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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números de Mersenne - um novo método - 516

Números de Mersenne são números obtidos por meio da fórmula 2n - 1, isto é, uma potência de base 2 menos 1 unidade. São denominados de Números de Mersene porque Marin Mersenne (1588-1648) padre mínimo, teólogo, matemático, teórico musical, e filósofo francês, os estudou e os divulgou em sua obra: Cogita physico-mathematica.

Números de Mersenne - um novo método

Mersenne conjecturou que substituindo n na fórmula 2n - 1 por números primos: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257, os resultados também seriam números primos.

Conjecturou também que para p>257, os resultados seriam números compostos.

Observação: nem todos os números de Mersenne são números primos.

Posteriormente, outros estudiosos e matemáticos verificaram que as afirmações de Mersenne não estavam totalmente corretas, resultados estes que posteriormente também foram verificados por meio de programas matemáticos executados em computadores.

O presente estudo demonstra que a partir de determinados números compostos de Mersenne divididos por 3, têm como quocientes, números que são produtos de 2 números primos distintos, entre eles, os próprios números primos de Mersenne.

Potências de Base 2

Obtêm-se potências de base 2 elevando o número 2 a expoentes com números naturais ou através da multiplicação cujos fatores é o próprio número 2.

20 = 1

21 = 2

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Números Perfeitos

Números perfeitos são números cujas somas de seus divisores próprios, exceto o próprio número, têm como resultados esses mesmos números.

Número Perfeito 6

D(6):{1, 2, 3, 6}

Soma dos divisores próprios de 6.

1 + 2 + 3 = 6

Número Perfeito 28

D(28):{1, 2, 4, 7, 14, 28}

Soma dos divisores próprios de 28.

1 + 2 + + 4 + 7 + 14 = 28

Número perfeito 496

D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

Soma dos divisores próprios de 496.

1 + 2 + + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Números de Mersenne e Números Perfeitos

Um dos métodos de se obter número perfeito é por meio do produto de um número primo de Mersenne por uma potência de base 2 dividido por 2.

(3 x 4) / 2 = 6

(7 x 8) / 2 = 28

(31 x 32) / 2 = 496

Potências de Base 2 (números quadrados perfeitos)

Número natural elevado a expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito.

Potências de base 2 que são números quadrados perfeitos menos 1 unidade têm como resultados números de Mersenne e que são divisíveis por 3.

A divisão de determinado número composto de Mersenne por 3 tem como quociente um número que é produto de 2 números primos distintos, entre eles, número primo de Mersenne.

a)

22 - 1 = 4 - 1 = 3

3 : 3 = 1

b)

24 - 1 = 16 - 1 = 15

15 : 3 = 5

c)

26 - 1 = 64 - 1 = 63

63 : 3 = 21

d)

28 - 1 = 256 - 1 = 255

255 : 3 = 85

e)

210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

1023 : 3 = 341

Projeto GIMPS

George Woltman, estadunidense formado em Ciências da Computação, em 1996, criou o Projeto de Estudo (GIMPS-Great Internet Mersenne Prime Search) que procura por números primos de Mersenne e que foi o responsável pela descoberta dos últimos dezesseis maiores números de Mersenne até o momento, o M51 foi encontrado em dezembro de 2018 e tem mais de 24 milhões de dígitos.

O M51 corresponde a potência:

282 589 933 - 1

O expoente da base 2 é da classe dos milhões.

A quantidade de dígitos do M51 também é da classe dos milhões.

Números Primos de Mersenne

Potência de Base 2 cujo expoente é o dobro de um expoente primo, que gera um primo de Mersenne, menos 1 unidade, tem como resultado um número composto de Mersenne que é produto de 2 números primos distintos.

Número primo de Mersenne 3

22 - 1 = 4 - 1 = 3

Número composto de Mersenne 15

24 - 1 = 16 - 1 = 15

15 : 3 = 5

15 é produto de 2 números primos distintos.

3 x 5 = 15

3 é um número primo de Mersenne.

Número primo de Mersenne 7

23 - 1 = 8 - 1 = 7

 

número composto de Mersenne 63

26 - 1 = 64 - 1 = 63

63 : 3 = 21

21 é produto de 2 números primos distintos.

3 x 7 = 21

3 e 7 são números primos de Mersenne

Número primo de Mersenne 31

25 - 1 = 32 - 1 = 31

 

número composto de Mersenne 1023

210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

1023 : 3 = 341

341 é produto de 2 números primos distintos.

11 x 31 = 341

31 é um primo de Mersenne

Número primo de Mersenne 127

27 - 1 = 128 - 1 = 127

 

número composto de Mersenne 16383

214 - 1 = 16384 - 1 = 16383

16383 : 3 = 5461

5461 é produto de 2 números primos distintos.

43 x 127 = 5461

127 é um primo de Mersenne

Número primo de Mersenne 131 071

217 - 1 = 131072 - 1 = 131071

 

número composto de Mersenne 17179869183

234 - 1 = 17179869184 - 1 = 17179869183

17179869183 : 3 = 5726623061

5726623061 é produto de 2 números primos distintos.

43691 x 131071 = 5726623061

131071 é um primo de Mersenne

Número primo de Mersenne 524 287

219 - 1 = 524288 - 1 = 524287

 

número composto de Mersenne 274877906943

238 - 1 = 274877906944 - 1 = 274877906943

274877906943 : 3 = 91625968981

91625968981 é produto de 2 números primos distintos.

