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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potenciação e numeros quadrados perfeitos (base-3) - 089

Neste estudo são apresentados a relação entre as potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.

Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:

1) o seu triplo, multiplicando este número por ele mesmo;

3 x 3 = 9

2) o triplo do triplo, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;

3 x 3 x 3 = 27

Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.

Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciaçãopara indicar uma multiplicação de fatores iguais:

3 x 3 = 3² = 9

3 x 3 x 3 = 3³ = 27

O termos de uma potenciação são:

3³ = 27

3: base

3: expoente

27: potência

Regularidades nas potências de base 3

Na tabela abaixo, estão as primeiras 50 potências de base 3, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é , vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 3, e assim para todas as demais potências de base 3.

As potências de base 3, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.

Potências de base 3 de expoente ímpar

As potências de base 3 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.

a) linha 1, a potência 3 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

b) linha 3, a potência 27 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

Tabela de
Potências
de base 3
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
  ORDEM    
3
1
3
1,732
3
2
9
3
3
3
27
5,196
3
4
81
9

Potências de base 3 de expoente par

As potências de base 3 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.

a) linha 2, a potência 9 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

b) linha 4, a potência 81 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

Tabela de
Potências
de base 3
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
  ORDEM    
3
1
3
1,732
3
2
9
3
3
3
27
5,196
3
4
81
9

Outras potências de outras bases

Na Tabela das Potências de Base 3, também se encontram outras potências de outras bases.

Potências de base 9

Na linha 2 há a potência 9 de base 3, a própria potência 9 pode ser "transformada" em base 9, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 9:

linha 2 - potência 9 = 

linha 4 - potência 81 = 

linha 6 - potência 729 = 

E assim, sucessivamente.

Potências de base 27

Na linha 3 há a potência 27 de base 3, a própria potência 27 pode ser "transformada" em base 27, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 27:

linha 3 - potência 27 = 27¹

linha 6 - potência 729 = 27²

linha 9 - potência 19.683 = 27³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 81

Na linha 4 há a potência 81 de base 3, a própria potência 81 pode ser "transformada" em base 81, cada linha múltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 81:

linha 4 - potência 81 = 81¹

linha 8 - potência 6.561 = 81²

linha 12 - potência 531.441 = 81³

E assim, sucessivamente.

Tabela de
Potências
de base 3
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
  ORDEM    
3
1
3
1,73
3
2
9
3
3
3
27
5,19
3
4
81
9
3
5
243
15,58
3
6
729
27
3
7
2.187
46,76
3
8
6.561
81
3
9
19.683
140,29
3
10
59.049
243
3
11
177.147
420,88
3
12
531.441
729
3
13
1.594.323
1262,66
3
14
4.782.969
2187
3
15
14.348.907
3787,99
3
16
43.046.721
6561
3
17
129.140.163
11363,98
3
18
387.420.489
19683
3
19
1.162.261.467
34091,95
3
20
3.486.784.401
59049
3
21
10.460.353.203
102275,86
3
22
31.381.059.609
177147
3
23
94.143.178.827
306827,60
3
24
282.429.536.481
531441
3
25
847.288.609.443
920482,81
3
26
2.541.865.828.329
1594323
3
27
7.625.597.484.987
2761448,44
3
28
22.876.792.454.961
4782969
3
29
68.630.377.364.883
8284345,31
3
30
205.891.132.094.649
14348907

Autor: Ricardo Silva - novembro/2014

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