Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo antecessor somado com um número constante chamado de razão.
O estudo demonstra a Tabuada de Somas de Progressões Aritméticas a qual apresenta padrões e regularidades numéricas entre as sequências de número naturais com números triangulares.
O produto de um número natural por número triangular tem como resultado a soma dos termos da progessão aritmética desse número natural.
A sequência dos números naturais é uma progressão aritmética de razão 1.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,...
Somando-se sempre 1 unidade a partir do número 1, obtem-se sempre um número sucessor:
1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4
4 + 1 = 5
e assim sucessivamente.
A soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares.
Números triangulares são números que podem formar figuras de triângulos por meio de arranjos de pontos.
| Soma de números naturais consecutivos | |
|---|---|
| ordem/ | Números Triangulares |
| posição | |
| 1 | 1 |
| 2 | 1 + 2 = 3 |
| 3 | 1 + 2 + 3 = 6 |
| 4 | 1 + 2 + 3 + 4 = 10 |
| 5 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 |
| 6 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 |
| 7 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 |
| 8 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 |
| 9 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 |
| 10 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 |
| 11 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66 |
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O número 1 é o primeiro número triangular.
O número 3 é o segundo número triangular.
O número 6 é o terceiro número triangular.
A posição/ordem de um número triangular é a última parcela nas somas de números naturais consecutivos.
Na soma 1 + 2 = 3
O número 2 é a ordem/posição do triangular 3.
Na soma 1 + 2 + 3 = 6
O número 3 é a ordem/posição do triangular 6.
Na soma 1 + 2 + 3 + 4 = 10
O número 4 é a ordem/posição do triangular 10.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ....
O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
1 x 2 = 2
2 : 2 = 1
2 x 3 = 6
6 : 2 = 3
3 x 4 = 12
12 : 2 = 6
Os números múltiplos de 2 formam uma progessão aritmética cujo primeiro termo é 2 e a razão é 2.
| múltiplos |
| de 2 |
| 2 |
| 4 |
| 6 |
| 8 |
| 10 |
| 12 |
| 14 |
| 16 |
| 18 |
| 20 |
A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 2 e a soma consecutiva de seus termos.
| múltiplos | soma |
| de 2 | consecutiva |
| 2 | |
| 4 | 6 |
| 6 | 12 |
| 8 | 20 |
| 10 | 30 |
| 12 | 42 |
| 14 | 56 |
| 16 | 72 |
| 18 | 90 |
| 20 | 110 |
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Os números múltiplos de 3 formam uma progessão aritmética cujo primeiro termo é 3 e a razão é 3.
| múltiplos |
| de 3 |
| 3 |
| 6 |
| 9 |
| 12 |
| 15 |
| 18 |
| 21 |
| 24 |
| 27 |
| 30 |
A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 3 e a soma consecutiva de seus termos.
| múltiplos | soma |
| de 3 | consecutiva |
| 3 | |
| 6 | 9 |
| 9 | 18 |
| 12 | 30 |
| 15 | 45 |
| 18 | 63 |
| 21 | 84 |
| 24 | 108 |
| 27 | 135 |
| 30 | 165 |
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A multiplicação de um número natural por um número triangular tem como resultado a soma de termos de uma progressão aritmética formada por múltiplos de um número natural.
Querendo-se saber qual é a soma dos 4 primeiros múltiplos de 2, verifica-se na Tabuada a intersecção do 2 com o triangular 10, o produto é 20, o número 10 é o quarto número triangular.
Querendo-se saber qual é a soma dos 8 primeiros múltiplos de 3, verifica-se na Tabuada a intersecção do 3 com o triangular 36, o produto é 108, o número 36 é o oitavo número triangular.
| Tabuada de somas | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| de progressões aritméticas | |||||||||||
| quantidade de termos na linha | |||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| números triangulares | |||||||||||
| x | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | |
| números | |||||||||||
| naturais | |||||||||||
| 2 | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | 42 | 56 | 72 | 90 | 110 | |
| 3 | 3 | 9 | 18 | 30 | 45 | 63 | 84 | 108 | 135 | 165 | |
| 4 | 4 | 12 | 24 | 40 | 60 | 84 | 112 | 144 | 180 | 220 | |
| 5 | 5 | 15 | 30 | 50 | 75 | 105 | 140 | 180 | 225 | 275 | |
| 6 | 6 | 18 | 36 | 60 | 90 | 126 | 168 | 216 | 270 | 330 | |
| 7 | 7 | 21 | 42 | 70 | 105 | 147 | 196 | 252 | 315 | 385 | |
| 8 | 8 | 24 | 48 | 80 | 120 | 168 | 224 | 288 | 360 | 440 | |
| 9 | 9 | 27 | 54 | 90 | 135 | 189 | 252 | 324 | 405 | 495 | |
| 10 | 10 | 30 | 60 | 100 | 150 | 210 | 280 | 360 | 450 | 550 | |
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