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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potenciação e números quadrados perfeitos (base 5) - 090

Neste estudo são apresentados relações numérias entre potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.

Potenciação e números quadrados perfeitos (base 5)

Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:

1) o seu quíntuplo, multiplicando este número por ele mesmo;

5 x 5 = 25

2) o quíntuplo do quíntuplo, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;

5 x 5 x 5 = 125

Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.

Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais:

5 x 5 = 5² = 25

5 x 5 x 5 = 5³ = 125

O termos de uma potenciação são:

5³ = 125

5: base

3: expoente

125: potência

Regularidades nas potências de base 5

Na tabela abaixo, estão as primeiras 25 potências de base 5, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é , vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 5, e assim para todas as demais potências de base 5.

As potências de base 5, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.

Potências de base 5 de expoente ímpar

As potências de base 5 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.

a) linha 1, a potência 5 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

b) linha 3, a potência 125 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

Tabela de
potências
de base 5
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
  ORDEM    
5 1 5 2,24
5 2 25 5
5 3 125 11,18
5 4 625 25

Potências de base 5 de expoente par

As potências de base 5 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.

a) linha 2, a potência 25 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

b) linha 4, a potência 625 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

Tabela de
potências de base 5
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
  ORDEM    
5 1 5 2,24
5 2 25 5
5 3 125 11,18
5 4 625 25

Outras potências de outras bases

Na Tabela das Potências de Base 5, também se encontram outras potências de outras bases.

Potências de base 25

Na linha 2 há a potência 25 de base 5, a própria potência 25 pode ser "transformada" em base 25, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 25:

linha 2 - potência 25 = 25¹

linha 4 - potência 625 = 25²

linha 6 - potência 15.625 = 25³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 125

Na linha 3 há a potência 125 de base 5, a própria potência 125 pode ser "transformada" em base 125, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 125:

linha 3 - potência 125 = 125¹

linha 6 - potência 15625 = 125²

linha 9 - potência 1.953.125 = 125³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 625

Na linha 4 há a potência 625 de base 6, a própria potência 625 pode ser "transformada" em base 625, cada linha múltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 625:

linha 4 - potência 625 = 625¹

linha 8 - potência 390.625 = 625²

linha 12 - potência 244.140.625 = 625³

E assim, sucessivamente.

Tabela de Potências de base 5

A tabela apresenta as 20 primeiras potências de base 5 e suas respectivas raízes quadradas.

Tabela de
potências de base 5
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
ORDEM
5 1 5 2,24
5 2 25 5
5 3 125 11,18
5 4 625 25
5 5 3.125 55,90
5 6 15.625 125
5 7 78.125 279,51
5 8 390.625 625
5 9 1.953.125 1397,54
5 10 9.765.625 3125
5 11 48.828.125 6987,71
5 12 244.140.625 15625
5 13 1.220.703.125 34938,56
5 14 6.103.515.625 78125
5 15 30.517.578.125 174692,81
5 16 152.587.890.625 390625
5 17 762.939.453.125 873464,05
5 18 3.814.697.265.625 1953125
5 19 19.073.486.328.125 4367320,27
5 20 95.367.431.640.625 9765625
       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

Autor: Ricardo Silva - novembro/2014

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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