Neste estudo são apresentados a relação entre as potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.
Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:
a) o seu dobro, multiplicando este número por ele mesmo;
2 x 2 = 4
b) o dobro do dobro, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;
2 x 2 x 2 = 8
Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.
Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciaçãopara indicar uma multiplicação de fatores iguais:
2 x 2 = 2² = 4
2 x 2 x 2 = 2³ = 8
O termos de uma potenciação são:
2³ = 8
2: base
3: expoente
8: potência
Na tabela abaixo, estão as primeiras 50 potências de base 2, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é 2¹, vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 2, e assim para todas as demais potências de base 2.
As potências de base 2 tem uma particularidade, efetuando-se o dobro de 2 e posteriormente dobrando-se os resultados, cada número é uma potência de base 2.
As potências de base 2, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.
Exemplo:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...
As potências de base 2 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.
a) linha 1, a potência 2 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.
b) linha 3, a potência 8 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.
Tabela das potências de base 2 | |||
---|---|---|---|
Base | Expoente | Potência | Raiz Quadrada |
ORDEM | |||
2 | 1 |
2 |
1,414213562 |
2 | 2 |
4 |
2 |
2 | 3 |
8 |
2,828427125 |
2 | 4 |
16 |
4 |
As potências de base 2 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.
a) linha 2, a potência 4 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.
b) linha 4, a potência 16 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.
Tabela das potências de base 2 | |||
---|---|---|---|
Base | Expoente | Potência | Raiz Quadrada |
ORDEM | |||
2 | 1 |
2 |
1,414213562 |
2 | 2 |
4 |
2 |
2 | 3 |
8 |
2,828427125 |
2 | 4 |
16 |
4 |
Na Tabela das Potências de Base 2, também se encontram outras potências de outras bases.
Na linha 2 há a potência 4 de base 2, a própria potência 4 pode ser "transformada" em base 4, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 4:
linha 2 - potência 4 = 4¹
linha 4 - potência 16 = 4²
linha 6 - potência 64 = 4³
E assim, sucessivamente.
Na linha 3 há a potência 8 de base 2, a própria potência 8 pode ser "transformada" em base 8, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 8:
linha 3 - potência 8 = 8¹
linha 6 - potência 64 = 8²
linha 9 - potência 512 = 8³
E assim, sucessivamente.
Na linha 4 há a potência 16 de base 2, a própria potência 16 pode ser "transformada" em base 16, cada linhamúltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 16:
linha 4 - potência 16 = 16¹
linha 8 - potência 256 = 16²
linha 12 - potência 4096 = 16³
E assim, sucessivamente.
Tabela das potências de base 2 | |||
---|---|---|---|
Base | Expoente | Potência | Raiz Quadrada |
ORDEM | |||
2 | 1 |
2 |
1,414213562 |
2 | 2 |
4 |
2 |
2 | 3 |
8 |
2,828427125 |
2 | 4 |
16 |
4 |
2 | 5 |
32 |
5,656854249 |
2 | 6 |
64 |
8 |
2 | 7 |
128 |
11,3137085 |
2 | 8 |
256 |
16 |
2 | 9 |
512 |
22,627417 |
2 | 10 |
1.024 |
32 |
2 | 11 |
2.048 |
45,254834 |
2 | 12 |
4.096 |
64 |
2 | 13 |
8.192 |
90,50966799 |
2 | 14 |
16.384 |
128 |
2 | 15 |
32.768 |
181,019336 |
2 | 16 |
65.536 |
256 |
2 | 17 |
131.072 |
362,038672 |
2 | 18 |
262.144 |
512 |
2 | 19 |
524.288 |
724,0773439 |
2 | 20 |
1.048.576 |
1024 |
2 | 21 |
2.097.152 |
1448,154688 |
2 | 22 |
4.194.304 |
2048 |
2 | 23 |
8.388.608 |
2896,309376 |
2 | 24 |
16.777.216 |
4096 |
2 | 25 |
33.554.432 |
5792,618751 |
2 | 26 |
67.108.864 |
8192 |
2 | 27 |
134.217.728 |
11585,2375 |
2 | 28 |
268.435.456 |
16384 |
2 | 29 |
536.870.912 |
23170,47501 |
2 | 30 |
1.073.741.824 |
32768 |
2 | 31 |
2.147.483.648 |
46340,95001 |
2 | 32 |
4.294.967.296 |
65536 |
2 | 33 |
8.589.934.592 |
92681,90002 |
2 | 34 |
17.179.869.184 |
131072 |
2 | 35 |
34.359.738.368 |
185363,8 |
2 | 36 |
68.719.476.736 |
262144 |
2 | 37 |
137.438.953.472 |
370727,6001 |
2 | 38 |
274.877.906.944 |
524288 |
2 | 39 |
549.755.813.888 |
741455,2002 |
2 | 40 |
1.099.511.627.776 |
1048576 |
2 | 41 |
2.199.023.255.552 |
1482910,4 |
2 | 42 |
4.398.046.511.104 |
2097152 |
2 | 43 |
8.796.093.022.208 |
2965820,801 |
2 | 44 |
17.592.186.044.416 |
4194304 |
2 | 45 |
35.184.372.088.832 |
5931641,602 |
2 | 46 |
70.368.744.177.664 |
8388608 |
2 | 47 |
140.737.488.355.328 |
11863283,2 |
2 | 48 |
281.474.976.710.656 |
16777216 |
2 | 49 |
562.949.953.421.312 |
23726566,41 |
2 | 50 |
1.125.899.906.842.624 |
33554432 |
Autor: Ricardo Silva - novembro/2014
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