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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Potenciação e números quadrados perfeitos (base 5) - 090

Neste estudo são apresentados a relação entre as potências de um número (base) e números quadrados perfeitos.

Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:

1) o seu quíntuplo, multiplicando este número por ele mesmo;

5 x 5 = 25

2) o quíntuplo do quíntuplo, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;

5 x 5 x 5 = 125

Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.

Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciaçãopara indicar uma multiplicação de fatores iguais:

5 x 5 = 5² = 25

5 x 5 x 5 = 5³ = 125

O termos de uma potenciação são:

5³ = 125

5: base

3: expoente

125: potência

Regularidades nas potências de base 5

Na tabela abaixo, estão as primeiras 25 potências de base 5, de forma que na coluna Expoente se refere ao expoente que deve ser elevado a base quanto a própria ordem numérica da potência, para sabermos quanto é , vá até a linha de ordem 1 e no cruzamento com a coluna Potência está o resultado da potênciação, neste caso a potência é 5, e assim para todas as demais potências de base 5.

As potências de base 5, de forma alternada, isto é, uma sim e outra não, uma é um quadrado perfeito e outra não é um quadrado perfeito, podendo ser verificado na coluna Raiz Quadrada, onde há resultados com números inteiros e números decimais.

Potências de base 5 de expoente ímpar

As potências de base 5 de expoente ímpar (as que estão em linhas ímpares) não são números quadrados perfeitos.

a) linha 1, a potência 5 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

b) linha 3, a potência 125 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número inteiro.

Tabela de
potências
de base 5
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
  ORDEM    
5
1
5
2,24
5
2
25
5
5
3
125
11,18
5
4
625
25

Potências de base 5 de expoente par

As potências de base 5 de expoente par (as que estão em linhas pares) são números quadrados perfeitos.

a) linha 2, a potência 25 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

b) linha 4, a potência 625 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada é um número inteiro.

Tabela de
potências de base 5
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
  ORDEM    
5
1
5
2,24
5
2
25
5
5
3
125
11,18
5
4
625
25

Outras potências de outras bases

Na Tabela das Potências de Base 5, também se encontram outras potências de outras bases.

Potências de base 25

Na linha 2 há a potência 25 de base 5, a própria potência 25 pode ser "transformada" em base 25, cada linha múltiplo de 2, a partir da linha 2, as potências são de base 25:

linha 2 - potência 25 = 25¹

linha 4 - potência 625 = 25²

linha 6 - potência 15.625 = 25³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 125

Na linha 3 há a potência 125 de base 5, a própria potência 125 pode ser "transformada" em base 125, cada linha múltiplo de 3, a partir da linha 3, as potências são de base 125:

linha 3 - potência 125 = 125¹

linha 6 - potência 15625 = 125²

linha 9 - potência 1.953.125 = 125³

E assim, sucessivamente.

Potências de base 625

Na linha 4 há a potência 625 de base 6, a própria potência 625 pode ser "transformada" em base 625, cada linha múltiplo de 4, a partir da linha 4, as potências são de base 625:

linha 4 - potência 625 = 625¹

linha 8 - potência 390.625 = 625²

linha 12 - potência 244.140.625 = 625³

E assim, sucessivamente.

Tabela de
potências de base 5
Base Expoente Potência Raiz
Quadrada
ORDEM
5
1
5
2,24
5
2
25
5
5
3
125
11,18
5
4
625
25
5
5
3.125
55,90
5
6
15.625
125
5
7
78.125
279,51
5
8
390.625
625
5
9
1.953.125
1397,54
5
10
9.765.625
3125
5
11
48.828.125
6987,71
5
12
244.140.625
15625
5
13
1.220.703.125
34938,56
5
14
6.103.515.625
78125
5
15
30.517.578.125
174692,81
5
16
152.587.890.625
390625
5
17
762.939.453.125
873464,05
5
18
3.814.697.265.625
1953125
5
19
19.073.486.328.125
4367320,27
5
20
95.367.431.640.625
9765625

Autor: Ricardo Silva - novembro/2014

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