Número quadrado perfeito é um número que multiplicado por ele mesmo tem como resultado um número inteiro e que extraída a sua raiz quadrada o resultado também é um número inteiro.
Neste estudo são apresentadas novas propriedades relacionadas às Potências de Base 2 com números quadrados perfeitos.
O produto de uma potência de base 2 por um múltiplo de um número (produto de um número por um quadrado perfeito) e somado com esse múltiplo tem como resultado um número quadrado perfeito.
Escolhendo-se determinado número, podemos determinar:
a) o seu dobro, multiplicando este número por ele mesmo;
2 x 2 = 4
b) o dobro do dobro, multiplicando este número por ele mesmo três vezes;
2 x 2 x 2 = 8
Através da multiplicação em que todos os fatores são iguais, pode-se determinar o dobro, o triplo, o quádruplo, o quíntuplo, etc. de determinado número.
Outra forma de sintetizar esta operação é utilizar a Potenciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais:
2 x 2 = 2² = 4
2 x 2 x 2 = 2³ = 8
Os termos de uma potenciação são:
2³ = 8
2: base
3: expoente
8: potência
A tabela a seguir apresenta as 10 primeiras potências de base 2.
Potências de Base 2 Base Expoente Potência ordem 2 0 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 2 9 512 2 10 1.024 www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br Potência 2 de Base 2 e produtos por números naturais
Os produtos da potência 2 de base 2 por números naturais têm como resultados números pares.
Os produtos da potência 2 de base 2 por números naturais somados com esses mesmos números naturais têm como resultados números múltiplos de 3.
O produto da potência 2 de base 2 por um múltiplo de 3 (multiplicação de 3 com um número quadrado perfeito) e somado com esse múltiplo tem como resultado um número quadrado perfeito.(células verdes)
Multiplicação de 3 em que um dos fatores é um quadrado perfeito.
3 = 3 x 1
12 = 3 x 4
27 = 3 x 9
Interessante observar que:
a) a potência 2 é antecessor de 3;
c) 3 é o sucessor da potência 2;
d) 2 e 3 são consecutivos e números primos entre si (coprimos).
Potência 2 de Base 2 e números quadrados perfeitos potência números produto soma raiz 2 1 2 3 1,732051 2 2 4 6 2,44949 2 3 6 9 3 2 4 8 12 3,464102 2 5 10 15 3,872983 2 6 12 18 4,242641 2 7 14 21 4,582576 2 8 16 24 4,898979 2 9 18 27 5,196152 2 10 20 30 5,477226 2 11 22 33 5,744563 2 12 24 36 6 2 13 26 39 6,244998 2 14 28 42 6,480741 2 15 30 45 6,708204 2 16 32 48 6,928203 2 17 34 51 7,141428 2 18 36 54 7,348469 2 19 38 57 7,549834 2 20 40 60 7,745967 2 21 42 63 7,937254 2 22 44 66 8,124038 2 23 46 69 8,306624 2 24 48 72 8,485281 2 25 50 75 8,660254 2 26 52 78 8,831761 2 27 54 81 9 www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br Potência 4 de Base 2 e produtos por números naturais
Os produtos da potência 4 de base 2 por números naturais têm como resultados números pares.
Os produtos da potência 4 de base 2 por números naturais somados com esses mesmos números naturais têm como resultados números múltiplos de 5.
O produto da potência 4 de base 2 por um múltiplo de 5 (multiplicação de 5 com um número quadrado perfeito) e somado com esse múltiplo tem como resultado um número quadrado perfeito.(células verdes)
Multiplicação de 5 em que um dos fatores é um quadrado perfeito.
5 = 5 x 1
20 = 5 x 4
45 = 5 x 9
Interessante observar que:
a) a potência 4 é antecessor de 5;
b) 5 é o sucessor da potência 4;
c) 4 e 5 são consecutivos e números primos entre si (coprimos).
Potência 4 de Base 2 e números quadrados perfeitos potência números produto soma raiz 4 1 4 5 2,236068 4 2 8 10 3,162278 4 3 12 15 3,872983 4 4 16 20 4,472136 4 5 20 25 5 4 6 24 30 5,477226 4 7 28 35 5,91608 4 8 32 40 6,324555 4 9 36 45 6,708204 4 10 40 50 7,071068 4 11 44 55 7,416198 4 12 48 60 7,745967 4 13 52 65 8,062258 4 14 56 70 8,3666 4 15 60 75 8,660254 4 16 64 80 8,944272 4 17 68 85 9,219544 4 18 72 90 9,486833 4 19 76 95 9,746794 4 20 80 100 10 4 21 84 105 10,24695 4 22 88 110 10,48809 4 23 92 115 10,72381 4 24 96 120 10,95445 4 25 100 125 11,18034 4 26 104 130 11,40175 4 27 108 135 11,61895 www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br Potência 8 de Base 2 e produtos por números naturais
Os produtos da potência 8 de base 2 por números naturais têm como resultados números pares.
Os produtos da potência 8 de base 2 por números naturais somados com esses mesmos números naturais têm como resultados números múltiplos de 9.
O produto da potência 8 de base 2 por número quadrado perfeito e somado com esse quadrado tem como resultado um número quadrado perfeito.
