático para se obter número triangular

O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

Triangular 1

1 x 2 = 2

2 : 2 = 1

Triangular 3

2 x 3 = 6

6 : 2 = 3

Triangular 6

3 x 4 = 12

12 : 2 = 6

Múltiplos de 2

Os números múltiplos de 2 formam uma progessão aritmética cujo primeiro termo é 2 e a razão é 2.

múltiplos
de 2
 
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20

Soma de múltiplos de 2 consecutivos

A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 2 e a soma consecutiva de seus termos.

múltiplos soma
de 2 consecutiva
   
2  
4 6
6 12
8 20
10 30
12 42
14 56
16 72
18 90
20 110
   
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Múltiplos de 3

Os números múltiplos de 3 formam uma progessão aritmética cujo primeiro termo é 3 e a razão é 3.

múltiplos
de 3
 
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30

Soma de múltiplos de 3 consecutivos

A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 3 e a soma consecutiva de seus termos.

múltiplos soma
de 3 consecutiva
   
3  
6 9
9 18
12 30
15 45
18 63
21 84
24 108
27 135
30 165
   
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Tabuada de somas de progressões aritméticas

A multiplicação de um número natural por um número triangular tem como resultado a soma de termos de uma progressão aritmética formada por múltiplos de um número natural.

Querendo-se saber qual é a soma dos 4 primeiros múltiplos de 2, verifica-se na Tabuada a intersecção do 2 com o triangular 10, o produto é 20, o número 10 é o quarto número triangular.

Querendo-se saber qual é a soma dos 8 primeiros múltiplos de 3, verifica-se na Tabuada a intersecção do 3 com o triangular 36, o produto é 108, o número 36 é o oitavo número triangular.

Tabuada de somas
de progressões aritméticas
 
  quantidade de termos na linha
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  números triangulares
x   1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
números                      
naturais                      
2   2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
3   3 9 18 30 45 63 84 108 135 165
4   4 12 24 40 60 84 112 144 180 220
5   5 15 30 50 75 105 140 180 225 275
6   6 18 36 60 90 126 168 216 270 330
7   7 21 42 70 105 147 196 252 315 385
8   8 24 48 80 120 168 224 288 360 440
9   9 27 54 90 135 189 252 324 405 495
10   10 30 60 100 150 210 280 360 450 550
                       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

 

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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