174763 x 524287 = 91625968981

524287 é um primo de Mersenne

Número primo de Mersenne 2 147 483 647

231 - 1 = 2147483648 - 1 = 2 147 483 647

 

número composto de Mersenne 4 611 686 018 427 387 903

262 - 1 = 4 611 686 018 427 387 904 - 1 = 4 611 686 018 427 387 903

4 611 686 018 427 387 903 : 3 = 1 537 228 672 809 129 301

1 537 228 672 809 129 301 é produto de 2 números primos distintos.

715827883 x 2147483647 = 1 537 228 672 809 129 301

2147483647 é um primo de Mersenne

 

Número primo de Mersenne 2 305 843 009 213 693 951

261 - 1 = 2 305 843 009 213 693 952 - 1 = 2 305 843 009 213 693 951

Números não primos de Mersenne

Potências de Base 2 cujo expoente é o dobro de um expoente primo, que não gera um primo de Mersenne, menos 1 unidade, tem como resultado um número composto que é produto de mais 2 números primos distintos.

Número não primo de Mersenne 2047

211 - 1 = 2048 - 1 = 2047

D(2047): {1, 23, 89, 2047}

 

222 - 1 = 4 194 304 - 1 = 4 194 303

D(4 194 303): {1, 3, 23, 69, 89, 267, 683, 2 047, 2 049, 6 141, 15 709, 47 127, 60 787, 182 361, 1 398 101, 4 194 303}

Número não primo de Mersenne 8 388 607

223 - 1 = 8 388 608 - 1 = 8 388 607

D(8 388 607): {1, 47, 178 481, 8 388 607}

 

246 - 1 = 70 368 744 177 664 - 1 = 70 368 744 177 663

D(70 368 744 177 663): {1, 3, 47, 141, 178 481, 535 443, 2 796 203, 8 388 607, 8 388 609, 25 165 821, 13 142 1541, 394 264 623, 499 069 107 643, 1 497 207 322 929, 23 456 248 059 221, 70 368 744 177 663}

Número não primo de Mersenne 536 870 911

229 - 1 =536 870 912 - 1 = 536 870 911

D(536 870 911): {1, 233, 1103, 2089, 256 999, 486 737, 2 304 167, 536 870 911}

 

258 - 1 = 288 230 376 151 711 744 - 1 = 288 230 376 151 711 743

D(288 230 376 151 711 743): {1, 3, 59, 177, 233, 699, 1103, 2089, 3309, 6267, 13747, 41241, 65077, 123251, 195231, 256999, 369753, 486737, 770997, 1460211, 2304167, 3033169, 6912501, 9099507, 15162941, 28717483, 45488823, 86152449, 135945853, 178956971, 407837559, 536870911, 536870913, 706728377 1610612733, 2120185131, 3345585407, 6336290041, 10036756221, 19008870123, 31675383749, 41696974243, 95026151247, 125090922729, 197389539013, 373841112419, 592168617039, 779521399831, 1121523337257, 1476355579553, 2338564199493, 4429066738659, 6988927915223, 20966783745669, 45991762590029, 87104979193627, 137975287770087, 261314937580881, 412346746998157, 1237040240994471, 1628420204246959, 4885260612740877, 96076792050570581, 288230376151711743}

Fórmulas para Números Primos de Mersenne

A partir dos exemplos acima demonstrados, deduziu-se as seguintes fórmulas:

Fórmula 1

( 2 2 n − 2 ) - 1
__________
3

para n igual ou maior que 3.

Se o quociente entre a base 2 elevada a expoente par menos 1 unidade e o número 3 for produto de 2 números primos distintos, então um dos números primos é um Número Primo de Mersenne.

Fórmula 2

( 2 2 p ) - 1
__________
3

Se o quociente entre a base 2 elevada ao dobro de um número primo menos 1 unidade e o número 3 for produto de 2 números primos distintos, então um dos números primos é um Número Primo de Mersenne.

Tabela com Números de Mersenne

011-estudos-517-tabela-numeros-mersenne

Conclusão

Verifica-se que são possíveis a partir dos próprios Números de Mersenne (Números quase-potências de base 2) que são números compostos e divisíveis por 3 comprovar os próprios Números Primos de Mersenne.

Os cálculos para se montar a tabela com Números de Mersenne, foram realizados até a potência:

2106 = 81 129 638 414 606 681 695 789 005 144 064 (número com 32 algarismos) na Calculadora Científica do Sistema Operacional Windows 8.1, em um PC com Processador Dual Core 2,5 GHz e RAM 4 GB.

Os cálculos para se obterem os divisores dos números foram realizados em:

014-013-calculadora-divisores-numero-natural-on-line

aqui do WebSite Os Fantásticos Números Primos, totalizando os 7 primeiros Números Primos de Mersenne, quantidade esta limitada até o presente momento pela capacidade de computação e infra-estrutura.

Nos WebSites:

https://pt.planetcalc.com/

https://www.omnicalculator.com/

https://pt.numberempire.com/

https://numbermatics.com/

foram realizadas as verificações dos resultados da tabela.

O WebSite Os Fantásticos Números Primos faz um convite a entusiastas matemáticos, estudantes, professores, profissionais da área de exatas, empresas de tecnologia, centros de pesquisas, universidades, etc. que possa disponibilizar recursos humanos / recursos materiais para desenvolvimento de projeto computacional para se encontrar Números Primos de Mersenne a partir dos estudos aqui descritos.

Autor: Ricardo Silva - agosto/2024

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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