1, 4, 9 são números quadrados perfeitos
As somas 9, 36, 81, 144, 225, ... são números quadrados perfeitos.
Potência 8 de Base 2 e números quadrados perfeitos potência números produto soma raiz 8 1 8 9 3 8 2 16 18 4,242641 8 3 24 27 5,196152 8 4 32 36 6 8 5 40 45 6,708204 8 6 48 54 7,348469 8 7 56 63 7,937254 8 8 64 72 8,485281 8 9 72 81 9 8 10 80 90 9,486833 8 11 88 99 9,949874 8 12 96 108 10,3923 8 13 104 117 10,81665 8 14 112 126 11,22497 8 15 120 135 11,61895 8 16 128 144 12 8 17 136 153 12,36932 8 18 144 162 12,72792 8 19 152 171 13,0767 8 20 160 180 13,41641 8 21 168 189 13,74773 8 22 176 198 14,07125 8 23 184 207 14,38749 8 24 192 216 14,69694 8 25 200 225 15 8 26 208 234 15,29706 8 27 216 243 15,58846 www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br Potência 16 de Base 2 e produto por números naturais
Os produtos da potência 16 de base 2 por números naturais têm como resultados números pares.
Os produtos da potência 16 de base 2 por números naturais somados com esses mesmos números naturais têm como resultados números múltiplos de 17.
O produto da potência 16 de base 2 por um múltiplo de 17 (multiplicação de 17 com um número quadrado perfeito) e somado com esse múltiplo tem como resultado um número quadrado perfeito.(células verdes)
Multiplicação de 17 em que um dos fatores é um quadrado perfeito.
17 = 17 x 1
68 = 17 x 4
153 = 17 x 9
Interessante observar que:
a) a potência 16 é antecessor de 17;
b) 17 é o sucessor da potência 16;
c) 16 e 17 são consecutivos e números primos entre si (coprimos).
Potência 16 de Base 2 e números quadrados perfeitos potência números produto soma raiz 16 1 16 17 4,123106 16 2 32 34 5,830952 16 3 48 51 7,141428 16 4 64 68 8,246211 16 5 80 85 9,219544 16 6 96 102 10,0995 16 7 112 119 10,90871 16 8 128 136 11,6619 16 9 144 153 12,36932 16 10 160 170 13,0384 16 11 176 187 13,67479 16 12 192 204 14,28286 16 13 208 221 14,86607 16 14 224 238 15,42725 16 15 240 255 15,96872 16 16 256 272 16,49242 16 17 272 289 17 16 18 288 306 17,49286 16 19 304 323 17,9722 16 20 320 340 18,43909 16 21 336 357 18,89444 16 22 352 374 19,33908 16 23 368 391 19,77372 16 24 384 408 20,19901 16 25 400 425 20,61553 16 26 416 442 21,0238 16 27 432 459 21,42429 www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br Potência 32 de Base 2 e produto por números naturais
Os produtos da potência 32 de base 2 por números naturais têm como resultados números pares.
Os produtos da potência 32 de base 2 por números naturais somados com esses mesmos números naturais têm como resultados números múltiplos de 33.
O produto da potência 32 de base 2 por um múltiplo de 33 (multiplicação de 33 com um número quadrado perfeito) e somado com esse múltiplo tem como resultado um número quadrado perfeito.(células verdes)
Multiplicação de 33 em que um dos fatores é um quadrado perfeito.
33 = 33 x 1
132 = 33 x 4
297 = 33 x 9
Interessante observar que:
a) a potência 32 é antecessor de 33;
b) 33 é o sucessor da potência 32;
c) 32 e 33 são consecutivos e números primos entre si (coprimos).
Potência 32 de Base 2 e números quadrados perfeitos potência números produto soma raiz 32 1 32 33 5,744563 32 2 64 66 8,124038 32 3 96 99 9,949874 32 4 128 132 11,48913 32 5 160 165 12,84523 32 6 192 198 14,07125 32 7 224 231 15,19868 32 8 256 264 16,24808 32 9 288 297 17,23369 32 10 320 330 18,1659 32 11 352 363 19,05256 32 12 384 396 19,89975 32 13 416 429 20,71232 32 14 448 462 21,49419 32 15 480 495 22,2486 32 16 512 528 22,97825 32 17 544 561 23,68544 32 18 576 594 24,37212 32 19 608 627 25,03997 32 20 640 660 25,69047 32 21 672 693 26,32489 32 22 704 726 26,94439 32 23 736 759 27,54995 32 24 768 792 28,14249 32 25 800 825 28,72281 32 26 832 858 29,29164 32 27 864 891 29,84962 32 28 896 924 30,39737 32 29 928 957 30,93542 32 30 960 990 31,46427 32 31 992 1023 31,98437 32 32 1024 1056 32,49615 32 33 1056 1089 33 www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br
Com os exemplos expostos, demonstra-se que potências de base 2 se relacionam com seus números consecutivos, bem como, com o produto desse consecutivo com um número quadrado perfeito.
No caso da potência 8, pode-se dizer que é um caso especial, pois ela se relaciona diretamente com a sequência dos números quadrados perfeitos.
Podem ser que hajam outras potências de base 2 que se relacionam como outras sequências, tais como, números cúbicos, números de 4a, números de 5a, etc.
Autor: Ricardo Silva - junho/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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