Números de Mersenne são números obtidos por meio da fórmula 2n - 1, isto é, uma potência de base 2 menos 1 unidade. São denominados de Números de Mersene porque Marin Mersenne (1588-1648) padre mínimo, teólogo, matemático, teórico musical, e filósofo francês, os estudou e os divulgou em sua obra: Cogita physico-mathematica.
Mersenne conjecturou que substituindo n na fórmula 2n - 1 por números primos: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257, os resultados também seriam números primos.
Conjecturou também que para p>257, os resultados seriam números compostos.
Observação: nem todos os números de Mersenne são números primos.
Posteriormente, outros estudiosos e matemáticos verificaram que as afirmações de Mersenne não estavam totalmente corretas, resultados estes que posteriormente também foram verificados por meio de programas matemáticos executados em computadores.
O presente estudo demonstra que a partir de determinados números compostos de Mersenne divididos por 3, têm como quocientes, números que são produtos de 2 números primos distintos, entre eles, os próprios números primos de Mersenne.
Obtêm-se potências de base 2 elevando o número 2 a expoentes com números naturais ou através da multiplicação cujos fatores é o próprio número 2.
20 = 1
21 = 2
22 = 2 x 2 = 4
23 = 2 x 2 x 2 = 8
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512
210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024
Números perfeitos são números cujas somas de seus divisores próprios, exceto o próprio número, têm como resultados esses mesmos números.
D(6):{1, 2, 3, 6}
Soma dos divisores próprios de 6.
1 + 2 + 3 = 6
D(28):{1, 2, 4, 7, 14, 28}
Soma dos divisores próprios de 28.
1 + 2 + + 4 + 7 + 14 = 28
D(496): {1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}
Soma dos divisores próprios de 496.
1 + 2 + + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Um dos métodos de se obter número perfeito é por meio do produto de um número primo de Mersenne por uma potência de base 2 dividido por 2.
(3 x 4) / 2 = 6
(7 x 8) / 2 = 28
(31 x 32) / 2 = 496
Número natural elevado a expoente par tem como resultado um número quadrado perfeito.
Potências de base 2 que são números quadrados perfeitos menos 1 unidade têm como resultados números de Mersenne e que são divisíveis por 3.
A divisão de determinado número composto de Mersenne por 3 tem como quociente um número que é produto de 2 números primos distintos, entre eles, número primo de Mersenne.
a)
22 - 1 = 4 - 1 = 3
3 : 3 = 1
b)
24 - 1 = 16 - 1 = 15
15 : 3 = 5
c)
26 - 1 = 64 - 1 = 63
63 : 3 = 21
d)
28 - 1 = 256 - 1 = 255
255 : 3 = 85
e)
210 - 1 = 1024 - 1 = 1023
1023 : 3 = 341
George Woltman, estadunidense formado em Ciências da Computação, em 1996, criou o Projeto de Estudo (GIMPS-Great Internet Mersenne Prime Search) que procura por números primos de Mersenne e que foi o responsável pela descoberta dos últimos dezesseis maiores números de Mersenne até o momento, o M51 foi encontrado em dezembro de 2018 e tem mais de 24 milhões de dígitos.
O M51 corresponde a potência:
282 589 933 - 1
O expoente da base 2 é da classe dos milhões.
A quantidade de dígitos do M51 também é da classe dos milhões.
Potência de Base 2 cujo expoente é o dobro de um expoente primo, que gera um primo de Mersenne, menos 1 unidade, tem como resultado um número composto de Mersenne que é produto de 2 números primos distintos.
22 - 1 = 4 - 1 = 3
Número composto de Mersenne 15
24 - 1 = 16 - 1 = 15
15 : 3 = 5
15 é produto de 2 números primos distintos.
3 x 5 = 15
3 é um número primo de Mersenne.
23 - 1 = 8 - 1 = 7
número composto de Mersenne 63
26 - 1 = 64 - 1 = 63
63 : 3 = 21
21 é produto de 2 números primos distintos.
3 x 7 = 21
3 e 7 são números primos de Mersenne
25 - 1 = 32 - 1 = 31
número composto de Mersenne 1023
210 - 1 = 1024 - 1 = 1023
1023 : 3 = 341
341 é produto de 2 números primos distintos.
11 x 31 = 341
31 é um primo de Mersenne
27 - 1 = 128 - 1 = 127
número composto de Mersenne 16383
214 - 1 = 16384 - 1 = 16383
16383 : 3 = 5461
5461 é produto de 2 números primos distintos.
43 x 127 = 5461
127 é um primo de Mersenne
217 - 1 = 131072 - 1 = 131071
número composto de Mersenne 17179869183
234 - 1 = 17179869184 - 1 = 17179869183
17179869183 : 3 = 5726623061
5726623061 é produto de 2 números primos distintos.
43691 x 131071 = 5726623061
131071 é um primo de Mersenne
219 - 1 = 524288 - 1 = 524287
número composto de Mersenne 274877906943
238 - 1 = 274877906944 - 1 = 274877906943
274877906943 : 3 = 91625968981
91625968981 é produto de 2 números primos distintos.
