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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potenciação e números quadrados perfeitos (base 2) - 088

Neste estudo são apresentados a relação entre as potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.

Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:

a) o seu dobro, multiplicando este número por ele mesmo;

2 x 2 = 4

b) o dobro do dobro, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;

2 x 2 x 2 = 8

Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.

Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais:

2 x 2 = 2² = 4

2 x 2 x 2 = 2³ = 8

Os termos de uma potenciação são:

2³ = 8

2: base

3: expoente

8: potência

Potências de base 2 e regularidades numéricas

Na tabela abaixo, estão as primeiras 50 potências de base 2, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é , vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 2, e assim para todas as demais potências de base 2.

As potências de base 2 tem uma particularidade, efetuando-se o dobro de 2 e posteriormente dobrando-se os resultados, cada número é uma potência de base 2.

As potências de base 2, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.

Exemplo:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...

Potências de base 2 de expoente ímpar

As potências de base 2 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.

a) linha 1, a potência 2 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

b) linha 3, a potência 8 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

Tabela das potências de base 2
Base Expoente Potência Raiz Quadrada
  ORDEM    
2 1 2 1,414213562
2 2 4 2
2 3 8 2,828427125
2 4 16 4

Potências de base 2 de expoente par

As potências de base 2 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.

a) linha 2, a potência 4 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

b) linha 4, a potência 16 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

Tabela das potências de base 2
Base Expoente Potência Raiz Quadrada
  ORDEM    
2 1 2 1,414213562
2 2 4 2
2 3 8 2,828427125
2 4 16 4

Potências de outras bases

Na Tabela das Potências de Base 2, também se encontram outras potências de outras bases.

Potências de base 4

Na linha 2 há a potência 4 de base 2, a própria potência 4 pode ser "transformada" em base 4, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 4:

linha 2 - potência 4 = 

linha 4 - potência 16 = 

linha 6 - potência 64 = 

E assim, sucessivamente.

Potências de base 8

Na linha 3 há a potência 8 de base 2, a própria potência 8 pode ser "transformada" em base 8, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 8:

linha 3 - potência 8 = 

linha 6 - potência 64 = 

linha 9 - potência 512 = 

E assim, sucessivamente.

Potências de base 16

Na linha 4 há a potência 16 de base 2, a própria potência 16 pode ser "transformada" em base 16, cada linhamúltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 16:

linha 4 - potência 16 = 16¹

linha 8 - potência 256 = 16²

linha 12 - potência 4096 = 16³

E assim, sucessivamente.

Tabela das potências de base 2
Base Expoente Potência Raiz Quadrada
  ORDEM    
2 1 2 1,414213562
2 2 4 2
2 3 8 2,828427125
2 4 16 4
2 5 32 5,656854249
2 6 64 8
2 7 128 11,3137085
2 8 256 16
2 9 512 22,627417
2 10 1.024 32
2 11 2.048 45,254834
2 12 4.096 64
2 13 8.192 90,50966799
2 14 16.384 128
2 15 32.768 181,019336
2 16 65.536 256
2 17 131.072 362,038672
2 18 262.144 512
2 19 524.288 724,0773439
2 20 1.048.576 1024
2 21 2.097.152 1448,154688
2 22 4.194.304 2048
2 23 8.388.608 2896,309376
2 24 16.777.216 4096
2 25 33.554.432 5792,618751
2 26 67.108.864 8192
2 27 134.217.728 11585,2375
2 28 268.435.456 16384
2 29 536.870.912 23170,47501
2 30 1.073.741.824 32768
2 31 2.147.483.648 46340,95001
2 32 4.294.967.296 65536
2 33 8.589.934.592 92681,90002
2 34 17.179.869.184 131072
2 35 34.359.738.368 185363,8
2 36 68.719.476.736 262144
2 37 137.438.953.472 370727,6001
2 38 274.877.906.944 524288
2 39 549.755.813.888 741455,2002
2 40 1.099.511.627.776 1048576
2 41 2.199.023.255.552 1482910,4
2 42 4.398.046.511.104 2097152
2 43 8.796.093.022.208 2965820,801
2 44 17.592.186.044.416 4194304
2 45 35.184.372.088.832 5931641,602
2 46 70.368.744.177.664 8388608
2 47 140.737.488.355.328 11863283,2
2 48 281.474.976.710.656 16777216
2 49 562.949.953.421.312 23726566,41
2 50 1.125.899.906.842.624 33554432
       
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sobre construções de triângulos.

Autor: Ricardo Silva - novembro/2014

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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