Neste estudo são apresentados relações numérias entre potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.
Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:
1) o seu quíntuplo, multiplicando este número por ele mesmo;
5 x 5 = 25
2) o quíntuplo do quíntuplo, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;
5 x 5 x 5 = 125
Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.
Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais:
5 x 5 = 5² = 25
5 x 5 x 5 = 5³ = 125
O termos de uma potenciação são:
5³ = 125
5: base
3: expoente
125: potência
Na tabela abaixo, estão as primeiras 25 potências de base 5, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é 5¹, vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 5, e assim para todas as demais potências de base 5.
As potências de base 5, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.
As potências de base 5 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.
a) linha 1, a potência 5 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.
b) linha 3, a potência 125 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.
Tabela de
potências
de base 5Base Expoente Potência Raiz
QuadradaORDEM 5 1 5 2,24 5 2 25 5 5 3 125 11,18 5 4 625 25
As potências de base 5 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.
a) linha 2, a potência 25 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.
b) linha 4, a potência 625 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.
Tabela de
potências de base 5Base Expoente Potência Raiz
QuadradaORDEM 5 1 5 2,24 5 2 25 5 5 3 125 11,18 5 4 625 25
Na Tabela das Potências de Base 5, também se encontram outras potências de outras bases.
Na linha 2 há a potência 25 de base 5, a própria potência 25 pode ser "transformada" em base 25, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 25:
linha 2 - potência 25 = 25¹
linha 4 - potência 625 = 25²
linha 6 - potência 15.625 = 25³
E assim, sucessivamente.
Na linha 3 há a potência 125 de base 5, a própria potência 125 pode ser "transformada" em base 125, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 125:
linha 3 - potência 125 = 125¹
linha 6 - potência 15625 = 125²
linha 9 - potência 1.953.125 = 125³
E assim, sucessivamente.
Na linha 4 há a potência 625 de base 6, a própria potência 625 pode ser "transformada" em base 625, cada linha múltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 625:
linha 4 - potência 625 = 625¹
linha 8 - potência 390.625 = 625²
linha 12 - potência 244.140.625 = 625³
E assim, sucessivamente.
A tabela apresenta as 20 primeiras potências de base 5 e suas respectivas raízes quadradas.
| Tabela de potências de base 5 |
|||
|---|---|---|---|
| Base | Expoente | Potência | Raiz Quadrada |
| ORDEM | |||
| 5 | 1 | 5 | 2,24 |
| 5 | 2 | 25 | 5 |
| 5 | 3 | 125 | 11,18 |
| 5 | 4 | 625 | 25 |
| 5 | 5 | 3.125 | 55,90 |
| 5 | 6 | 15.625 | 125 |
| 5 | 7 | 78.125 | 279,51 |
| 5 | 8 | 390.625 | 625 |
| 5 | 9 | 1.953.125 | 1397,54 |
| 5 | 10 | 9.765.625 | 3125 |
| 5 | 11 | 48.828.125 | 6987,71 |
| 5 | 12 | 244.140.625 | 15625 |
| 5 | 13 | 1.220.703.125 | 34938,56 |
| 5 | 14 | 6.103.515.625 | 78125 |
| 5 | 15 | 30.517.578.125 | 174692,81 |
| 5 | 16 | 152.587.890.625 | 390625 |
| 5 | 17 | 762.939.453.125 | 873464,05 |
| 5 | 18 | 3.814.697.265.625 | 1953125 |
| 5 | 19 | 19.073.486.328.125 | 4367320,27 |
| 5 | 20 | 95.367.431.640.625 | 9765625 |
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Autor: Ricardo Silva - novembro/2014
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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