Neste estudo são apresentados regularidades nas formações de potências de base 3.
A Potenciação é operação utilizada para indicar uma multiplicação de fatores iguais:
3 x 3 = 3² = 9
3 x 3 x 3 = 3³ = 27
O termos de uma potenciação são:
3³ = 27
3: base
3: expoente
27: potência
Neste segundo estudo, tem-se na tabela a sequência dos números naturais ímpares de 1 a 733, onde foram marcadas algumas potências de base 3: 3, 9, 27, 81, 243 e 729.
a) A diferença entre as potências 9 e 3 é de 6 unidades
9 - 3 = 6
6 é o dobro de 3
b) A soma dos números ímpares do intervalo entre as potências 3 e 9
5 + 7 = 12
12 é múltiplo de 3
2 é quantidade de números no intervalo (uma unidade a menos que a potência 3)
c) A média aritmética do intervalo
12 : 2 = 6
A média aritmética é dobro da potência 3
A diferença entre as potências 9 e 3 é igual a média aritmética entre os seus intervalos na sequência dos números naturais ímpares.
d) A diferença entre as potências 27 e 9 é de 18 unidades
27 - 9 = 18
18 é o dobro de 9
e) A soma dos números ímpares do intervalo entre as potências 9 e 27
11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 144
144 é múltiplo de 3
8 é quantidade de números no intervalo (uma unidade a menos que a potência 9)
f) A média aritmética do intervalo
144 : 8 = 18
A média aritmética é dobro da potência 9
A diferença entre as potências 27 e 9 é igual a média aritmética entre os seus intervalos na sequência dos números naturais ímpares.
g) A diferença entre as potências 81 e 27 é de 54 unidades
81 - 27 = 54
54 é o dobro de 27
h) A soma dos números entre os intervalos entre as potências 27 e 81
29 + 31 + 33 + 35 + .......69+ 71 + 73 + 75 +77 + 79 = 1404
1404 é múltiplo de 3
26 é a quantidade de números no intervalo (uma unidade a menos que a potência 27)
i) A média aritmética do intervalo
1404 : 26 = 54
A média aritmética é dobro da potência 27
A diferença entre as potências 81 e 27 é igual a média aritmética entre os seus intervalos na sequência dos números naturais ímpares.
Observa-se que a partir da potência 3 de base 3, o produto do antecessor de uma potência de base 3 e o dobro dessa potência é igual a soma dos números ímpares no intervalo entre duas potências consecutivas de base 3.
2 x (2 x 3) = 12
8 x (2 x 9) = 144
26 x (2 x 27)= 1.404
80 x (2 x 81)= 12.960
242 (2 x 243) = 117.612
A tabela apresenta os 733 primeiros números naturais com destaque de algumas potências de base 3.
| Potências de base 3 | ||
|---|---|---|
| Potência de | Soma dos intervalos | Média aritmética |
| base 3 | ||
| 1 | ||
| 3 | ||
| 5 | 12 | 6 |
| 7 | ||
| 9 | ||
| 11 | ||
| 13 | ||
| 15 | ||
| 17 | 144 | 18 |
| 19 | ||
| 21 | ||
| 23 | ||
| 25 | ||
| 27 | ||
| 29 | ||
| 31 | ||
| 33 | ||
| 35 | ||
| 37 | ||
| 39 | ||
| 41 | ||
| 43 | ||
| 45 | ||
| 47 | ||
| 49 | ||
| 51 | ||
| 53 | 1404 | 54 |
| 55 | ||
| 57 | ||
| 59 | ||
| 61 | ||
| 63 | ||
| 65 | ||
| 67 | ||
| 69 | ||
| 71 | ||
| 73 | ||
| 75 | ||
| 77 | ||
| 79 | ||
| 81 | ||
| 83 | ||
| 85 | ||
| 87 | ||
| 89 | ||
| 91 | ||
| 93 | ||
| 95 | ||
| 97 | ||
| 99 | ||
| 101 | ||
| 103 | ||
| 105 | ||
| 107 | ||
| 109 | ||
| 111 | ||
| 113 | ||
| 115 | ||
| 117 | ||
| 119 | ||
| 121 | ||
| 123 | ||
| 125 | ||
| 127 | ||
| 129 | ||
| 131 | ||
| 133 | ||
| 135 | ||
| 137 | ||
| 139 | ||
| 141 | ||
| 143 | ||
| 145 | ||
| 147 | ||
| 149 | ||
| 151 | ||
| 153 | ||
| 155 | ||
| 157 | ||
| 159 | ||