174763 x 524287 = 91625968981
524287 é um primo de Mersenne
231 - 1 = 2147483648 - 1 = 2 147 483 647
número composto de Mersenne 4 611 686 018 427 387 903
262 - 1 = 4 611 686 018 427 387 904 - 1 = 4 611 686 018 427 387 903
4 611 686 018 427 387 903 : 3 = 1 537 228 672 809 129 301
1 537 228 672 809 129 301 é produto de 2 números primos distintos.
715827883 x 2147483647 = 1 537 228 672 809 129 301
2147483647 é um primo de Mersenne
261 - 1 = 2 305 843 009 213 693 952 - 1 = 2 305 843 009 213 693 951
Potências de Base 2 cujo expoente é o dobro de um expoente primo, que não gera um primo de Mersenne, menos 1 unidade, tem como resultado um número composto que é produto de mais 2 números primos distintos.
211 - 1 = 2048 - 1 = 2047
D(2047): {1, 23, 89, 2047}
222 - 1 = 4 194 304 - 1 = 4 194 303
D(4 194 303): {1, 3, 23, 69, 89, 267, 683, 2 047, 2 049, 6 141, 15 709, 47 127, 60 787, 182 361, 1 398 101, 4 194 303}
223 - 1 = 8 388 608 - 1 = 8 388 607
D(8 388 607): {1, 47, 178 481, 8 388 607}
246 - 1 = 70 368 744 177 664 - 1 = 70 368 744 177 663
D(70 368 744 177 663): {1, 3, 47, 141, 178 481, 535 443, 2 796 203, 8 388 607, 8 388 609, 25 165 821, 13 142 1541, 394 264 623, 499 069 107 643, 1 497 207 322 929, 23 456 248 059 221, 70 368 744 177 663}
229 - 1 =536 870 912 - 1 = 536 870 911
D(536 870 911): {1, 233, 1103, 2089, 256 999, 486 737, 2 304 167, 536 870 911}
258 - 1 = 288 230 376 151 711 744 - 1 = 288 230 376 151 711 743
D(288 230 376 151 711 743): {1, 3, 59, 177, 233, 699, 1103, 2089, 3309, 6267, 13747, 41241, 65077, 123251, 195231, 256999, 369753, 486737, 770997, 1460211, 2304167, 3033169, 6912501, 9099507, 15162941, 28717483, 45488823, 86152449, 135945853, 178956971, 407837559, 536870911, 536870913, 706728377 1610612733, 2120185131, 3345585407, 6336290041, 10036756221, 19008870123, 31675383749, 41696974243, 95026151247, 125090922729, 197389539013, 373841112419, 592168617039, 779521399831, 1121523337257, 1476355579553, 2338564199493, 4429066738659, 6988927915223, 20966783745669, 45991762590029, 87104979193627, 137975287770087, 261314937580881, 412346746998157, 1237040240994471, 1628420204246959, 4885260612740877, 96076792050570581, 288230376151711743}
A partir dos exemplos acima demonstrados, deduziu-se as seguintes fórmulas:
| ( 2 2 n − 2 ) - 1 |
| __________ |
| 3 |
para n igual ou maior que 3.
Se o quociente entre a base 2 elevada a expoente par menos 1 unidade e o número 3 for produto de 2 números primos distintos, então um dos números primos é um Número Primo de Mersenne.
| ( 2 2 p ) - 1 |
| __________ |
| 3 |
Se o quociente entre a base 2 elevada ao dobro de um número primo menos 1 unidade e o número 3 for produto de 2 números primos distintos, então um dos números primos é um Número Primo de Mersenne.
011-estudos-517-tabela-numeros-mersenne
Verifica-se que são possíveis a partir dos próprios Números de Mersenne (Números quase-potências de base 2) que são números compostos e divisíveis por 3 comprovar os próprios Números Primos de Mersenne.
Os cálculos para se montar a tabela com Números de Mersenne, foram realizados até a potência:
2106 = 81 129 638 414 606 681 695 789 005 144 064 (número com 32 algarismos) na Calculadora Científica do Sistema Operacional Windows 8.1, em um PC com Processador Dual Core 2,5 GHz e RAM 4 GB.
Os cálculos para se obterem os divisores dos números foram realizados em:
014-013-calculadora-divisores-numero-natural-on-line
aqui do WebSite Os Fantásticos Números Primos, totalizando os 7 primeiros Números Primos de Mersenne, quantidade esta limitada até o presente momento pela capacidade de computação e infra-estrutura.
Nos WebSites:
https://pt.planetcalc.com/
https://www.omnicalculator.com/
https://pt.numberempire.com/
https://numbermatics.com/
foram realizadas as verificações dos resultados da tabela.
O WebSite Os Fantásticos Números Primos faz um convite a entusiastas matemáticos, estudantes, professores, profissionais da área de exatas, empresas de tecnologia, centros de pesquisas, universidades, etc. que possa disponibilizar recursos humanos / recursos materiais para desenvolvimento de projeto computacional para se encontrar Números Primos de Mersenne a partir dos estudos aqui descritos.
Autor: Ricardo Silva - agosto/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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