Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo antecessor somado com um número constante chamado de razão.
O estudo demonstra a Tabuada de Somas de Progressões Aritméticas a qual apresenta padrões e regularidades numéricas entre as sequências de número naturais com números triangulares.
O produto de um número natural por número triangular tem como resultado a soma dos termos da progessão aritmética desse número natural.
A sequência dos números naturais é uma progressão aritmética de razão 1.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,...
Somando-se sempre 1 unidade a partir do número 1, obtem-se sempre um número sucessor:
1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4
4 + 1 = 5
e assim sucessivamente.
A soma de números naturais consecutivos têm como resultados números triangulares.
Números triangulares são números que podem formar figuras de triângulos por meio de arranjos de pontos.
| Soma de números naturais consecutivos | |
|---|---|
| ordem/ | Números Triangulares |
| posição | |
| 1 | 1 |
| 2 | 1 + 2 = 3 |
| 3 | 1 + 2 + 3 = 6 |
| 4 | 1 + 2 + 3 + 4 = 10 |
| 5 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 |
| 6 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 |
| 7 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 |
| 8 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 |
| 9 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 |
| 10 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 |
| 11 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66 |
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O número 1 é o primeiro número triangular.
O número 3 é o segundo número triangular.
O número 6 é o terceiro número triangular.
A posição/ordem de um número triangular é a última parcela nas somas de números naturais consecutivos.
Na soma 1 + 2 = 3
O número 2 é a ordem/posição do triangular 3.
Na soma 1 + 2 + 3 = 6
O número 3 é a ordem/posição do triangular 6.
Na soma 1 + 2 + 3 + 4 = 10
O número 4 é a ordem/posição do triangular 10.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ....
O produto de dois números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
1 x 2 = 2
2 : 2 = 1
2 x 3 = 6
6 : 2 = 3
3 x 4 = 12
12 : 2 = 6
Os números múltiplos de 2 formam uma progessão aritmética cujo primeiro termo é 2 e a razão é 2.
| múltiplos |
| de 2 |
| 2 |
| 4 |
| 6 |
| 8 |
| 10 |
| 12 |
| 14 |
| 16 |
| 18 |
| 20 |
A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 2 e a soma consecutiva de seus termos.
| múltiplos | soma |
| de 2 | consecutiva |
| 2 | |
| 4 | 6 |
| 6 | 12 |
| 8 | 20 |
| 10 | 30 |
| 12 | 42 |
| 14 | 56 |
| 16 | 72 |
| 18 | 90 |
| 20 | 110 |
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Os números múltiplos de 3 formam uma progessão aritmética cujo primeiro termo é 3 e a razão é 3.
| múltiplos |
| de 3 |
| 3 |
| 6 |
| 9 |
| 12 |
| 15 |
| 18 |
| 21 |
| 24 |
| 27 |
| 30 |
A tabela demonstra os 10 primeiros múltiplos de 3 e a soma consecutiva de seus termos.
| múltiplos | soma |
| de 3 | consecutiva |
| 3 | |
| 6 | 9 |
| 9 | 18 |
| 12 | 30 |
| 15 | 45 |
| 18 | 63 |
| 21 | 84 |
| 24 | 108 |
| 27 | 135 |
| 30 | 165 |
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A multiplicação de um número natural por um número triangular tem como resultado a soma de termos de uma progressão aritmética formada por múltiplos de um número natural.
Querendo-se saber qual é a soma dos 4 primeiros múltiplos de 2, verifica-se na Tabuada a intersecção do 2 com o triangular 10, o produto é 20, o número 10 é o quarto número triangular.
Querendo-se saber qual é a soma dos 8 primeiros múltiplos de 3, verifica-se na Tabuada a intersecção do 3 com o triangular 36, o produto é 108, o número 36 é o oitavo número triangular.
| Tabuada de somas | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| de progressões aritméticas | |||||||||||
| quantidade de termos na linha | |||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| números triangulares | |||||||||||
| x | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | |
| números | |||||||||||
| naturais | |||||||||||
| 2 | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | 42 | 56 | 72 | 90 | 110 | |
| 3 | 3 | 9 | 18 | 30 | 45 | 63 | 84 | 108 | 135 | 165 | |
| 4 | 4 | 12 | 24 | 40 | 60 | 84 | 112 | 144 | 180 | 220 | |
| 5 | 5 | 15 | 30 | 50 | 75 | 105 | 140 | 180 | 225 | 275 | |
| 6 | 6 | 18 | 36 | 60 | 90 | 126 | 168 | 216 | 270 | 330 | |
| 7 | 7 | 21 | 42 | 70 | 105 | 147 | 196 | 252 | 315 | 385 | |
| 8 | 8 | 24 | 48 | 80 | 120 | 168 | 224 | 288 | 360 | 440 | |
| 9 | 9 | 27 | 54 | 90 | 135 | 189 | 252 | 324 | 405 | 495 | |
| 10 | 10 | 30 | 60 | 100 | 150 | 210 | 280 | 360 | 450 | 550 | |
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Autor: Ricardo Silva - dezembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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