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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Tabuada de Progressões Aritméticas - 308

Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo antecessor somado com um número constante chamado de razão.

tabuada de soma de progressões aritméticas

O estudo demonstra a Tabuada de Somas de Progressões Aritméticas a qual apresenta padrões e regularidades numéricas entre as sequências de números naturais com números triangulares.

O produto de um número natural por número triangular tem como resultado a soma dos termos da progessão aritmética desse número natural.

Números Naturais

A sequência dos números naturais é uma progressão aritmética de razão 1.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,...

Somando-se sempre 1 unidade a partir do número 1, obtem-se sempre um número sucessor:

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

e assim sucessivamente.

Soma de números naturais consecutivos

A soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares.

Números triangulares são números que podem formar figuras de triângulos por meio de arranjos de pontos.

Soma de números naturais consecutivos

ordem/	Números Triangulares
posição

1	1

2	1 + 2 = 3

3	1 + 2 + 3 = 6

4	1 + 2 + 3 + 4 = 10

5	1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

6	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

7	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

8	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

9	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

10	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

11	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66

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Ordem / Posição de números triangulares

O número 1 é o primeiro número triangular.

O número 3 é o segundo número triangular.

O número 6 é o terceiro número triangular.

A ordem / posição de um número triangular é a última parcela nas somas de números naturais consecutivos.

Na soma 1 + 2 = 3

O número 2 é a ordem / posição do triangular 3.

Na soma 1 + 2 + 3 = 6

O número 3 é a ordem / posição do triangular 6.

Na soma 1 + 2 + 3 + 4 = 10

O número 4 é a ordem / posição do triangular 10.

Sequência de números triangulares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ....

Método prático para se obter número triangular

O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.

Triangular 1

1 x 2 = 2

2 : 2 = 1

Triangular 3

2 x 3 = 6

6 : 2 = 3

Triangular 6

3 x 4 = 12

12 : 2 = 6

Múltiplos de 2

Os números múltiplos de 2 formam uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 2 e a razão é 2.

múltiplos
de 2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Soma de múltiplos de 2 consecutivos

A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 2 e a soma consecutiva de seus termos.

múltiplos	soma
de 2	consecutiva

2
4	6
6	12
8	20
10	30
12	42
14	56
16	72
18	90
20	110

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Múltiplos de 3

Os números múltiplos de 3 formam uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 3 e a razão é 3.

múltiplos
de 3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

Soma de múltiplos de 3 consecutivos

A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 3 e a soma consecutiva de seus termos.

múltiplos	soma
de 3	consecutiva

3
6	9
9	18
12	30
15	45
18	63
21	84
24	108
27	135
30	165

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Tabuada de somas de progressões aritméticas

A multiplicação de um número natural por um número triangular tem como resultado a soma de termos de uma progressão aritmética formada por múltiplos de um número natural.

Querendo-se saber qual é a soma dos 4 primeiros múltiplos de 2, verifica-se na Tabuada de Somas de Progressões Aritméticas a intersecção do 2 com o triangular 10, o produto é 20, o número 10 é o quarto número triangular.

Querendo-se saber qual é a soma dos 8 primeiros múltiplos de 3, verifica-se na Tabuada de Somas de Progressões Aritméticas a intersecção do 3 com o triangular 36, o produto é 108, o número 36 é o oitavo número triangular.

Tabuada de somas
de progressões aritméticas

	quantidade de termos na linha
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	números triangulares
x	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55
números
naturais
2	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
3	3	9	18	30	45	63	84	108	135	165
4	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220
5	5	15	30	50	75	105	140	180	225	275
6	6	18	36	60	90	126	168	216	270	330
7	7	21	42	70	105	147	196	252	315	385
8	8	24	48	80	120	168	224	288	360	440
9	9	27	54	90	135	189	252	324	405	495
10	10	30	60	100	150	210	280	360	450	550

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Novas fórmulas de soma de n termos de Progressão Geométrica

No livro digital Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de soma de PAs e PGs são apresentadas novas fórmulas exclusivas para saber a soma de n termos de Progressões Aritmétricas e Geométricas.

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020