| 161 | 12960 | 162 |
| 163 | ||
| 165 | ||
| 167 | ||
| 169 | ||
| 171 | ||
| 173 | ||
| 175 | ||
| 177 | ||
| 179 | ||
| 181 | ||
| 183 | ||
| 185 | ||
| 187 | ||
| 189 | ||
| 191 | ||
| 193 | ||
| 195 | ||
| 197 | ||
| 199 | ||
| 201 | ||
| 203 | ||
| 205 | ||
| 207 | ||
| 209 | ||
| 211 | ||
| 213 | ||
| 215 | ||
| 217 | ||
| 219 | ||
| 221 | ||
| 223 | ||
| 225 | ||
| 227 | ||
| 229 | ||
| 231 | ||
| 233 | ||
| 235 | ||
| 237 | ||
| 239 | ||
| 241 | ||
| 243 | ||
| 245 | ||
| 247 | ||
| 249 | ||
| 251 | ||
| 253 | ||
| 255 | ||
| 257 | ||
| 259 | ||
| 261 | ||
| 263 | ||
| 265 | ||
| 267 | ||
| 269 | ||
| 271 | ||
| 273 | ||
| 275 | ||
| 277 | ||
| 279 | ||
| 281 | ||
| 283 | ||
| 285 | ||
| 287 | ||
| 289 | ||
| 291 | ||
| 293 | ||
| 295 | ||
| 297 | ||
| 299 | ||
| 301 | ||
| 303 | ||
| 305 | ||
| 307 | ||
| 309 | ||
| 311 | ||
| 313 | ||
| 315 | ||
| 317 | ||
| 319 | ||
| 321 | ||
| 323 | ||
| 325 | ||
| 327 | ||
| 329 | ||
| 331 | ||
| 333 | ||
| 335 | ||
| 337 | ||
| 339 | ||
| 341 | ||
| 343 | ||
| 345 | ||
| 347 | ||
| 349 | ||
| 351 | ||
| 353 | ||
| 355 | ||
| 357 | ||
| 359 | ||
| 361 | ||
| 363 | ||
| 365 | ||
| 367 | ||
| 369 | ||
| 371 | ||
| 373 | ||
| 375 | ||
| 377 | ||
| 379 | ||
| 381 | ||
| 383 | ||
| 385 | ||
| 387 | ||
| 389 | ||
| 391 | ||
| 393 | ||
| 395 | ||
| 397 | ||
| 399 | ||
| 401 | ||
| 403 | ||
| 405 | ||
| 407 | ||
| 409 | ||
| 411 | ||
| 413 | ||
| 415 | ||
| 417 | ||
| 419 | ||
| 421 | ||
| 423 | ||
| 425 | ||
| 427 | ||
| 429 | ||
| 431 | ||
| 433 | ||
| 435 | ||
| 437 | ||
| 439 | ||
| 441 | ||
| 443 | ||
| 445 | ||
| 447 | ||
| 449 | ||
| 451 | ||
| 453 | ||
| 455 | ||
| 457 | ||
| 459 | ||
| 461 | ||
| 463 | ||
| 465 | ||
| 467 | ||
| 469 | ||
| 471 | ||
| 473 | ||
| 475 | ||
| 477 | ||
| 479 | ||
| 481 | ||
| 483 | ||
| 485 | 117.612 | 486 |
| 487 | ||
| 489 | ||
| 491 | ||
| 493 | ||
| 495 | ||
| 497 | ||
| 499 | ||
| 501 | ||
| 503 | ||
| 505 | ||
| 507 | ||
| 509 | ||
| 511 | ||
| 513 | ||
| 515 | ||
| 517 | ||
| 519 | ||
| 521 | ||
| 523 | ||
| 525 | ||
| 527 | ||
| 529 | ||
| 531 | ||
| 533 | ||
| 535 | ||
| 537 | ||
| 539 | ||
| 541 | ||
| 543 | ||
| 545 | ||
| 547 | ||
| 549 | ||
| 551 | ||
| 553 | ||
| 555 | ||
| 557 | ||
| 559 | ||
| 561 | ||
| 563 | ||
| 565 | ||
| 567 | ||
| 569 | ||
| 571 | ||
| 573 | ||
| 575 | ||
| 577 | ||
| 579 | ||
| 581 | ||
| 583 | ||
| 585 | ||
| 587 | ||
| 589 | ||
| 591 | ||
| 593 | ||
| 595 | ||
| 597 | ||
| 599 | ||
| 601 | ||
| 603 | ||
| 605 | ||
| 607 | ||
| 609 | ||
| 611 | ||
| 613 | ||
| 615 | ||
| 617 | ||
| 619 | ||
| 621 | ||
| 623 | ||
| 625 | ||
| 627 | ||
| 629 | ||
| 631 | ||
| 633 | ||
| 635 | ||
| 637 | ||
| 639 | ||
| 641 | ||
| 643 | ||
| 645 | ||
| 647 | ||
| 649 | ||
| 651 | ||
| 653 | ||
| 655 | ||
| 657 | ||
| 659 | ||
| 661 | ||
| 663 | ||
| 665 | ||
| 667 | ||
| 669 | ||
| 671 | ||
| 673 | ||
| 675 | ||
| 677 | ||
| 679 | ||
| 681 | ||
| 683 | ||
| 685 | ||
| 687 | ||
| 689 | ||
| 691 | ||
| 693 | ||
| 695 | ||
| 697 | ||
| 699 | ||
| 701 | ||
| 703 | ||
| 705 | ||
| 707 | ||
| 709 | ||
| 711 | ||
| 713 | ||
| 715 | ||
| 717 | ||
| 719 | ||
| 721 | ||
| 723 | ||
| 725 | ||
| 727 | ||
| 729 | ||
| 731 | ||
| 733 | ||
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Autor: Ricardo Silva- novembro/2014
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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