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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potenciação e numeros quadrados perfeitos (base-3) - 089

Neste estudo são apresentados relações numéricas entre potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.

Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:

1) o seu triplo, multiplicando este número por ele mesmo;

3 x 3 = 9

2) o triplo do triplo, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;

3 x 3 x 3 = 27

Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.

Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais:

3 x 3 = 3² = 9

3 x 3 x 3 = 3³ = 27

O termos de uma potenciação são:

3³ = 27

3: base

3: expoente

27: potência

Potências de base 3 e regularidades numéricas

Na tabela abaixo, estão as primeiras 50 potências de base 3, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é 3¹, vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 3, e assim para todas as demais potências de base 3.

As potências de base 3, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.

Potências de base 3 de expoente ímpar

As potências de base 3 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.

a) linha 1, a potência 3 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

b) linha 3, a potência 27 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

Tabela de
Potências
de base 3

Base Expoente Potência Raiz
Quadrada

ORDEM

3 1 3 1,732

3 2 9 3

3 3 27 5,196

3 4 81 9

Potências de base 3 de expoente par

As potências de base 3 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.

a) linha 2, a potência 9 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

b) linha 4, a potência 81 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

Tabela de
Potências
de base 3

Base Expoente Potência Raiz
Quadrada

ORDEM

3 1 3 1,732

3 2 9 3

3 3 27 5,196

3 4 81 9

Potências de outras bases

Na Tabela das Potências de Base 3, também se encontram outras potências de outras bases.

Potências de base 9

Na linha 2 há a potência 9 de base 3, a própria potência 9 pode ser "transformada" em base 9, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 9:

linha 2 - potência 9 = 9¹

linha 4 - potência 81 = 9²

linha 6 - potência 729 = 9³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 27

Na linha 3 há a potência 27 de base 3, a própria potência 27 pode ser "transformada" em base 27, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 27:

linha 3 - potência 27 = 27¹

linha 6 - potência 729 = 27²

linha 9 - potência 19.683 = 27³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 81

Na linha 4 há a potência 81 de base 3, a própria potência 81 pode ser "transformada" em base 81, cada linha múltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 81:

linha 4 - potência 81 = 81¹

linha 8 - potência 6.561 = 81²

linha 12 - potência 531.441 = 81³

E assim, sucessivamente.

Tabela de potências de base 3

A tabela apresenta as 30 primeiras potências de base 3 e suas respectivas raízes quadradas.

Tabela de Potências de base 3
Base	Expoente	Potência	Raiz Quadrada
	ORDEM
3	1	3	1,73
3	2	9	3
3	3	27	5,19
3	4	81	9
3	5	243	15,58
3	6	729	27
3	7	2.187	46,76
3	8	6.561	81
3	9	19.683	140,29
3	10	59.049	243
3	11	177.147	420,88
3	12	531.441	729
3	13	1.594.323	1262,66
3	14	4.782.969	2187
3	15	14.348.907	3787,99
3	16	43.046.721	6561
3	17	129.140.163	11363,98
3	18	387.420.489	19683
3	19	1.162.261.467	34091,95
3	20	3.486.784.401	59049
3	21	10.460.353.203	102275,86
3	22	31.381.059.609	177147
3	23	94.143.178.827	306827,60
3	24	282.429.536.481	531441
3	25	847.288.609.443	920482,81
3	26	2.541.865.828.329	1594323
3	27	7.625.597.484.987	2761448,44
3	28	22.876.792.454.961	4782969
3	29	68.630.377.364.883	8284345,31
3	30	205.891.132.094.649	14348907

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